Bài 1 trang 49 sgk đại số 10. Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol. a) \(y = {x^2} - 3x + 2\); b) \(y = - 2{x^2} + {\rm{ }}4x - 3\); c) \(y= {x^2} - 2x\); d) \(y = - {x^2} + 4\). Giải a) \(y = {x^2} - 3x + 2\). Hệ số: \(a = 1, b = - 3, c = 2\). Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}.\) Tung độ đỉnh \(y_1\) = \(-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.2.1-(-3)^{2}}{4.1}=-\frac{1}{4}.\) Vậy đỉnh parabol là \(I(\frac{3}{2};-\frac{1}{4})\). Giao điểm của parabol với trục tung là \(A(0; 2)\). Hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình: \(x^2- 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\) Vậy các giao điểm của parabol với trục hoành là \(B(1; 0)\) và \(C(2; 0)\). b) \(y = - 2{x^2} + {\rm{ }}4x - 3\) Hệ số: \(a=-2;b=4;c=-3\) Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a}=1\) Tung độ đỉnh \(y_1\) = \(-\frac{\Delta }{4a}=\frac{4.(-2).(-3)-4^{2}}{4.(-2)}=-1.\) Vậy đỉnh parabol là \(I(1;-1)\). Giao điểm với trục tung \(A(0;- 3)\). Phương trình \(- 2x^2+ 4x - 3 = 0\) vô nghiệm. Không có giao điểm của parabol với trục hoành. c) Đỉnh \(I(1;- 1)\). Các giao điểm với hai trục tọa độ: \(A(0; 0), B(2; 0)\). d) Đỉnh \(I(0; 4)\). Các giao điểm với hai trục tọa độ: \(A(0; 4), B(- 2; 0), C(2; 0)\). Bài 2 trang 49 SGK Đại số 10. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số. a) \(y = 3x^2- 4x + 1\); b) \(y = - 3x^2+ 2x – 1\); c) \(y = 4x^2- 4x + 1\); d) \(y = - x^2+ 4x – 4\); e) \(y = 2x^2+ x + 1\); f) \(y = - x^2+ x - 1\). Giải a) \(y = 3x^2- 4x + 1\) Bảng biến thiên: Đồ thị: - Đỉnh: \(I\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 3}} \right)\) - Trục đối xứng: \(x = {2 \over 3}\) - Giao điểm với trục tung \(A(0; 1)\) - Giao điểm với trục hoành \(B\left( {{1 \over 3};0} \right)\), \(C(1; 0)\). b) \(y = - 3x^2+ 2x – 1\) Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: - Đỉnh \(I\left( {{1 \over 3}; - {2 \over 3}} \right)\), trục đối xứng: \(x = {1 \over 3}\) - Giao điểm với trục tung \(A(0;- 1)\). - Giao điểm với trục hoành: không có. Ta xác định thêm điểm phụ: \(B(1;- 2)\), \(C(1;- 6)\). c) \(y = 4x^2- 4x + 1\). Lập bảng biến thiên và vẽ tương tự câu a, b. d) \(y = - x^2+ 4x – 4=- (x – 2)^2\) Bảng biến thiên: Cách vẽ đồ thị: Ngoài cách vẽ như câu a, b, ta có thể vẽ như sau: + Vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số \(y = - x^2\). + Tịnh tiến \((P)\) song song với \(Ox\) sang phải \(2\) đơn vị được \((P1)\) là đồ thị cần vẽ. (hình dưới). e) \(y = 2x^2+ x + 1\); - Đỉnh \(I\left( {{{ - 1} \over 4};{{ - 7} \over 8}} \right)\) - Trục đối xứng : \(x = {{ - 1} \over 4}\) - Giao \(Ox\): Đồ thị không giao với trục hoành - Giao \(Oy\): Giao với trục tung tại điểm \((0;1)\) Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị theo bảng sau: f) \(y = - x^2+ x - 1\). - Đỉnh \(I\left( {{1 \over 2};{{ - 3} \over 4}} \right)\) - Trục đối xứng : \(x = {1 \over 2}\) - Giao Ox: Đồ thị không giao với trục hoành - Giao Oy: Giao với trục tung tại điểm \((0;-1)\) Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị theo bảng sau: Bài 3 trang 49 sgk đại số 10. Xác định parabol \(y = ax^2+ bx + 2\), biết rằng parabol đó: a) Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\); b) Đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}.\) c) Có đỉnh là \(I(2;- 2)\); d) Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}.\) Giải a) Vì parabol đi qua \(M(1; 5)\) nên tọa độ của \(M\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(5 = a.1^2+ b.1 + 2\). Tương tự, với \(N(- 2; 8)\) ta có: \(8 = a.(- 2)^2 + b.(- 2) + 2\) Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.\) ta được \(a = 2, b = 1\). Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\). b) Vì parabol đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) nên tọa độ \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(a(3)^{2}+b.3+2=-4\) Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có: \(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\) Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\). c) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) do đó tọa độ \(I\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(a.2^2+b.2+2=-2\) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol có trục đối xứng là: \(x=2\) do đó: \( -\frac{b}{2a}=2\) Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\a.2^2+b.2+2=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\). d) Vì parabol đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm đúng phương trình của parabol: \(a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\) Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có: \(\frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \) Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{\begin{matrix} a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\\ \frac{8a-b^{2}}{4a}=-\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=16\\ b=12 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\). Bài 4 trang 50 sgk đại số 10. Xác định \(a, b, c\), biết parabol \(y = ax^2+ bx + c\) đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh \(I(6; - 12)\). Giải Parabol đi qua điểm \(A(8; 0)\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol ta có: \(a.8^2+b.8+c=0\) Parabol có đỉnh \(I(6; - 12)\) nên ta có: \( -\frac{b}{2a} =6 \) \(\frac{4ac-b^{2}}{4a} =-12 \) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a(8)^{2}+b(8)+c=0\\ -\frac{b}{2a} =6 \\\frac{4ac-b^{2}}{4a} =-12 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-36 \\ c=96 \end{matrix}\right.\) Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 3x^2- 36x + 96\).
