Tóm tắt lý thuyết 1. Số hữu tỉ là gì? Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng \(\frac{a}{b}\) với a, b ∈ \( \mathbb{Z}\), b # 0. Tập hợp các số hữu tỷ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\). VD: Xét các số 2; 0 và 0.5, ta thấy: \(2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = ...\) \(0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{0}{3} = ...\) \( - 0,5 = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{4} = - \frac{3}{6} = ...\) Vậy các số 2, 0, -0.5 là các số hữu tỉ. Nhận xét: \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\). 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số Để biểu diễn số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) (a, b ∈ \( \mathbb{Z}\), b > 0) trên trục số ta làm như sau: Chia đoạn đơn vi [0;1] trên trục số thành b phần bằng nhau, lấy 1 đoạn đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng \(\frac {1}{b}\) đơn vị cũ. Nếu a>0 thì số \(\frac {a}{b}\) được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm 0 một đoạn bằng \(\left |a \right |\) lần đơn vị mới. Nếu a<0 thì số \(\frac {a}{b}\) được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm 0 một đoạn bằng \(\left |a \right |\) lần đơn vị mới. Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. 3. So sánh số hữu tỉ Để so sánh hai số hữu tỉ x,y ta làm như sau: Viết x,y dưới dạng phân số cùng mẫu dương. So sánh các tử là số nguyên a và b. Nếu a> b thì x > y. Nếu a = b thì x=y. Nếu a < b thì x < y. 4. Chú ý Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương. Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm. Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm. Bài tập minh họa Bài 1: Với ba chữ số 1, hãy biểu diễn số hữu tỉ âm nhỏ nhất, số hữu tỉ âm lớn nhất. Hướng dẫn giải: Số hữu tỉ âm nhỏ nhất -111. Số hữu tỉ âm lớn nhất \( - \frac{1}{{11}}\). Bài 2: So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất: a. \(\frac{{ - 1}}{3}\) và \(\frac{1}{{100}}\) b. \(\frac{{ - 231}}{{232}}\) và \(\frac{{-1321}}{{1320}}\) c. \(\frac{{ - 13}}{{38}}\) và \(\frac{{29}}{{ - 88}}\) d. \(\frac{{ - 27}}{{29}}\) và \(\frac{{ - 272727}}{{292929}}\) Hướng dẫn giải: a. \(\frac{{ - 1}}{3} < 0 < \frac{1}{{100}} \Rightarrow \frac{{ - 1}}{3} < \frac{1}{{100}}\). b. \(\frac{{231}}{{232}} < 1 < \frac{{1321}}{{1320}} \Rightarrow \frac{{ - 231}}{{232}} > \frac{{ - 1321}}{{1320}}\). c. \(\frac{{13}}{{38}} > \frac{{13}}{{39}} = \frac{1}{3} = \frac{{29}}{{87}} > \frac{{29}}{{88}} \Rightarrow \frac{{ - 13}}{{38}} < \frac{{29}}{{ - 88}}\). d. \(\frac{{ - 27}}{{29}} = \frac{{ - 27.10101}}{{29.10101}} = \frac{{ - 272727}}{{292929}}\) và \(\frac{{ - 272727}}{{292929}}\). Bài 3: Cho hai số nguyên a và b trong đó a < b và b > 0. Chứng minh: \(\frac{a}{b} < \frac{{a + 1}}{{b + 1}}\). Hương dẫn giải: Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{{a(b + 1)}}{{b(b + 1)}} = \frac{{ab + a}}{{b(a + 1)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,b > 0,b + 1 > 0\). \(\frac{{a + 1}}{{b + 1}} = \frac{{b(a + 1)}}{{b(b + 1)}} = \frac{{ab + b}}{{b(b + 1)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,b > 0\). Mà a < b nên suy ra ab+ a < ab +b. Vậy \(\frac{a}{b} < \frac{{a + 1}}{{b + 1}}\).
