A. Tổng hợp kiến thức I. Căn bậc hai của số thực âm Căn bậc hai của số thực âm $a<0$ có dạng: $\pm i\sqrt{\left | a \right |}$ II. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$, với $a,b,c \in R,a\neq 0 $. Xét $\Delta =b^{2}-4ac$ $\Delta =0$ => Phương trình có một nghiệm thực là: $x=-\frac{b}{2a}.$ $\Delta >0$ => Phương trình có hai nghiệm thực là: $x_{1},_{2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$. $\Delta <0$ => Phương trình vô nghiệm. Lưu ý: Nếu xét trong tập số phức với $\Delta <0$ => vẫn tồn tại hai căn bậc hai ảo của $\Delta: \pm i\sqrt{\left | \Delta \right |}$ => Phương trình có hai nghiệm là: $x_{1},_{2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left | \Delta \right |}}{2a}$ B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trang 140-sgk giải tích 12 Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: $-7 ; -8 ; -12 ; -20 ; -121$. Hướng dẫn giải: Căn bậc hai của: $-7$ là $\pm i\sqrt{7}$ $-8$ là $\pm i2\sqrt{2}$ $-12$ là $\pm i2\sqrt{3}$ $-20$ là $\pm i2\sqrt{5}$ $-121$ là $\pm 11i$ Câu 2: Trang 140-sgk giải tích 12 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) $-3x^{2}+2x-1=0$ b) $7x^{2}+3x+2=0$ c) $5x^{2}-7x+11=0$ Hướng dẫn giải: a) $-3x^{2}+2x-1=0$ Xét $\Delta '=-2$ => Phương trình có hai nghiệm: $x_{1},_{2}=\frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}$ b) $7x^{2}+3x+2=0$ Xét $\Delta =-47$ => Phương trình có hai nghiệm: $x_{1},_{2}=\frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}$ c) $5x^{2}-7x+11=0$ Xét $\Delta =-171$ => Phương trình có hai nghiệm: $x_{1},_{2}=\frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}$ Câu 3:Trang 140-sgk giải tích 12 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) $x^{4}+x^{2}-6=0$ b) $x^{4}+7x^{2}+10=0$ Hướng dẫn giải: a) Đặt $z = x^{2},(z>0) $ <=> $z^{2} + z – 6 = 0$ => Phương trình này có hai nghiệm là $z_{1}= 2, z_{2} = -3$ Vậy phương trình có bốn nghiệm là $\pm \sqrt{2} và \pm i\sqrt{3}$ b) Đặt $z = x^{2},(z>0) $ <=> $z^{2} + 7z + 10 = 0$ => Phương trình này có hai nghiệm là $z_{1}= -2, z_{2} = -5$ Vậy phương trình có bốn nghiệm là $\pm i\sqrt{2}$ và $\pm i\sqrt{5}$. Câu 4:Trang 140-sgk giải tích 12 Cho $a,b, c \in R,a ≠ 0,z_{1} , z_{2}$ là hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$. Hãy tính $z_{1}+z_{2} và z_{1}.z_{2}$ theo hệ số $a, b, c$. Hướng dẫn giải: Câu 5:Trang 140-sgk giải tích 12 Cho $z = a + bi$ là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z$ và $\overline{z}$ làm nghiệm. Hướng dẫn giải: Theo bài ra: $z=a+bi => \overline{z}=a-bi$ => $z+\overline{z}=2a$ $z.\overline{z}=a^{2}+b^{2}$ => $z$ và $\overline{z}$ là nghiệm phương trình: $(x-z)(x-\overline{z})=0$ <=> $x^{2}-(z-\overline{z})x+z.\overline{z}=0$ <=> $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}=0$ Vậy phương trình bậc hai cần tìm là: $x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}=0$ Theo LTTK Education tổng hợp
