HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1. ĐỊNH NGHĨA TOẠ ĐỘ VECTOR, TOẠ ĐỘ ĐIỂM Hệ toạ độ trong không gian: - 3 trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là trục hoành, trục tung, trục cao. - 3 mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Oxz) được gọi là 3 mặt phẳng toạ độ. - 3 vector \(\displaystyle \overrightarrow i ,\;\;\overrightarrow j ,\;\;\overrightarrow k \)cùng hướng với 3 tia Ox, Oy, Oz và có độ dài bằng 1 được gọi là 3 vector đơn vị.Mọi vector \(\displaystyle \overrightarrow a \)trong không gian đều biểu diễn được theo 3 vector \(\displaystyle \overrightarrow i ,\;\;\overrightarrow j ,\;\;\overrightarrow k \) một cách duy nhất dạng: \(\displaystyle \overrightarrow a = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \) Bộ số \(\displaystyle (x;y;z)\) được gọi là toạ độ của vector \(\displaystyle \overrightarrow a \). Ký hiệu \(\displaystyle \overrightarrow a = (x;y;z)\) - x: hoành độ - y: tung độ - z: Cao độVới một điểm A bất kỳ trong không gian Oxyz, ta định nghĩa: Toạ độ A = Toạ độ \(\displaystyle \overrightarrow {OA} \) 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) cho hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\vec b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) và một số thực\(\displaystyle k.\) Khi đó ta có: \(\displaystyle \begin{array}{l}\vec a + \vec b = ({a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3})\\\vec a - \vec b = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3})\\k\vec a = (k{a_1};k{a_2};k{a_3})\end{array}\) Chú ý. 1. \(\displaystyle \vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right..\) 2. \(\displaystyle \vec 0 = (0;0;0).\) 3. \(\displaystyle \vec a\) và \(\displaystyle \vec b\;( \ne \vec 0)\) cùng phương \(\displaystyle \Leftrightarrow \) có một số thực \(\displaystyle k\) sao cho \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right.\) hay \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\\{b_3} = k{a_3}\end{array} \right.\) 4. Nếu \(\displaystyle A = ({a_1};{a_2};{a_3}),B = ({b_1};{b_2};{b_3})\) thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3}).\) 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG: 1. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\vec b = ({b_1};{b_2};{b_3}).\) Ta có \(\displaystyle \vec a.\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}.\) 2. Độ dài của một véctơ: Cho véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\) ta có \(\displaystyle \left| {\vec a} \right| = \sqrt {\vec a.\vec a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\) 3. Khoảng cách giữa hai điểm \(\displaystyle A = ({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(\displaystyle B = ({x_B};{y_B};{z_B})\) là \(\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} .\) 4. Gọi \(\displaystyle \varphi \) là góc giữa hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và\(\displaystyle \vec b = ({b_1};{b_2};{b_3}).\) Ta có: \(\displaystyle \cos \varphi = \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\) và \(\displaystyle \vec a \bot \vec b \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = 0.\) 4. CÁC TÍNH TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ ĐIỂM: - Xét tam giác \(\displaystyle ABC\) ta có các điểm đặc biệt sau: - M là trung điểm của AB \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\) - \(\displaystyle G\) là trọng tâm của\(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\) - \(\displaystyle H\) là trực tâm của\(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AC} {\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\) - \(\displaystyle A'\) là chân đường cao hạ từ đỉnh\(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\) - \(\displaystyle D\) là chân đường phân giác trong của góc \(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = - \frac{{AB}}{{AC}}.\overrightarrow {DC} \) - \(\displaystyle E\) là chân đường phân giác ngoài của góc\(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {EB} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {EC} \) - Xét tứ diện \(\displaystyle ABCD\) ta có các điểm đặc biệt sau: - \(\displaystyle G\) là trọng tâm tứ diện \(\displaystyle ABCD \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right.\) - \(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của\(\displaystyle A\) trên \(\displaystyle \left( {BCD} \right)\) - \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành \(\displaystyle \Leftrightarrow D = A + C - B\) CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho \(\displaystyle \overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của \(\displaystyle \overrightarrow a \) ? Hướng dẫn giải Theo định nghĩa \(\displaystyle \overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) nên tọa độ của \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( { - 6;8;4} \right)\) Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ đối của véctơ \(\displaystyle \overrightarrow a \) ? Hướng dẫn giải Véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right)\)có véctơ đối là \(\displaystyle - \overrightarrow a = - \left( {5;7;2} \right) = \left( { - 5; - 7; - 2} \right)\) . Ví dụ 3: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho hai điểm \(\displaystyle A\left( {5;7;2} \right),B\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) ? Hướng dẫn giải Tọa độ véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 5;0 - 7;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 7;2} \right)\) Ví dụ 4: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho ba véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;4} \right),\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ: \(\displaystyle \overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \) ? Hướng dẫn giải Ta có \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3\overrightarrow a = 3\left( {5;7;2} \right) = \left( {15;21;6} \right)\\ - 2\overrightarrow b = - 2\left( {3;0;4} \right) = \left( { - 6;0; - 8} \right)\\\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\end{array} \right.\) Vậy \(\displaystyle \overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {15 - 6 - 6;21 + 0 + 1;6 - 8 - 1} \right) = \left( {3;22; - 3} \right)\). Ví dụ 5: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {1; - 2;2} \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ? Hướng dẫn giải Áp dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm tam giác ta có tọa độ trọng tâm \(\displaystyle G\) cần tìm là \(\displaystyle G\left( {\frac{{1 + 2 + 1}}{3};\frac{{0 + 1 - 2}}{3};\frac{{ - 2 - 1 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) , Ví dụ 6: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {1; - 2;2} \right).