Trong bài đăng này, ta sẽ bàn luận về những bài toán tổ hợp có thể sử dụng hệ quả của bài toán chia kẹo Euler. Bài toán chia kẹo Euler được phát biểu như sau "Cho $k$ em bé và $n\ge k$ viên kẹo. Có bao nhiêu cách chia $n$ viên kẹo cho $k$ em bé đó sao cho em bé nào cũng có kẹo." Xếp $n$ viên kẹo thành hàng ngang. Số cách chia kẹo là số cách đặt $k-1$ vách ngăn vào giữa khoảng tống của các viên kẹo. Có $n-1$ khoảng trống như vậy nên số cách chia kẹo là $C_{n-1}^{k-1}$. Một phát biểu khác của bài toán này là "Có bao nhiêu cách chia $n$ viên kẹo cho $k$ em bé."Trong phát biểu này, một cách chia thỏa mãn có thể là cách chia mà trong đó có một số em bé không có kẹo. Ta sẽ giải bài toán này bằng cách đưa về bài toán gốc. Cho mỗi em bé một viên kẹo. Khi đó bài toán được chuyển thành "Có bao nhiêu cách chia $n+k$ viên kẹo cho $k$ em bé sao cho em bé nào cũng có kẹo." Số cách chia thỏa mãn trong trường hợp này là $C^{n+k-1}_{k-1}$.
$\boxed{\text{Ví dụ 1}}$ Cho phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=20$. Đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình. Bổ sung điều kiện $x_1\geq1,x_2\geq2,x_3\geq3,x_4\geq4$. Bổ sung điều kiện $x_1,x_2,x_3,x_4$ chẵn. Bổ sung điều kiện $x_1\le3$. Bất phương trình $x_1+x_2+x_3\le20$ có mấy nghiệm không âm? Spoiler: Lời giải $C_{19}^3.$ Số nghiệm của phương trình ban đầu thỏa điều kiện bằng với số nghiệm nguyên dương của\begin{align*}y_1+y_2+y_3+y_4=14.\end{align*}Số nghiệm nguyên dương của phương trình này là $C_{13}^3.$ $C_9^3.$ Phương trình ứng với $x_1\geq4$ là\begin{align*}y_1+x_2+x_3+x_4=17.\end{align*}Như vậy số nghiệm là $C_{19}^3-C_{16}^3.$ Số nghiệm của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=20,0\le\ x_4$ là $C_{23}^3.$
$\boxed{\text{Ví dụ 2}}$ Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ sao cho $a_1>a_2>a_3>a_4>a_5\geq0$. Câu hỏi tương tự với $a_1\geq\ a_2\geq\ a_3\geq\ a_4\geq\ a_5$. Spoiler: Lời giải Đặt $x_5=a_5+1\geq1,x_4=a_4-a_5\geq1,x_3=a_3-a_4\geq1,x_2=a_2-a_3\geq1,x_1=a_1-a_2\geq1,\ x_0=10-a_1\geq1$. Số các số tự nhiên cần tìm là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=9$, bằng $C_{10}^5$. Đặt $x_5=a_5\geq0,x_4=a_4-a_5\geq0,x_3=a_3-a_4\geq0,x_2=a_2-a_3\geq0,x_1=a_1-a_2\geq0,\ x_0=9-a_1\geq0.$ Số các số tự nhiên cần tìm là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=9$, bằng $C_{14}^5-1.$
$\boxed{\text{Ví dụ 3}}$ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $7$ số $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_7$ từ $1,2,3,\ldots,2016$ sao cho $\left|a_i-a_j\right|>1\ \forall\ i\neq\ j$? Spoiler: Lời giải Do ta chỉ chọn ra $7$ số mà không xét đến thứ tự nên giả sử \begin{align*} 0<a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6<a_7<2017. \end{align*} Tương tự ví dụ trên, số cách chọn bằng với số nghiệm của phương trình \begin{align*} x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=2017,x_i\geq1. \end{align*} Theo công thức chia kẹo Euler, số nghiệm của phương trình này là $C_{2016}^7.$
$\boxed{\text{Ví dụ 4}}$ Cho một nhóm gồm $5$ cô gái, kí hiệu là $G_1,G_2,G_3,G_4,G_5$ và $12$ chàng trai. Có $17$ chiếc ghế được sắp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau đây đồng thời thỏa mãn Mỗi ghế có đúng 1 người ngồi Thứ tự các cô gái ngồi từ trái sang phải là $G_1,G_2,G_3,G_4,G_5$. Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất $3$ chàng trai. Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất $1$ và nhiều nhất $4$ chàng trai. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? (Hai cách xếp được gọi là khác nhau nếu tồn tại một người mà trong mỗi cách xếp thì ngồi một ghế khác nhau) Spoiler: Lời giải Tính từ trái sang, gọi số chàng trai ngồi trước $G_1$ là $x_1$, số chàng trai ngồi giữa $G_i,G_{i-1}$ là $x_i,i=2,..,5$ , số chàng trai ngồi bên phải $G_5$ là $x_6$ thì ta có \begin{align*} \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=12\\ x_i\ge 0,i=1\ldots 6\\ x_2\ge 3\\ 1\le x_5\le 4. \end{cases} \end{align*} Đặt $y_2=x_2-3,y_5=x_5-1$, ta có \begin{align*} \begin{cases} x_1+y_2+x_3+x_4+y_5+x_6=8\\ x_i,y_i\ge 0\\ y_5\le 3. \end{cases} \end{align*} Số nghiệm của bài toán này là $C_{13}^5-C_9^5.$
