Tóm tắt lý thuyết 1. Tiên đề Ơclit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. 2. Tính chất của hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a. Hai góc so le trong bằng nhau. b. Hai góc đồng vị bằng nhau. c. Hai góc trong cùng phía bù nhau. Ví dụ 1: Hai đường thẳng x’x và y’y song song với nhau bị cắt bởi một một cát tuyến tại 2 điểm A và B. Gọi At là tia phân giác của \(\widehat {xAB}.\) a. Tia At có cắt đường thẳng y’y hay không? Vì sao? b. Cho \(\widehat {xAB} = {80^0}.\) Tính \(\widehat {ACB}.\) Giải a. Giả sử ta At không cắt y’y Suy ra AC//y’y. Theo tiên đề Ơclit thì AC trùng với x’x. Điều này vô lý vì vậy tia At phải cắt y’y tại C. b. Ta có: \(\widehat {xAt} = \frac{1}{2}\widehat {xAB} = \frac{1}{2}{.80^0} = {40^0}\) (At là tia phân giác của \(\widehat {xAB}\)). mà \(\widehat {xAt} = \widehat {ACB}\) (so le trong) Vậy \(\widehat {ACB} = {40^0}.\) Ví dụ 2: Cho hình bên, biết \(\widehat A = {50^0}\) và \(\widehat B = {140^0}\), Ax // By’. Chứng minh rằng \(\widehat {AOB} = {90^0}.\) Giải Kẻ qua O qua đường thẳng Oz // Ax, ta có: \(\widehat {AOz} = \widehat {xAO} = 50{}^0\)(góc so le trong) Lại có: \(\widehat {OBy} = {150^0}\) \( \Rightarrow \widehat {OBy} = {180^0} - {140^0} = {40^0}\) \(Oz//Ax \Rightarrow Oz//By\) \( \Rightarrow \widehat {BOz'} = \widehat {OBy} = {40^0}\) (góc so le trong) Do đó: \(\widehat {AOz} = \widehat {z'OB} = {50^0} + {40^0} = {90^0}\) hay \(\widehat {AOB} = {90^0}.\) Ví dụ 3: Cho hình bên, biết Ax // By. Chứng minh rằng \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {360^0}.\) Giải Kẻ qua C đường thẳng Cz // Ax ta có: \(\widehat A + \widehat {ACz} = {180^0}\) (góc trong cùng phía bù nhau) Lại có: \(Cz//Ax \Rightarrow Cz//By \Rightarrow \widehat B + \widehat {zCB} = {180^0}\) (góc trong cùng phía bù nhau) \( \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat {ACz} + \widehat {zCB} = {360^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\,\,\widehat A + \widehat B + \widehat C = {360^0}.\) Bài tập minh họa Bài 1: Cho góc xOy có số đo bằng \({30^0}\). Một điểm A thuộc Ox. Qua A dựng tia A’y // Oy và nằm trong góc xOy. a. Tính OAy’. b. Gọi Ot và At’ theo thứ tự là các tia phân giác của các góc xOy và xAy’. Chứng tỏ rằng Ot//At’. Giải a. Do Ay’ // Oy \( \Rightarrow \widehat {xAy'} = \widehat {xOy} = {30^0}\) (góc đồng vị) Lại có: \(\widehat {OAy'} = \widehat {xAy'} = {180^0}\) (góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {OAy'} = {180^0} - \widehat {xAy'} = {180^0} - {30^0} = {150^0}\) b. Do \(\widehat {xOy} = \widehat {xAy'}\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \frac{{\widehat {xOy}}}{2} + \frac{{\widehat {xAy}}}{2}\,\,hay\,\,\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}} \Rightarrow \,Ot\,//\,At'\) (góc đồng vị). Bài 2: Cho \(xOy = {120^0}\) và \(Ot\) là tia phân giác của góc đó. Trên tia Oy lấy điểm A, qua A vẽ đường thẳng At’ // Ot. a. Tính góc yAt’ b. Từ A dựng đường thẳng Ax’ song song với Ox. So sánh hai góc t’Ax’ và tOx. Giải a. Do \(Ot//\,At' \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{A_1}}\) (góc so le trong) mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{O_1}}\) hay \(\widehat {yAt'} = \widehat {yOt} = {60^0}\) (vì Ot là phân giác \(\widehat {xOy} = {120^0}\)). b. Vì \(\widehat {yAt'} = \widehat {yOt}\) (đồng vị)\( \Rightarrow At'\,\,//Ot.\) Ax’ cắt Ot ở \(B \Rightarrow \widehat {t'Ax'} = \widehat {{B_1}}\) (đồng vị do At’ // Ot). Mặt khác \(\widehat {tOx} = \widehat {{B_1}}\) (đồng vị do Ax’ //Ox) Suy ra \(\widehat {t'AC} = tOx.\)
