Tóm tắt lý thuyết 1. Đường phân giác của tam giác: Trong tam giác ABC tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M. * Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC. * Đường thẳng AM cũng gọi là đường phân giác của tam giác ABC. * Mỗi tam giác có ba đường phân giác. Tính chất: Trong một tam giá cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. 2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác: Định lý: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. Giả thiết: * \(\Delta ABC\) * Hai phan giác BE, CF cắt nhau tại I. Kết luận: * AI là tia phân giác của góc A * IH = IK = IL Ví dụ 1: Tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân. Giải Kéo dài AM một đoạn MD = AM \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có: AM = DM (cách vẽ) \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh) MB = MC (gt) Nên \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (c.g.c) Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat D;AB = CD\,{\,^{(1)}}\) Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(gt),\,\widehat {{A_1}} = \widehat D \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat D\) Do đó \(\Delta ACD\) suy ra \(AC = CD\,{\,^{(2)}}\) Từ (1) và (2) suy ra AB = AC Vậy \(\Delta ABC\)là tam giác cân. Ví dụ 2: Hai đường phân giác của góc B và C trong tam giác ABC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng: \(\widehat {BIC} = 90 + \frac{{\widehat A}}{2}.\) Giải I là giao điểm của hai phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) \( \Rightarrow \) phân giác góc A là AI. Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = {90^0}\\ \Rightarrow \frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat A}}{2}\end{array}\) Trong tam giác BIC có: \(\widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2}} \right) = {180^0} - ({90^0} - \frac{{\widehat A}}{2}) = {90^0} + \frac{{\widehat A}}{2}\) Vậy \(\widehat {BIC} = {90^0} + \frac{{\widehat A}}{2}\) Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\). Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN = BM + CN. Giải Ba phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C. Vì MN // BC nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{I_1}}\) (hai góc so le trong) Mà \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)nên \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{I_2}}\) Do đó \(\Delta NIC\) cân và NC = NI (1) Tương tự, ta có: MB = MI (2) Tự (1) và (2) ta có: MI + IN = BM + CN Hay MN = BM + CN Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác vuông ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho \(\widehat {ABC} = 3\widehat {ABD}\). Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(\widehat {ACB} = 3\widehat {ACE}.\) Gọi F là giao điểm của BD và CE; I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác BFC. a. Tính \(\widehat {BFC.}\) b. Chứng tỏ rằng tam giác DEI là tam giác đều. Giải a. Trong tam giác vuông ABC ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}\) Vì \(\widehat {ABC} = 3\widehat {ABD}\) nên \(\widehat {DBC} = \frac{2}{3}\widehat {ABC}\) Tương tự \(\widehat {DBC} = \frac{2}{3}\widehat {ACB}\) Vậy \(\widehat {DBC} + \widehat {ECB} = \frac{2}{3}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \frac{2}{3}{.90^0} = {60^0}\) Ta có thể viết: \(\widehat {FBC} + \widehat {FCB} = {60^0}\) Suy ra: \(\widehat {BFC} = {180^0} - {60^0} = {20^0}\) b. Ta nhận thấy FI là đường phân giác trong vẽ từ đỉnh F của \(\Delta BFC.\) Mà \(\widehat {BFC} = {120^0}.\)Nên \(\widehat {BFI} = \widehat {IFC} = {60^0}.\) Suy ra \(\widehat {CFD} = {60^0}\). Hai tam giác CFD và CFI bằng nhau vì có \(\widehat {CFD} = \widehat {CFI} = {60^0},\) cạnh CF chung. \(\widehat {DFC} = \widehat {ICF.}\) Suy ra FD = FI Chứng minh tương tự ta có: FI = FE. Ba tam giác cân đỉnh F là BFI, IFE và EFD cùng có góc ở đỉnh bằng \({120^0}\) và các cạnh bên bằng nhau nên ba tam giác ấy bằng nhau từng đôi một. Suy ra: DI = IE =ED. Vậy \(\Delta DEI\) là tam giác đều. Bài 2: Cho tam giác ABC hai đường thẳng phân giác trong của hai góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\)cắt nhau ở điểm I và hai đường phân giác ngoài của hai góc ấy cắt nhau ở điểm D. Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng. Giải Hai phân giác trong của hai góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\)cắt nhau tại I nên I phải thuộc phân giác góc \(\widehat A\) Từ D hạ DH, DK, DJ vuông góc lần lượt với AB, BC, AC. Ta có: DH = DK (do D thuộc phân giác ngoài của góc B) Tương tự: \(DK{\rm{ }} = {\rm{ }}DJ \Rightarrow DH = DJ\) Điều này chứng tỏ D thuộc phân giác góc A hay D thuộc AD. Vậy A, I, D thẳng hàng.
