Bài 7: Định lí Pi-ta-go - Hình học 7

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết
    1. Định lý Pitago:
    Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

    \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} + A{C^2}\)

    [​IMG]

    2. Định lý Pitago đảo:
    Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

    Ví dụ 1: Nếu độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tăng lên 2 lần, 3 lần thì độ dài cạnh huyền thay đổi như thế nào?

    Giải

    Gọi b, c là độ dài của cạnh góc vuông, a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. Ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

    Độ dài hai cạnh góc vuông tăng lên 2 lần ta có \(b' = 2b \,c' = 2c.\) Khi đó ta có \(a{'^2} = b{'^2} + c{'^2} = {(2b)^2} + {(2c)^2} = 4{b^2} + 4{c^2}\) hay \(a{'^2} = 4({b^2} + {c^2}) = (2{a^2})\) suy ra cạnh huyền \(a'\) tăng lên 2 lần. (Do \(a' = 2a\))

    Tương tự độ dài cạnh huyền tăng lên lên 3 lần khi độ dài hai cạnh góc vuông tăng lên 3 lần.

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi M là trung điểm của AB, kẽ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh \(C{H^2} - B{H^2} = A{C^2}.\)

    Giải

    [​IMG]

    Nối CM. Trong tam giác vuông CHM có:

    \(C{H^2} = C{M^2} - CM\)

    Do đó:

    \(\begin{array}{l}C{H^2} - B{H^2} = (C{M^2} - M{H^2}) - B{H^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C{M^2} - (M{H^2} + B{H^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C{M^2} - B{M^2}\end{array}\)

    Mà MB = MA (gt)

    Nên \(C{H^2} - B{H^2} = C{M^2} - M{A^2}\)

    Vậy \(C{H^2} - B{H^2} = A{C^2}\)

    Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC kẽ AH vuông góc với BC (\((H \in BC).\) Tính chu vi tam giác ABC. Biết AC = 20cm, AH =12cm, BH =5cm.

    Giải

    [​IMG]

    Ta có tam giác AHB vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có:

    \(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{12^2}\,\, + \,\,{5^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = MM\,\, + \,25\,\, = 169\\AB\, = 13\,\,(cm)\end{array}\)

    Tam giác AHC vuông tại H. Theo định lý Pitago ta có:

    \(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 = {16^2}\)

    HC = 16 (cm)

    Nên BC = BH + HC = 5 +16 = 21 (cm)

    Chu vi tam giác ABC là:

    AB + BC + CA = 13 + 21 + 20 = 54 (cm)


    Bài tập minh họa
    Bài 1: Tam giác ABC có \(\widehat {A\,} = {120^0},BC = a,AC = b,AB = c.\)

    Chứng minh rằng \({a^2} = {b^2} + {c^2} + bc\)

    Giải

    [​IMG]


    Kẻ \(BH \bot AC\) tại H

    Xét \(\Delta BHA\) vuông

    \(B{H^2} = {C^2} - {\left( {\frac{c}{2}} \right)^2} = \frac{{3{c^2}}}{4}\)

    Xét \(\Delta BHC\) vuông:

    \(B{C^2} = C{H^2} + B{H^2} = {\left( {{b^2} + \frac{c}{2}} \right)^2} + \frac{{3{c^2}}}{4} = {b^2} + bc + {c^2}\)

    Bài 2: Cho tam giác đều ABC, điểm M ở bên trong tam giác, trong đó MA = 1cm, MB=2cm, MC = \(\sqrt 3 \) cm

    a. Tính độ dài cạnh của tam giác ABC

    b. Tính số đo các góc AMB, BMC, CMA.

    Giải

    [​IMG]

    a. Vẽ \(\Delta BMD\) đều (D và M khác phía đối với AB)

    Xét \(\Delta BDA\) và \(\Delta BMC\):

    BD = BM

    BA = BC

    \(\widehat {DBA} = \widehat {MBC} = {60^0} - \widehat {ABM}\)

    Vậy \(\Delta BDA = \Delta BMC\) (c.g.c)

    \( \Rightarrow DA = MC = \sqrt 3 \)

    \(\Delta ADM\) có \(A{D^2} + A{M^2} = 3 + 1 = 4 = M{D^2}\)

    \( \Rightarrow \widehat {MAD} = {90^0}\) (định lý Pitago đảo)

    \(\Delta ADM\) vuông có \(MA = \frac{1}{2}MD\) nên \(\widehat {ADM} = {30^0}\)

    Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADM} + \widehat {MDB} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\)

    Trong \(\Delta ADB\) vuông: \(A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} = 3 + 4 = 7\)

    Vậy \(AB = \sqrt 7 \)

    b. \(\widehat {AMB} = \widehat {AMD} + \widehat {BMD} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\)

    \(\Delta BMC\) có \(M{B^2} + M{C^2} = 4 + 3 = 7 = B{C^2}\)

    \( \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\) (định lý Pitago đảo)

    Suy ra \(\widehat {AMC} = {150^0}\)

    Bài 3: Từ điểm O trong \(\Delta ABC\), kẻ OF, OG, OH vuông góc với AB, BC, CD. Chứng minh hệ thức:

    \(A{F^2} + B{G^2} + C{H^2} = A{H^2} + B{F^2} + C{G^2}\)

    Giải

    [​IMG]

    Ta có: \(O{A^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2}{\rm{ + O}}{{\rm{F}}^2} = A{H^2} + O{H^2}\,{\,^{(1)}}\)

    (\(\Delta AFO,\,\Delta AHO\) vuông tại \({F_1}H\))

    \(O{B^2}{\rm{ = B}}{{\rm{G}}^2}{\rm{ + O}}{{\rm{G}}^2} = B{F^2} + O{F^2}\,{\,^{(2)}}\)

    (\(\Delta BOG,\,\Delta BFO\) vuông tại G, F)

    \(O{C^2}{\rm{ = C}}{{\rm{H}}^2}{\rm{ + O}}{{\rm{H}}^2} = C{G^2} + O{G^2}\,{\,^{(3)}}\)

    (\(\Delta OGH,\,\Delta OGC\) vuông tại H, G)

    Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

    \(\begin{array}{l}{\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + O{F^2} + B{G^2} + O{G^2} + C{H^2} + O{H^2}\\ = A{H^2} + O{H^2} + B{F^2} + O{F^2} + C{G^2} + O{G^2}\end{array}\)

    Vậy \({\rm{A}}{{\rm{F}}^2} + B{G^2} + C{H^2} = A{H^2} + B{F^2} + C{G^2}\