Tóm tắt lý thuyết 1. Định lý: Định lý là khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng. Mỗi định lý thường được phát biểu dưới dạng “Nếu A thì B”. A gọi là giả thiết, B gọi là kết luận. Giả thiết và kết luận được viết tắt tương ứng là GK và KL. 2. Chứng minh định lý: Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận. * Để chứng minh định lý ta làm như sau: - Vẽ hình - Ghi giả thiết, kết luận. - Nêu các bước chứng minh. Mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó. Ví dụ 1: Điền vào chỗ trống bằng những nội dung thích hợp để được các định lý: a. Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì…. b. Nếu …. Thì \(MA = MB = \frac{1}{2}AB.\) c. Nếu tia Ot là tia phân giác của góc xOy thì …. d. Nếu …..thì \(\widehat {xOt} = \widehat {tOy} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\) e. Nếu \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\) là hai góc đối đỉnh thì ….. Giải a. Có thể điền vào chỗ trống theo vài cách sau đây: * M nằm giữa A và B * MA= MB * \(MA = MB = \frac{1}{2}AB\) * M nằm giữa A,B và MA = MB * MA + MB = AB và MA = MB b. Chỉ có một cách điền vào chỗ trống: M là trung điểm của đoạn AB. c. Có thể điền vào chỗ trống theo vài cách sau đây: * Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. * \(\widehat {xOt} = \widehat {tOy}\) * \(\widehat {xOt} = \widehat {tOy} = \frac{1}{2}\widehat {xOy}\) * Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy và \(\widehat {xOy} = \widehat {tOy}\) * \(\widehat {xOy} = \widehat {tOy}\) và \(\widehat {xOt} + \widehat {tOy} + \widehat {tOy} = \widehat {xOy}\) d. Chỉ có một cách điền vào chỗ trống: Ot là tia phân giác của góc xOy. e. Có thể điền như sau: Chúng bằng nhau. * Nhận xét: Ở câu a, c, e còn có thể điền theo nội dung khác. Ví dụ 2: Cho mệnh đề: “Số đo của góc tạo bởi tia phân giác với mỗi cạnh của góc bằng nửa số đo của góc ấy”. a. Phát biểu mệnh đề trên dưới dạng: “Nếu…. thì….” b. Hãy chứng minh mệnh đề đó. Giải a. Nếu OM là tia phân giác của góc AOB thì: \(\widehat {AOM} = \widehat {MOB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) b. Chứng minh OM là phân giác của góc AOB nên: \(\left. \begin{array}{l}\widehat {MOA} + \widehat {MOB} = \widehat {AOB}\\\widehat {MOA} = \widehat {MOB}\end{array} \right\}2\widehat {MOA} = \widehat {APB} \Rightarrow \widehat {MOA} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) Mà \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB}\) nên \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) Ví dụ 3: Cho mệnh đề sau: “C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của đoạn AC, N là trung điểm của đoạn BC thế thì \(MN = \frac{1}{2}AB.\) Hãy chứng minh. Giải Ta có M là trung điểm của đoạn AC nên M thuộc tia AC, tương tự N thuộc tia BC. Hai tia CA, CB là hai tia đối nhau (do C nằm giữa AB) \( \Rightarrow \) C nằm giữa M và N ( Hình bên) Lại có: \(\left. \begin{array}{l}MC = \frac{1}{2}AC\\NC = \frac{1}{2}BC\end{array} \right\} \Rightarrow MC + NC = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB\) Hay \(MN = \frac{1}{2}AB\) Bài tập minh họa Bài 1: Chứng minh định lý: “Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông”. Giải Cho \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {BOC}\) là hai góc kề bù. OM, ON lần lượt là các tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) và \(\widehat {BOC.}\) Chứng minh \(\widehat {MON} = {90^0}.\) Ta có: OM là tia phân giác của góc AOB nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB và \(\widehat {MOB} = \frac{1}{2}AOB.\) Tương tự ON là tia phân giác của góc BOC nên ON nằm giữa hai tia OB và OC và \(\widehat {BON} = \frac{1}{2}BOC.\) Lại có: \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {BOC}\) là hai góc kề bù nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OC \( \Rightarrow \) OB nằm giữa hai tia OM và ON nên: \(\widehat {MON} = \widehat {MOB} + \widehat {BON} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {BOC}} \right) = \frac{1}{2} - {180^0} = {90^0}\) Bài 2: Chứng minh định lý sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau, Giải GT: a // b, c cắt a tại A, c cắt b tại B KL: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (đồng vị) Chứng minh: Giả sử có \(\widehat {{A_1}}\) không bằng \(\widehat {{B_1}}\), như vậy qua B ta kẻ đường thẳng xy tạo với đường thẳng C góc \(\widehat {ABy} = \widehat {{A_1}}\) Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có xy // a vì xy và a tạo thành hai góc đồng vị bằng nhau. Nhưng qua B, theo tiên đề Ơclit chỉ có một đường thẳng song song với a, vậy đường thẳng xy trùng với đường thẳng b. Hay ABy = \(\widehat {{B_1}}\). Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}.\) Bài 3: a. Hãy phát biểu định lý sau dưới dạng “nếu…thì…”: “Số đo góc tạo bởi tia phân giác với mỗi cạnh của góc bằng nửa số đo góc ấy”. b. Chứng minh định lý đó. Giải a. Phát biểu:” Nếu tia Ot là tia phân giác của góc xOy thì: \(\widehat {xOy} = \widehat {tOy} = \frac{1}{2}\widehat {xOy''}\) b. Chứng minh: * Ot là tia phân giác của góc xOy nên Ot nằm giữa hai cạnh Ox, Oy tức là: \(\widehat {xOt} + \widehat {tOy} = \widehat {xOy}\,{\,^{(1)}}\) Hơn nữa Ot tạo với Ox, Oy là những góc bằng nhau: \(\widehat {xOt} = \widehat {tOy}\,\,{\,^{(2)}}\) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {xOt} = \widehat {tOy}\,\, = \frac{1}{2}\widehat {xOy.}\)