\)Xác định tọa độ điểm \(\displaystyle D\) đề \(\displaystyle ABCD\)là hình bình hành. Hướng dẫn giải Để \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) Ta có\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\), gọi \(\displaystyle D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;2 - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - x\\1 = - 2 - y\\1 = 2 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = 1\end{array} \right.\) Ví dụ 7: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho 2 véctơ \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( {5;7;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;3; - 4} \right)\). Tính tích vô hướng của \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \)? Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có \(\displaystyle \overrightarrow a .\overrightarrow b = 5.1 + 7.3 + 2.\left( { - 4} \right) = 5 + 21 - 8 = 18\) Ví dụ 8: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\)cho ba điểm \(\displaystyle A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)\) Tính \(\displaystyle \cos \widehat {BAC}\) ? Hướng dẫn giải Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\) \(\displaystyle \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = ... = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\) . Ví dụ 9: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\)cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)\). Có \(\displaystyle M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(\displaystyle AB,AC\). Tính độ dại đường trung bình \(\displaystyle MN\)? Hướng dẫn giải Ta có tọa độ \(\displaystyle M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2};2} \right)\)\(\displaystyle ,N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) Vậy độ dại đường trung bình \(\displaystyle MN = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{9}{{}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) 5. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR VÀ ỨNG DỤNG Định nghĩa và công thức toạ độỨng dụng- Tích có hướng của hai vector \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \), ký hiệu là \(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a {\rm{,}}\overrightarrow b {\rm{]}}\), là một vector có: § Hướng vuông góc với cả \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \) § Độ lớn bằng \(\displaystyle |\overrightarrow a |.|\overrightarrow {b|} .\sin (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\) - Chú ý: Tích có hướng của 2 vector giúp ta tạo ra một vector vuông góc với cả hai vector đã cho và có độ dài bằng diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vector đó. - Công thức toạ độ: \(\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow a = ({x_1};{y_1};{z_1})\\\overrightarrow b = ({x_2};{y_2};{z_2})\end{array}\) . Ta có: \(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a {\rm{,}}\overrightarrow b {\rm{] = }}\left( {\left| \begin{array}{l}{y_1}\;\;\;{z_1}\\{y_2}\;\;\;{z_2}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{z_1}\;\;\;{x_1}\\{z_2}\;\;\;{x_2}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{x_1}\;\;\;{y_1}\\{x_2}\;\;\;{y_2}\end{array} \right|} \right)\)- Điều kiện \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \) cùng phương \(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a ,\overrightarrow b {\rm{]}} = \overrightarrow 0 \) - Điều kiện \(\displaystyle \overrightarrow a ,\;\overrightarrow b ,\;\overrightarrow c \) đồng phẳng \(\displaystyle {\rm{[}}\overrightarrow a {\rm{,}}\overrightarrow b {\rm{]}}.\overrightarrow c = 0\) - Tính diện tích tam giác, hình bình hành \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} {\rm{]}}} \right|\) (Bỏ \(\displaystyle \frac{1}{2}\) nếu là 2 cạnh hình bình hành cho ta diện tích hình bình hành) - Tính thể tích tứ diện, hình hộp \(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AD} } \right|\) (Bỏ \(\displaystyle \frac{1}{6}\) nếu đó là 3 cạnh hình hộp cho ta thể tích khối hộp) - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng biết 4 điểm \(\displaystyle d(A,(BCD)) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {BC} {\rm{,}}\overrightarrow {BD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {BA} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {BC} {\rm{,}}\overrightarrow {BD} {\rm{]}}} \right|}}\) - Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau biết toạ độ 4 điểm \(\displaystyle d(AB,CD) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}} \right|}}\)- Nhập 3 vecto vào máy Casio fx-570VN Plus + vecA: Mode 8 1 1 + vecB: Shift 5 2 2 1 + vecC: Shift 5 2 3 1 + AC- Tính toán vecto trong MTCT + [vecA, vecB]=Shift 5 3 x Shift 5 4 + vecA.vecB = Shift 5 3 Shift 5 7 Shift 5 4 + [vecA, vecB].vecC=( Shift 5 3 x Shift 5 4) Shift 5 7 Shift 5 5 + |vecA|=Shift HYP Shift 5 3 + |[vecA, vecB]|= Shift HYP( Shift 5 3 x Shift 5 4) CÁC VÍ DỤ: VD1. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tam giác ABC có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\). Tính diện tích của tam giác \(\displaystyle ABC\)? Hướng dẫn giải: Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\) \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) VD2. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tứ diện \(\displaystyle ABCD\)có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính thể tích tứ diện \(\displaystyle ABCD\)? Hướng dẫn giải: Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {{\rm A}D} = ( - 1;2;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\) \(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm A}D} | = \frac{1}{6}|2.( - 1) + 0.2 + 1.4| = \frac{1}{3}\) VD3. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tứ diện \(\displaystyle ABCD\)có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính khoảng cách từ D đến (ABC) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {{\rm A}D} = ( - 1;2;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\) \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) \(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm A}D} | = \frac{1}{6}|2.( - 1) + 0.2 + 1.4| = \frac{1}{3}\) \(\displaystyle \Rightarrow d(D,(ABC)) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{1}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) VD4. Cho bốn điểm \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau AB, CD? Hướng dẫn giải: Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {CD} = (0;1;2) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {CD} {\rm{]}} = (2; - 2;1)\) \(\displaystyle d(AB,CD) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}} \right|}} = \frac{{|2.( - 1) + ( - 2).1 + 1.2|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\)
