Tóm tắt lý thuyết 1. Luỹ thừa của một tích Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa: \({(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\) 2. Luỹ thừa của một thương Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa. \({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\,\,\,(y \ne 0)\) Ví dụ 1: Tính: a. \({( - 2)^3} + {2^2} + {( - 1)^{20}} + {( - 2)^0}\). b. \({({3^2})^2} - {( - {5^2})^2} + {\left[ {{{( - 2)}^3}} \right]^2}\). c. \({2^4} + 8{\left[ {{{( - 2)}^2}:\frac{1}{2}} \right]^0} - {2^{ - 2}}.4 + {( - 2)^2}\). Hướng dẫn giải: a. \(\begin{array}{l}{( - 2)^3} + {2^2} + {( - 1)^{20}} + {( - 2)^0}\\ = - {2^3} + {2^2} + {1^{20}} + 1 = - 8 + 4 + 1 + 1 = - 2\end{array}\). b. \(\begin{array}{l}{({3^2})^2} - {( - {5^2})^2} + {\left[ {{{( - 2)}^3}} \right]^2} = {3^{2.2}} - {5^{2.2}} + {( - {2^3})^2}\\ = {3^4} - {5^4} + {2^6} = 81 - 625 + 64 = - 480\end{array}\). c. \(\begin{array}{*{20}{l}} {{2^4} + 8{{\left[ {{{( - 2)}^2}:\frac{1}{2}} \right]}^0} - {2^{ - 2}}.4 + {{( - 2)}^2}}\\ { = {2^4} + 8.1 - {2^{ - 2}}{{.2}^2} + 4 = 16 + 8 - {2^{ - 2 + 2}} + 4}\\ { = 16 + 8 - {2^0} + 4 = 16 + 8 - 1 + 4 = 27} \end{array}\) Ví dụ 2: So sánh: a. \({2^{300}}\) và \({3^{200}}\). b. \({5^{300}}\) và \({3^{500}}\). Hướng dẫn giải: a. Ta có: \({2^{300}} = {({2^3})^{100}} = {8^{100}}\) \({3^{200}} = {({3^2})^{100}} = {9^{100}}\) Vì \({8^{100}} < {9^{100}}\) Vậy \({2^{300}} < {3^{200}}\). b. Ta có: \({5^{300}} = {({5^3})^{100}} = {125^{100}}\) \({3^{500}} = {({3^5})^{100}} = {243^{100}}\) Vì \({125^{100}} < {243^{100}}\) Vậy \({5^{300}} < {3^{500}}\). Ví dụ 3: Chứng minh rằng: \({10^9} + {10^8} + {10^7}\) chia hết cho 222. Hướng dẫn giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{10^9} + {10^8} + {10^7} = {10^7}({10^2} + 10 + 1)\\ = {(2.5)^7}({10^2} + 10 + 1)\\ = {2^7}{.5^7}(100 + 10 + 1)\\ = {2^6}{.5^7}.2.111\\ = {2^6.5^7}.222\,\, \vdots \,\,222\end{array}\). Vậy \({10^9} + {10^8} + {10^7}\) chia hết cho 222. Bài tập minh họa Bài 1: Tính: a. \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\) b. \(\frac{{{{27}^2}{{.8}^5}}}{{{6^6}{{.32}^3}}}\) Hướng dẫn giải: a. \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\) \( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = \frac{1}{{128}}\) b. \(\frac{{{{({3^3})}^2}.{{({2^3})}^5}}}{{{{(2.3)}^6}.{{({2^5})}^3}}} = \frac{{{3^6}{{.2}^{15}}}}{{{2^6}{{.3}^6}{{.2}^{15}}}} = \frac{1}{{{2^6}}} = \frac{1}{{64}}\) Bài 2: Tìm x biết: a. \({(x - 2)^2} = 1\) b. \({(x - 1)^{x + 2}} = {(x - 1)^{x + 4}}\) Hướng dẫn giải: a. Ta có: \({(x - 2)^2} = 1\). Do đó \(\begin{array}{l}x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3\\x - 2 = - 1 \Rightarrow x = 1\end{array}\) Vậy x = 1; 3 b. \({(x - 1)^{x + 2}} = {(x - 1)^{x + 4}}\) Nếu x = 1 thì \({0^3} = {0^5}\) đúng. Ta được một giá trị x = 1 Nếu \(x \ne 1 \Rightarrow x - 1 \ne 0.\) Chia 2 vế cho \({(x - 1)^{x + 2}}\) ta được: \({(x - 1)^{x + 4 - (x + 2) = 1}}\) Hay \({(x - 1)^2} = 1.\) Do đó: \(\begin{array}{l}x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x - 1 = - 1 \Rightarrow x = 0\end{array}\) Vậy x = 0; 1; 2 Bài 3: Số các chữ số của \({4^{16}}{.5^{25}}\) là bao nhiêu? Hướng dẫn giải: \({4^{16}}{.5^{25}} = {({2^2})^{16}}{.5^{25}} = {2^{32}}{.5^{25}}\) \( = {2^7}.{(2.5)^{25}} = {128.10^{25}}\) Vậy số các chữ số của \({4^{16}}{.5^{25}}\)là 28.
