Tóm tắt lý thuyết 1. Quy tắc - Muốn cộng hai số hữu tỉ cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyết đối của hai số hữu tỉ đó với nhau còn dấu của kết quả là dấu chung. - Muốn cộng hai số hữu tỉ khác dấu, ta tìm giá trị tuyệt đối của chúng rồi lấy giá trị tuyệt đối lớn hơn trừ đi giá trị tuyệt đối nhỏ hơn và đặt trước hiệu tìm được dấu của số hữu tỉ có giá trị tuyệt đối lớn hơn. - Phép cộng các số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép cộng các số nguyên: Tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hoà là 0 và mỗi số hữu tỉ đều có một số đối, tổng của hai số đối nhau thì bằng 0. - Muốn trừ đi một số, ta cộng với số đối của nó. 2. Chú ý - Trong tập hợp Q của các số hữu tỉ, ta cũng xét các tổng đại số mà trong đó, ta có thể thay đổi giá trị của các số hạng, nhóm các số hạng một cách thích hợp nhờ vào quy tắc dấu ngoặc với lưu ý: + Khi mở dấu ngoặc mà trước dấu ngoặc có dấu "+" thì ta không đổi dấu của các số hạng trong dấu ngoặc. Khi mở dấu ngoặc mà trước dấu ngoặc có dấu "-" thì ta phải đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc. + Khi nhóm các số hạng vào trong dấu ngoặc mà trước dấu ngoặc mà trước dấu ngoặc có dấu “+” thì ta không thay đổi dấu của các số hạng trong dấu ngoặc. Khi nhóm các số hạng vào trong dấu ngoặc mà trước dấu ngoặc có dấu “-“ thì ta phải thay đổi dấu của các số hạng trong dấu ngoặc. - Trong tập hợp Q các số hữu tỉ, ta cũng có luật giản ước: \(\begin{array}{l}x + z = y + z \Rightarrow x = y\\x + z > y + z \Rightarrow x > y\\x + z < y + z \Rightarrow x < y.\end{array}\) - Trong tập hợp Q các số hữu tỉ, ta cũng có quy tắc chuyển vế: “Khi chuyển mội số hữu tỉ từ vế này sang vế kia của một đẳng thức (hoặc bất đẳng thức) thì ta phải đổi dấu của số hạng ấy”. \(\begin{array}{l}x + z = y \Rightarrow x = y - z\\x + z > y \Rightarrow x > y - z\\x + z < y \Rightarrow x < y - z.\end{array}\) Ví dụ 1: a) Tính: \(S = \left( { - \frac{2}{3} + 1} \right) - \left( {\frac{7}{5} - 0,2} \right) + \left( {\frac{7}{{15}} - 1 + \frac{4}{3}} \right).\) b) Tính: \(S = 0,25 - \left( { - \frac{3}{4}} \right) - \left[ { - \frac{7}{3} + \left( {\frac{9}{2}} \right)} \right] - \frac{5}{6}.\) c) Tính: \(S = \left[ {1 - \left( {\frac{2}{5} - \frac{4}{3}} \right)} \right] - \left[ {\left( {0,8 - 1} \right) - \left( {1,4 + 2} \right)} \right].\) Giải Câu a: Ta có \(S = - \frac{2}{3} + 1 - \frac{7}{5} + \frac{2}{{10}} + \frac{7}{{15}} - 1 + \frac{4}{3}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left( { - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}} \right) - \left( {\frac{7}{5} - \frac{7}{{15}} - \frac{2}{{10}}} \right) + \left( {1 - 1} \right)\\ \Rightarrow S = \frac{2}{3} - \frac{{42 - 14 - 6}}{{30}} = \frac{2}{3} - \frac{{22}}{{30}} = \frac{{ - 2}}{{30}} = \frac{{ - 1}}{{15}}.\end{array}\) Câu b: \(\begin{array}{l}S = \frac{{ - 1}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{7}{3} + \frac{9}{2} - \frac{5}{6} = \left( {\frac{{ - 1}}{4} + \frac{3}{4} + \frac{{18}}{4}} \right) + \left( {\frac{{14}}{6} - \frac{5}{6}} \right)\\ \Rightarrow S = \frac{{ - 1}}{4} + \frac{{21}}{4} - \frac{9}{6} = \frac{{20}}{4} - \frac{3}{2} = 5 - 1,5 = 3,5.