Tóm tắt lý thuyết 1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau. 2. Ký hiệu Hai đường thẳng a, b song song được ký hiệu là a//b * Ta còn nói đường thẳng a song song với đường thẳng b, hoặc đường thẳng b song song với đường thẳng a. Ví dụ 1: a. Nêu các ví trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt. Hai đường thẳng ấy có thể chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần? b. Cũng hỏi tương tự đối với ba đường thẳng phân biệt. Giải a. Hai đường thẳng song song chia mặt phẳng thành ba phần (hình a) * Hai đường thẳng cắt nhau chia mặt phẳng thành bốn phần (hình b) b. Ba đường thẳng song song với nhau chia mặt phẳng thành 4 phần (hình c) * Ba đường thẳng song song bị cắt bởi đường thẳng thứ ba chia mặt phẳng thành 6 phần (hình d) * Ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm: mặt phẳng được chia thành 6 phần (hình e) * Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một tại các điểm khác nhau chia mặt phẳng thành 7 phần (hình g) Ví dụ 2: Cho \(\widehat {xOy} = \alpha ,\) điểm A nằm trên tia Oy. Qua A vẽ tia Am. Tính số đo của góc OAm để AM song song với Ox. Giải Xét hai trường hợp: a. Nếu tia Am thuộc miền trong góc xOy: Để Am//Ox thì phải có \(\widehat {{A_1}} = \alpha \) (đồng vị) Mà \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù) Nên \(\widehat {{A_2}} = {180^0} - \widehat {{A_1}} = {180^0} - \alpha \) Vậy \(\widehat {OAm} = {180^0} - \alpha \) b. Nếu tia Am thuộc miền ngoài góc xOy: Để Am//Ox thì phải có \(\widehat {{A_1}} = \alpha \) (so le trong) Vậy \(\widehat {OAm} = \alpha \) Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng a và b cắt bởi đường thẳng C tại A và B. Cho biết tổng của hai góc trong cùng phía với một góc so le trong với một trong hai góc này bằng \({300^0}\) và trong hai góc kề bù có góc này bằng gấp đôi góc kia. Hai đường thẳng a và b có song song với nhau không? Vì sao? Giải Giả sử \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} = {300^0}\) mà \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {{B_1}} = {120^0}\) Mặt khác \(\widehat {{A_2}} = 2\widehat {{A_1}}\,\,(g)\) Suy ra: \(3\widehat {{A_1}} = {180^0}\) Do đó \(\widehat {{A_1}} = {60^0},\widehat {{A_2}} = {120^0}\) Vậy \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_2}} = {120^0}\) mà chúng ở vị trí so le trong nên a//b. Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình vẽ bên, trong đó \(\widehat {AOB} = {60^0},\) Ot là tia phân giác của góc AOB. Hỏi các tia Ax, Ot và By có song song với nhau không? Vì sao? Giải Ta có Ot là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) nên: \(\widehat {AOt} = {30^0}\) (vì \(\widehat {AOB} = {60^0}\)) mà \(\widehat {xAO} = {30^0}\) \( \Rightarrow \widehat {AOt} = \widehat {xAO} = {30^0} \Rightarrow Ax//Ot\) (do hai góc so le trong) Ta lại có: \(\widehat {tOB} = {30^0}\) mà \(\widehat {OBy} = {150^0}\) \( \Rightarrow \widehat {tOB} + \widehat {OBy} = {180^0}\) Vậy Ot // By (do hai góc cùng phía bù nhau). Bài 2: Cho hai đường x’x và y’y, điểm A trên tia x’x và điểm B trên y’y sao cho hai tia Ax và By cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Cho biết: \(x'AB + yBA + BAx = {216^0}\) và \(BAx = 4x'AB\). Chứng minh rằng: x’x //y’y. Giải Ta có: \(\begin{array}{l}\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{A_2}} = {216^0}\,\,\,\,(1)\\\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {180^0}\,\,\,(2)\\\widehat {{A_2}} = 4\widehat {{A_1}}\,\,\,(3)\end{array}\) Thay giá trị \(\widehat {{A_2}}\) trong (3) vào (2) ta có: \(\widehat {{A_1}} + 4\widehat {{A_1}} = {180^0} \Rightarrow 5\widehat {{A_1}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{A_1}} = {36^0}\) Như vậy: \(\widehat {{A_2}} = {180^0} - \widehat {{A_1}} \Rightarrow \widehat {{A_2}} = {180^0} - {36^0} = {144^0}\) Thay giá trị của \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{A_2}}\)vào (1) ta có: \({36^0} + \widehat {{B_1}} + {144^0} = {216^0} \Rightarrow {180^0} + \widehat {{B_1}} = {216^0} \Rightarrow \widehat {{B_1}} = {36^0}\) Hai góc \(\widehat {{A_1}}\)và \(\widehat {{B_1}}\)là hai góc so le trong tạo bởi hai đường thẳng x’x và y’y với đường thẳng AB. Vì \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = {36^0}\)nên x’x //y’y. Bài 3: Cho hai góc xOy có số đo bằng \({30^0}\) và điểm A nằm trên cạnh Ox. Dựng tia Az song song với tia Oy và nằm trong góc xOy. a. Tìm số đo góc OAz. b. Gọi Ou và Av theo thứ tự là các tia phân giác của các góc xOy và xAz. Chứng tỏ rằng Ou song song với Av. Giải a. Vì Oy//Az nên ta có: \(\widehat {xOy} = \widehat {xAz}\) (hai góc đồng vị) Hai góc OAz và xAz kề bù nhau nên ta có: \(\widehat {OAz} + \widehat {xAz} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {OAz} + {30^0} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OAz} = {150^0}\) b. Vì Ou là tia phân giác của góc xOy nên \(xOu = {15^0}\) Mặt khác, vì Av là tia phân giác của góc xAz nên \(\widehat {xAv} = {15^0}.\) Như vậy \(\widehat {xOu} = \widehat {xAv} = {15^0}.\) Hai góc xOu và xAv bằng nhau và chiếm vị trí đồng vị nên hai tia Ou và Av song song với nhau.
