Tóm tắt lý thuyết 1. Đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên. * Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kể từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông hay mình chiếu của điểm A xuống đường thẳng d. * Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. * Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d. 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: * Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. 3. Các đường xiên và hình chiếu của chúng: * Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: a. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn b. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn c. Nếu hai đường chiếu xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC. Giải Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý) Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý) Suy ra B’C’ < BC. Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng: a. \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\) b. Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L. Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\) Giải a. Ta có AH là đường vuông góc AB, AC là các đường xiên, nên: AH < AB, AH < AC Nên 2AH < AB + AC. Hay \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\) b. Chứng minh tương tự như câu a, ta được: với BK, CL là các đường cao hạ từ B và C \(\begin{array}{l}AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\\BK < \frac{1}{2}(BA + BC)\\CL < \frac{1}{2}(CA + CB)\end{array}\) Từ ba điều trên ta suy ra: AH + BK + CL < AB + BC + CA Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh: a. PA > CA b. CP < CB Giải a. Ta có: APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\) Tam giác APC có: \(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\) b. Ta có: AP < AB (gt) \( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý) Bài tập minh họa Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC. Giải Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat C < \widehat B\) nên AB < AC Trong hai đường xiên AB, AC hạ từ A xuống BC vì AB < AC suy ra BE < EC (định lý) Trong hai đường xiên HB, HC hạ từ H xuống BC vì có BE < EC suy ra HB < HC (định lý) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a. a. Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy. b. Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau. Giải a. Ta có MA là hình chiếu của AB trên a. Xét hai tam giác AHB và CHA có: AB = AC (giả thiết) \(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\)) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\) b. a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH. Chứng minh rằng \(DE \bot AC \Rightarrow BC + AH > AC + AB\) Giải Theo giả thiết BD = AB nên \(\Delta ABD\) cân tại B \( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BDA}\) Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAE} = {90^0}\)và \(\widehat {BDA} = \widehat {DAM} = {90^0}\) (vì tam giác AHD vuông tại H) \( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DAH}\) Do đó \(\Delta DAE = \Delta DAH\) \((AE = AH;\widehat {DAE} = \widehat {DAH}\) và AD chung) \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AED} = {90^0}\) hay \(DE \bot AC\) \( \Rightarrow CD > CE\) Lại có: BD = BA; AH = AE (giả thiết) \( \Rightarrow CD + BD + AH > CE + AE + BA\) Hay BC + AH > AC + AB