\end{array}\) Câu c: \(\begin{array}{l} S = \left[ {1 - \left( {\frac{2}{5} - \frac{3}{4}} \right)} \right] - \left[ {\left( {\frac{4}{5} - 1} \right) - \left( {\frac{7}{5} + 2} \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow S = \left( {1 - \frac{{8 - 15}}{{20}}} \right) - \left( {\frac{{4 - 5}}{5} - \frac{{7 + 10}}{5}} \right) = \left( {1 - \frac{{ - 7}}{{20}}} \right) - \left( {\frac{{ - 1}}{5} - \frac{{17}}{5}} \right)}\\ { \Rightarrow S = \frac{{20 + 7}}{{20}} - \frac{{ - 18}}{5} = \frac{{27}}{{20}} - \frac{{ - 18}}{5} = \frac{{27 + 18.4}}{{20}} = \frac{{99}}{{20}}} \end{array} \end{array}\) Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: \(S = (a + b - c) - (a - b + c) - ( - a + b + c)\) Với \(a = - \frac{1}{2},b = - \frac{1}{3},c = - \frac{1}{4}\) theo hai cách. Giải Cách 1: Thế trực tiếp các giá trị của a, b, c vào biểu thức của S ta có: \(S = \left[ { - \frac{1}{2} + \left( { - \frac{1}{3}} \right) - \left( { - \frac{1}{4}} \right)} \right] - \left[ { - \frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4}} \right)} \right] - \left[ { - \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{1}{4}} \right)} \right]\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left( { - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) - \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) - \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right)\\ \Rightarrow S = \frac{{ - 6 - 4 + 3}}{{12}} - \frac{{ - 6 + 4 - 3}}{{12}} - \frac{{6 - 4 - 3}}{{12}}\\ \Rightarrow S = \frac{{ - 7}}{{12}} - \frac{{ - 5}}{{12}} - \frac{{ - 1}}{{12}} = \frac{{ - 7 + 5 + 1}}{{12}} = - \frac{1}{{12}}\end{array}\) Cách 2: Rút gọn biểu thức S trước khi thay thế: \(S = (a + b - c) - (a - b + c) - ( - a + b + c)\) \( \Rightarrow S = a + b - c - a + b - c + a - b - c = a + b - 3c\) Thế các giá trị của a, b, c ta được: \(S = - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{{ - 3}}{4} = \frac{{ - 6 - 4 + 9}}{{12}} = \frac{{ - 1}}{{12}}.\) Bài tập minh họa Bài 1: Tìm số đối của \(\frac{4}{{11}};\frac{2}{{ - 15}};\frac{{ - 17}}{{32}};\frac{{ - 11}}{{ - 23}}\). Hướng dẫn giải: Số đối của \(\frac{4}{{11}}\) là \(\frac{{ - 4}}{{11}}\). Số đối của \(\frac{2}{{ - 15}}\) là \(\frac{2}{{15}}\). Số đối của \(\frac{{ - 17}}{{32}}\) là \(\frac{{17}}{{32}}\). Số đối của \(\frac{{ - 11}}{{ - 23}}\) là \(\frac{{-11}}{{23}}\). Bài 2: Tính : a. \(\frac{2}{3} + ( - \frac{1}{4}) + \frac{7}{{12}} - ( - \frac{1}{4}) - \frac{5}{6}\). b. \(2 - \left\{ {\frac{1}{2} - \left[ {2 - (\frac{1}{2} + 2) - \frac{1}{2}} \right] + 2} \right\}\). Hướng dẫn giải: Câu a: \(\frac{2}{3} + ( - \frac{1}{4}) + \frac{7}{{12}} - ( - \frac{1}{4}) - \frac{5}{6}\) \(\begin{array}{l} = \frac{2}{3} + \frac{{ - 1}}{4} + \frac{7}{{12}} + \frac{1}{4} + \frac{{ - 5}}{6}\\ = \left( {\frac{2}{3} + \frac{7}{{12}} + \frac{{ - 5}}{6}} \right) + \left( {\frac{{ - 1}}{4} + \frac{1}{4}} \right)\\ = \frac{{8 + 7 + ( - 10)}}{{12}} = \frac{5}{{12}}\end{array}\). Câu b: \(2 - \left\{ {\frac{1}{2} - \left[ {2 - (\frac{1}{2} + 2) - \frac{1}{2}} \right] + 2} \right\}\) \(\begin{array}{l} = 2 - \frac{1}{2} + \left[ {2 - (\frac{1}{2} + 2) - \frac{1}{2}} \right] - 2\\ = 2 - \frac{1}{2} + 2 - \left( {\frac{1}{2} + 2} \right) - \frac{1}{2} - 2\\ = 2 - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} - 2 - \frac{1}{2} - 2\\ = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}\end{array}\). Bài 3: Viết số hữu tỉ \(\frac{{ - 9}}{{11}}\) dưới dạng: a. Tổng của hai số hữu tỉ âm. b. Hiệu của hai số hữu tỉ dương. Hướng dãn giải: Câu a: \(\frac{{ - 9}}{{11}} = \frac{{ - 7}}{{11}} + \frac{{ - 2}}{{11}}\). Câu b: \(\frac{{ - 9}}{{11}} = \frac{{ 4}}{{11}} - \frac{13}{{11}}\).
