Bài 7: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập - Hình học 7

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết
    1. Tính chất của các điểm thuộc đường trung trực
    Định lý 1: (Định lý thuận)

    Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

    Định lý 2: (Định lý đảo)

    Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì năm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

    Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có: tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

    2. Ứng dụng
    [​IMG]

    Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng thước thẳng và compa; như sau:

    * Lấy M làm tâm vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn \(\frac{1}{2}MN\). Lấy N làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó.

    Hai cung tròn này có hai điểm chung là P, Q.

    * Dùng thước vẽ đường thẳng PQ. Đó đường trung trực của đoạn thẳng MN.

    Ví dụ 1: Cho \(\Delta ABC.\) Hãy tìm một điểm cách đều hai cạnh AB, AC và cách đều hai đỉnh A, B.

    Giải

    [​IMG]

    Mọi điểm trên đường phân giác của góc A thì cách đều hai cạnh AB, AC.

    Mọi điểm trên đường trung trực của AB thì cách đều hai điểm A, B.

    Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đường phân giác và đường trung trực nói trên.

    Ví dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại điểm cách đều, ba điểm thẳng hàng.

    Giải

    [​IMG]

    Giả sử tồn tại điêm O cách đều ba điểm A, B, C thẳng hàng.

    Suy ra OA = OB = OC.

    Vì OA = OB nên O nằm trên đường trung trực \({d_1}\) của AB.

    Vì OB = OC nên O nằm trên đường trung trực \({d_2}\) của BC.

    Do đó O là giao điểm của 2 đường trung trực \({d_1},{d_2}\) của AB và BC

    Vì \({d_1} \bot AB,\,{d_2} \bot BC\) và A, B, C thẳng hàng nên \({d_1}//{d_2}\)tại O.

    Vậy không có điểm nào cách đều ba điểm thẳng hàng.

    Ví dụ 3: Cho m là đường trung trực của đoạn thẳng AB, C là điểm thuộc m. Gọi Cx là tia đối của tia CA, Cn là tia phân giác của góc BCx. Chứng minh rằng Cn vuông góc với m.

    Giải

    [​IMG]

    Gọi H là giao điểm của m và AB.

    Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHC\) có HA = HB (H là điểm nằm trên đường trung trực của AB)

    \(\widehat {AHC} = \widehat {AHC} = {90^0}\)

    CH là cạnh chung

    Nên \(\Delta AHC = \Delta BHC\) (c.g.c)

    Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {BCH}\)

    Nên CH là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)

    Cn là tia phân giác của \(\widehat {BCx}\) (gt)

    Như vậy m và Cn là hai tia phân giác của hai góc kề bù ACB và BCx nên \({C_n} \bot m.\)


    Bài tập minh họa
    Bài 1: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao điểm M cách đều hai điểm A, B.

    Giải

    [​IMG]

    Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

    Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

    + Nếu \(AB \bot d\) thì xy // d, ta không xác định được M.

    + Ngoài trường hợp \(AB \bot d\) luôn luôn xác định được điểm M, và M là điểm duy nhất.

    Bài 2: Tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

    Giải

    [​IMG]

    Nối BE và ED

    Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADE\) có:

    AB = AE (gt)

    \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)).

    AD cạnh chung

    Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADE\,\,(c.g.c)\)

    Suy ra DB = DE

    Lại có AB = AE

    Do đó AB là đường trung trực của BE.

    Vậy \(AD \bot BE.\)

    Bài 3: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ \(MH \bot AB.\) Trên đoạn MH lấy điểm P. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BP với MA.

    a. Chứng minh MH là phân giác góc AMB

    b. Chứng minh MH là trung trực của đoạn thẳng EF

    c. Chứng minh AF = BE.

    Giải

    [​IMG]

    a.

    Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:

    HA = HB (H là trung trực của AB)

    \(\widehat {MHA} = \widehat {MHB}\,\,( = {90^0})\)

    MH cạnh chung.

    Nên \(\Delta MHA = \Delta MHB\,\,(c.g.c)\)

    Suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}.\)

    Vậy MH là phân giác của \(\widehat {AMB}\)

    b.

    Trên cạnh MB ta lấy E’ sao cho MF = ME’

    Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E'MP\), có:

    MF = ME’ (cạnh lấy điểm E’)

    \(\widehat {FMP} = \widehat {E'MP}\) (do \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}\))

    MP cạnh chung

    Nên \(\Delta FMP = \Delta E'MP\,\,(c.g.c)\)

    Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {E'PM}\,{\,^{(1)}}\)

    Gọi giao điểm của FE’ với MH là K

    Ta lại có \(\Delta PHA = \Delta PHB\,\,(c.g.c)\) (chứng minh tương tự như câu a)

    Suy ra \(\widehat {APH} = \widehat {BPH}.\)

    Mà \(\widehat {APH} = \widehat {EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {BPH} = \widehat {FPM}\) (đối đỉnh)

    Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {EPM}\,{\,^{(2)}}\)

    Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EPM} = \widehat {E'PM}\)

    Hay E’ trùng với E

    Do đó MF = ME (3)

    Lại có PF = PE’ (do \(\Delta FMP = \Delta E'MP\))

    Nên PF = PE (4) (Do E’ trùng với E)

    c.

    AF = AM – FM

    BE = BM – EM

    mà AM = BM (M thuộc trung trực AB)

    FM = EM (cmt)

    nên ta suy ra: AF = BE.