Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 31: a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1 \\ & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=1 \\ \end{align} \right.$. Tính tổng $S=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$. b) Tính giá trị của biểu thức $A=2019\sqrt[3]{x}-2020\sqrt[3]{y}$, biết $xy=1$ và $\left| x+y \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: a) Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}\le 1 \\ & {{b}^{2}}\le 1 \\ & {{c}^{2}}\le 1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & -1\le a\le 1 \\ & -1\le b\le 1 \\ & -1\le c\le 1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 1-a\ge 0 \\ & 1-b\ge 0 \\ & 1-c\ge 0 \\ \end{align} \right.$ (1) Ta lại có $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)={{a}^{2}}\left( 1-a \right)+{{b}^{2}}\left( 1-b \right)+{{c}^{2}}\left( 1-c \right)=0$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}\left( 1-a \right)=0 \\ & {{b}^{2}}\left( 1-b \right)=0 \\ & {{c}^{2}}\left( 1-c \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=0 \vee a=1 \\ & b=0 \vee b=1 \\ & c=0 \vee c=1 \\ \end{align} \right.$. Kết hợp với giả thiết suy ra trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Vậy tổng $S=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=1$. b) Ta có $\left\{ \begin{align} & {{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy \\ & xy=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4 \\ & xy=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left| x+y \right|\ge 2$. Như vậy $\min \left| x+y \right|=2$ đạt được khi $x=y=1$ hoặc $x=y=-1$. · Với $x=y=1$ thì $A=2019\sqrt[3]{x}-2020\sqrt[3]{y}=2019-2020=-1$. · Với $x=y=-1$ thì $A=2019\sqrt[3]{x}-2020\sqrt[3]{y}=-2019+2020=1$. Bài 32: a) Rút gọn biểu thức A = $\frac{1}{{{1}^{4}}+{{1}^{2}}+1}+\frac{2}{{{2}^{4}}+{{2}^{2}}+1}+\frac{3}{{{3}^{4}}+{{3}^{2}}+1}+...+\frac{n}{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1}$ ($n\in {{N}^{*}}$). b) Cho x > 0 thỏa mãn điều kiện: ${{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}=7$. Tính giá trị biểu thức: Q = $\left| x-\frac{1}{x} \right|$. Giải: a) Ta có ${{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1={{\left( {{n}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{n}^{2}}=\left( {{n}^{2}}-n+1 \right)\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)$. Do đó: $\frac{n}{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1}=\frac{n}{\left( {{n}^{2}}-n+1 \right)\left( {{n}^{2}}-n+1 \right)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{n}^{2}}-n+1}-\frac{1}{{{n}^{2}}+n+1} \right)$. Nhận xét: ${{\left( n+1 \right)}^{2}}-\left( n+1 \right)+1={{n}^{2}}+2n+1-n-1+1={{n}^{2}}+n+1$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Áp dụng kết quả trên ta được: $\begin{align} & \frac{1}{{{1}^{4}}+{{1}^{2}}+1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{1}^{2}}-1+1}-\frac{1}{{{1}^{2}}+1+1} \right) \\ & \frac{2}{{{2}^{4}}+{{2}^{2}}+1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{2}^{2}}-2+1}-\frac{1}{{{2}^{2}}+2+1} \right) \\ & \frac{3}{{{3}^{4}}+{{3}^{2}}+1}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{{{3}^{2}}-3+1}-\frac{1}{{{3}^{2}}+3+1} \right) \\ & ..................................................... \\ & \frac{n}{{{n}^{4}}+{{n}^{2}}+1}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{{{n}^{2}}-n+1}-\frac{1}{{{n}^{2}}+n+1} \right] \\ \end{align}$ Cộng vế theo vế các đẳng thức trên và kết hợp với nhận xét, ta được: $A=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{{{1}^{2}}-1+1}-\frac{1}{{{n}^{2}}+n+1} \right]=\frac{{{n}^{2}}+n}{2\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)}$. b) Ta có ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}={{x}^{4}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}+2=7+2=9$. $\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=3$ (vì ${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}>0$) Do đó ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-2=3-2=1$ $\Rightarrow \left| x-\frac{1}{x} \right|=1$. Vậy Q = 1. Bài 33: Lập công thức tính các tổng sau với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$: a) ${{S}_{1}}=1+2+3+...