Tóm tắt lý thuyết 1. Đường cao của tam giác: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao. 2. Tính chất ba đường cao của tam giác. Định lý: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. 3. Tính chất về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác. * Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó. * Trong tam giác đều, các điểm: trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. Nhận xét: Nếu hai trong bốn loại đường trên trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Ví dụ 1: Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác vuông cân ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông với BE. Giải Ta có \(\Delta ADE\) vuông cân tại A nên \(\widehat {AED} = {45^0}\) mà \(\widehat {ACB} = {45^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông cân tại A) Do đó \(ED \bot BC\) Ta lại có \(BA \bot EC.\) Vậy D là trực tâm của \(\Delta EBC\) Suy ra \(CD \bot BE\) Ví dụ 2: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D trên mặt phẳng. Biết rằng AB vuông góc với AD, AC vuông góc với BD. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC. Giải Ta nhận thấy A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Thật vậy, nếu chúng thuộc đường thẳng a thì do \(AB \bot CD,AC \bot BD\) ta có (H). BD và CD cũng vuông góc với a, vô lý. Xét \(\Delta ABC\), ta thấy D nằm trên đường thẳng qua C và vuông góc với AB, D cũng nằm trên đường thẳng qua B và vuông góc với AC nên D là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Vậy \(AD \bot BC.\) Ví dụ 3: Cho đường thẳng x’x và một điểm O nằm trên đường thẳng ấy. Dựng tia Oy vuông góc với x’x. Trên tia Oy lấy hai điểm A và B nào đó sao cho nằm giữa O và B, trên tia Ox lấy một điểm C nào đó. Gọi D là hình chiếu của A trên đường thẳng BC. a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng x’x và AD cắt nhau tại điểm E. b. Chứng minh: \(AC \bot BE\) c. Chứng minh rằng hai góc BAE và BCE bù nhau (tổng số đo hai góc bằng \({180^0}\)) Giải a. Hai đường thẳng AD và x’x phân biệt. Giả sử AD // x’x. Vì \(AD \bot BC\) nên \(x'x \bot BC.\) Như vậy qua điểm B có hai đường thẳng BO và BC cùng vuông góc với x’x, vô lý. Từ đó, AD không song song x’x nên AD cắt x’x tại điểm E. b. Xét \(\Delta BCE\) hai đường thẳng cao BO và ED cắt nhau tại điểm A nên A là trực tâm của \(\Delta BCE\) Đường cao xuất phát từ đỉnh C đi qua A hay \(AC \bot BE.\) c. Xét tam giác vuông AOC, ta có: \(\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = {90^0}\,\,{\,^{(1)}}\) Xét tam giác vuông ADC ta có: \(\widehat {CAD} + \widehat {ACD} = {90^0}\,\,{\,^{(2)}}\) Cộng (1) và (2) vế với với ta được: \(\widehat {OAC} + \widehat {CAD} + \widehat {OCA} + \widehat {ACD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OCD} = {180^0}\) Vì \(\widehat {OAD} = \widehat {BAE},\) còn có \(\widehat {OCD}\) chính là góc \(\widehat {BCE}\), suy ra: \(\widehat {BAE} + \widehat {BCE} = {180^0}\) Bài tập minh họa Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và yy’ cắt nhau tại O. Trên Ox, Ox’ lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Giải Ta có: OA = OB (gt) Nên \(\Delta OAB\) cân ở O. OC = OD (gt) Nên \(\Delta OCD\) cân ở O Trong \(\Delta OAB\) cân ở O có OM là đường trung tuyến (MA = MB) nên OM cũng là đường phân giác của \(\widehat O\). Tương tự ON cũng là đường phân giác của \(\widehat O\) OM, ON là các tia phân giác của hai góc đối đỉnh nên M, C, N thẳng hàng. Bài 2: Cho \(\Delta ABC\) cân ở A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và của góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng: a. d là phân giác ngoài của góc A. b. AE = AF Giải \(\widehat {{A_1}} = \widehat B\) (d // BC, đồng vị) \(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân) Nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat C\) Mà \(\widehat {{A_2}} = \widehat C\) (d // BC, so le) Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) Vậy d là phân giác ngoài của \(\widehat {A\,}\) b. Ta có: \(\widehat {FEB} = \widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat B\) (so le trong) \(\widehat {FEC} = \widehat {FCB} = \frac{1}{2}\widehat C\) (so le trong) Mà \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân) Nên \(\widehat {FEB} = \widehat {EFC}\) Suy ra \(\Delta IFE\) cân tại I Mặt khác \(AI \bot AE.\) Nên IA là đường cao của tam giác cân IFE nên cũng là đường trung tuyến. Vậy AE =AF.
