Tóm tắt lý thuyết 1. Luỹ thừa của một số hữu tỉ Cho \(x \in Q\) và \(n \in \mathbb{N}^*\). Luỹ thừa bậc n của x là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng x. \({x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,thua\,\,so}\) với \(x \in Q,n \in \mathbb{N}^*\). Chú ý: Ta quy ước \({x^0} = 1,x \in Q\) và \(x \ne 0.\) 2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\). \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\) với \(x \ne 0,\,m \ge n.\) 3. Luỹ thừa của một tích, một thương một luỹ thừa \({(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\) \({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\) với \(y \ne 0\) \({({x^m})^n} = {x^{m.n}}\) Chú ý: a) Người ta cũng xét các luỹ thừa với số mũ nguyên âm và quy ước: \({x^{ - n}} = \frac{1}{{{x^n}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 0)\) Trong thực tế, người ta thường sử dụng luỹ thừa nguyên âm của 10 để viết các số nhỏ. Ví dụ: \(0,0001 = \frac{1}{{10000}} = \frac{1}{{{{10}^4}}} = {10^{ - 4}}\) b) Từ định nghĩa của luỹ thừa và theo quy tắc nhân các số hữu tỉ, ta suy ra: Luỹ thừa bậc chẵn của một số hữu tỉ (âm hoặc dương) luôn là một số dương Luỹ thừa bậc lẻ của một số hữu tỉ âm là một số âm. Luỹ thừa bậc lẻ của một số hữu tỉ dương là một số dương. Ví dụ 1: Tính \(A = {\left[ {{3^2}.{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^3}} \right]^2}.\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(A = {3^4}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^6} = 81.\frac{1}{{64}} = \frac{{81}}{{64}}\). Hoặc có thể tính như sau: \(A = {\left[ {9.\left( { - \frac{1}{8}} \right)} \right]^2} = {\left( { - \frac{9}{8}} \right)^2} = \frac{{81}}{{64}}\). Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\). Áp dụng, tính \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2}.\) Hướng dẫn giải: Cách 1: Ta có \({(a + b)^2} = (a + b)(a + b)\) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân các số hữu tỉ đối với phép cộng, ta có: \((a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = {a^2} + ab + ba + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\). Cách 2: Sử dụng cách đặt thừa số chung và đi từ vế phải, ta có: \({a^2} + 2ab + {b^2} = {a^2} + ab + ab + {b^2} = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = {(a + b)^2}\) Áp dụng: \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2} = {(2{x^3})^2} + 2(2{x^3})(3{y^2}) + {(3{y^2})^2}\) \( \Rightarrow A = 4{x^6} + 12{x^3}{y^2} + 9{y^4}.\) Ví dụ 3: Tính \(A = \frac{{0,00018}}{{0,0000012}}.\) Hướng dẫn giải: Ta sử dụng luỹ thừa với số mũ âm, để có: \(0,00018 = {18.10^{ - 5}}\) \(0,0000012 = {12.10^{ - 7}}\) Và được \(A = \frac{{{{18.10}^{ - 5}}}}{{{{12.10}^{ - 7}}}} = \frac{{18}}{{12}}.({10^{ - 5}}{.10^7}) \Rightarrow A = \frac{{18}}{{12}}{.10^2} = 150.\) Bài tập minh họa Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: \(2.32 \ge {2^n} > 8\). Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{array}{l}2.32 = {2.2^5} = {2^6}\\8 = {2^3}\end{array}\). Nên đề bài đã cho trở thành: \(\begin{array}{l}{2^6} \ge {2^n} > {2^3}\\ \Rightarrow 6 \ge n > 3\\ \Rightarrow n \in \left\{ {4;\,\,5;\,\,6} \right\}\end{array}\). Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\) chia hết cho 10. Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\\ = {3^{n + 2}} + {3^n} - \left( {{2^{n + 2}} + {2^n}} \right)\\ = {3^n}({3^2} + 1) - {2^n}({2^2} + 1)\\ = {3^n}.10 - {2^n}.5 = {3^n}.10 - {2^{n - 1}}.10\\ = ({3^n} - {2^{3 - n}}).10\,\,\, \vdots \,\,10\end{array}\). Bài 3: Tìm một số 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số 0; 1; 2; 2; 2 Hướng dẫn giải: Bình phương của một số tự nhiên không thể tận cùng bằng 2 hay 0. Vậy số phải tìm chỉ có thể tận cùng bằng 1. Chữ số 0 lại không thể ở vị trí hàng chục nghìn. Do đó ta chỉ cần xét ba số 22201, 22021, 20221. Trong ba số này chỉ có một số thoả mãn điều kiện của đề bài: \(22201{\rm{ }} = {\rm{ }}{149^2}\). Vậy số phải tìm là 22201.