+n$. b) ${{S}_{2}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}$. c) ${{S}_{3}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}$. d) ${{P}_{1}}=1.2+2.3+3.4+...+n\left( n+1 \right)$. e) ${{P}_{2}}=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$. Giải: a) Ta có $\left\{ \begin{align} & {{S}_{1}}=1+2+3+...+\left( n-2 \right)+\left( n-1 \right)+n \\ & {{S}_{1}}=n+\left( n-1 \right)+\left( n-2 \right)+...+3+2+1 \\ \end{align} \right.$ Suy ra $2{{S}_{1}}=\left( n+1 \right)+\left[ \left( n-1 \right)+2 \right]+\left[ \left( n-2 \right)+3 \right]+...$ (gồm n tổng, mỗi tổng bằng n + 1) Do đó $2{{S}_{1}}=n\left( n+1 \right)\Rightarrow {{S}_{1}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$. b) Ta có (k + 1)3 = k3 + 3k2 + 3k + 1. Cho k nhận giá trị từ 1 đến n ta được: $\begin{align} & {{2}^{3}}={{1}^{3}}+{{3.1}^{2}}+3.1+1 \\ & {{3}^{3}}={{2}^{3}}+{{3.2}^{2}}+3.2+1 \\ & {{4}^{3}}={{3}^{3}}+{{3.3}^{2}}+3.3+1 \\ & ...................................... \\ & {{\left( n+1 \right)}^{3}}={{n}^{3}}+3.{{n}^{2}}+3.n+1 \\ \end{align}$ Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được: $\begin{align} & {{\left( n+1 \right)}^{3}}={{1}^{3}}+3{{S}_{2}}+3{{S}_{1}}+n \\ & {{\left( n+1 \right)}^{3}}=3{{S}_{2}}+\frac{3n\left( n+1 \right)}{2}+\left( n+1 \right) \\ & 3{{S}_{2}}=\left( n+1 \right)\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}-\frac{3n}{2}-1 \right]=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{2} \\ & {{S}_{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6} \\ \end{align}$ c) Ta có (k + 1)4 = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1. Cho k nhận giá trị từ 1 đến n ta được: $\begin{align} & {{2}^{4}}={{1}^{4}}+{{4.1}^{3}}+{{6.1}^{2}}+4.1+1 \\ & {{3}^{4}}={{2}^{4}}+{{4.2}^{3}}+{{6.2}^{2}}+4.2+1 \\ & {{4}^{4}}={{3}^{4}}+{{4.3}^{3}}+{{6.3}^{2}}+4.3+1 \\ & ............................................... \\ & {{\left( n+1 \right)}^{4}}={{n}^{4}}+4{{n}^{3}}+6{{n}^{2}}+4n+1 \\ \end{align}$ Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được: $\begin{align} & {{\left( n+1 \right)}^{4}}={{1}^{4}}+4{{S}_{3}}+6{{S}_{2}}+4{{S}_{1}}+n \\ & {{\left( n+1 \right)}^{4}}=4{{S}_{3}}+n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)+2n\left( n+1 \right)+\left( n+1 \right) \\ & 4{{S}_{3}}=\left( n+1 \right)\left[ {{\left( n+1 \right)}^{3}}-n\left( 2n+1 \right)-2n-1 \right] \\ & 4{{S}_{3}}=\left( n+1 \right)\left( {{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+3n+1-2{{n}^{2}}-n-2n-1 \right) \\ & 4{{S}_{3}}=\left( n+1 \right)\left( {{n}^{3}}+{{n}^{2}} \right)=n{{\left( {{n}^{2}}+n \right)}^{2}} \\ & {{S}_{3}}={{\left( \frac{{{n}^{2}}+n}{2} \right)}^{2}}={{\left[ \frac{n\left( n+1 \right)}{2} \right]}^{2}}=S_{1}^{2} \\ \end{align}$ d) Ta có ${{P}_{1}}=1.2+2.3+3.4+...+n\left( n+1 \right)$ $\begin{align} & =1.\left( 1+1 \right)+2.\left( 2+1 \right)+3.\left( 3+1 \right)+...+n\left( n+1 \right) \\ & =\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+3+...+n \right) \\ & =\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}+\frac{n\left( n+1 \right)}{2} \\ & =\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\left( \frac{2n+1}{3}+1 \right)=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3} \\ \end{align}$ e) Ta có ${{P}_{2}}=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$ $\begin{align} & {{P}_{2}}=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right) \\ & =\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}} \right)+3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}} \right)+2\left( 1+2+3+...+n \right) \\ & ={{\left[ \frac{n\left( n+1 \right)}{2} \right]}^{2}}+\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{2}+n\left( n+1 \right) \\ & =n\left( n+1 \right)\left[ \frac{n\left( n+1 \right)}{4}+\frac{2n+1}{2}+1 \right] \\ \end{align}$ $\begin{align} & =n\left( n+1 \right)\left( \frac{{{n}^{2}}+n+4n+2+4}{4} \right) \\ & =\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{4} \\ \end{align}$ Nhận xét: Với phương pháp giải như trên, hoàn toàn tương tự ta có thể lập công thức tính các tổng như: S4 ; S5 ; S6 … và P3 ; P4 ; P5 …
