Bài 1 trang 105 SGK Đại số 10. Xét dấu các tam thức bậc hai a) \({x^{2}}-3x + 1\); b) \(- 2{x^2} + 3x + 5\); c) \({x^2} +12x+36\); d) \((2x - 3)(x + 5)\). Giải a) \({x^{2}}-3x + 1\) \(∆ = (- 3)^2– 4.5 < 0 \Rightarrow 5x^2- 3x + 1 > 0 , ∀x ∈\mathbb R\) (vì luôn cùng dấu với \(a=5 > 0\)). b) \(- 2{x^2} + 3x + 5\) \( - 2{x^2} + 3x + 5=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\) \( - 2{x^2} + 3x + 5 <0\) với \(x \notin \left [ -1;\frac{5}{2} \right ]\) \( - 2{x^2} + 3x + 5 >0\) với \(- 1 < x < \frac{5}{2}\). c) \({x^2} +12x+36\) \(\Delta ' = {6^2} - 1.36 = 0\) \({x^2} + 12x + 36 = 0 \Leftrightarrow x = - 6\) Do đó: \({x^2} + 12x + 36 > 0, ∀x ≠ - 6\). d) \((2x - 3)(x + 5)=2x^2+7x-15\) \((2x - 3)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 5 \hfill \cr x = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Hệ số của tam thức là: \(a=2 > 0\). Do đó: \((2x - 3)(x + 5) > 0\) với \(x \notin \left[-5;\frac{3}{2}\right]\) \((2x - 3)(x + 5) < 0\) với \(x \notin \left(-5;\frac{3}{2}\right).\) Bài 2 trang 105 SGK Đại số 10. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\); b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)\); c) \(f(x) = (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)\); d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}.\) Giải a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\) \(3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 3} \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.\) \(4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 4}\) Bảng xét dấu: Kết luận: \(f(x) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right) \cup \left( {{5 \over 4};3} \right)\) \(f(x) > 0\) với \(x \in \left( {{1 \over 3};{5 \over 4}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr x = 1 \hfill \cr x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: c) \(f(x) = (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 2} \hfill \cr x = - {1 \over 2} \hfill \cr x = - {9 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \sqrt 3 \hfill \cr x = - \sqrt 3 \hfill \cr x = {1 \over 3} \hfill \cr x = 0 \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: Bài 3 trang 105 SGK Đại số 10. Giải các bất phương trình sau a) \(4{x^2} - x + 1 < 0\); b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\); c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4};\) d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\). Hướng dẫn. a) Tam thức \(f(x) =4{x^2} - x + 1 < 0\) có hệ số \(a = 4 > 0\) biệt thức \(∆ = (-1)^2- 4.4.1 < 0\). Do đó \(f(x) > 0 ,∀x ∈\mathbb R\). Bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\) vô nghiệm. b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\) \(f(x) = - 3{x^2} + x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Do đó: \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le {4 \over 3}\) c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{3}{3x^{2}+x-4}< 0\) \( \Leftrightarrow \frac{x+8}{(x^{2}-4)(3x^{2}+x-4)}< 0\) Lập bảng xét dấu vế trái: Tập nghiệm của bất phương trình \(S = (-∞; - 8) ∪ \left(- 2; -\frac{4}{3}\right) ∪ (1; 2)\). d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\) \(x^2- x - 6 =0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 3 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\) Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S =[- 2; 3]\). Bài 4 trang 105 sgk đại số 10. Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các phương trình sau vô nghiệm a) \((m - 2)x^2+ 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0\); b) \((3 - m)x^2- 2(m + 3)x + m + 2 = 0\). Giải a) +) Với \(m = 2\) phương trình trở thành \(2x + 4 = 0\) có \(1\) nghiệm, do đó trường hợp này không thỏa mãn. +) Với \(m\ne 2\) Phương trình vô nghiệm nếu: \(\left\{\begin{matrix} m-2\neq 0\\ \Delta ^{'}=(2m-3)^{2}-(m-2)(5m-6)< 0 \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} m-2\neq 0\\ -m^{2}+4m-3< 0 \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow m < 1 ∪ m > 3\). b) +) Với \(m = 3\), phương trình trở thành: \(- 6x + 5 = 0\) có nghiệm. Loại trường hợp \(m = 3\). +) Với \(m\ne 3\) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 3 \hfill \cr \Delta ' = {(m + 3)^2} - (3 - m).(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \ne 3 \hfill \cr 2{m^2} + 5m + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {3 \over 2} < m < - 1 \cr & \cr} \)
