Câu 1 trang 155 SGK Đại số 10. Hãy nêu định nghĩa của sinα, cosα và giải thích tại sao ta có: \(\sin(α+k2π) = \sin α; k ∈\mathbb Z\) \(\cos(α+k2π) = \cos α; k ∈\mathbb Z\) Trả lời: Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng \(Oxy\), lấy điểm \(A(1; 0)\) và điểm \(M(x;y)\) với số đo cung \(AM = α\) \( y= \cos AM ⇒ y = \sin α\) \(x= \sin AM ⇒ x = \sin α\) Mà cung \(AM = α+k2π ; k ∈\mathbb Z\) Nên \(\sin(α+k2π) = \sin α; k ∈\mathbb Z\) \(\cos(α+k2π) = \cos α; k ∈\mathbb Z\) Câu 2 trang 155 SGK Đại số 10. Nêu định nghĩa của \(\tan α, \cot α\) và giải thích vì sao ta có: \(\tan(α+kπ) = \tanα; k ∈\mathbb Z\) \(\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z\) Trả lời: \(\tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }},\cot \alpha = {{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }}\) Suy ra \(\tan (\alpha + k\pi ) = {{\sin (\alpha + k\pi )} \over {\cos (\alpha + k\pi )}}\) +) Nếu \(k\) chẵn \(\sin(α+kπ) = \sin α\) \(\cos(α+kπ) = \cos α\) +) Nếu \(k\) lẻ \(\sin(α+kπ) = - \sin α\) \(\cos(α+kπ) = - \cos α\) Suy ra \(\tan(α+kπ) = \tanα\) Chứng minh tương tự ta có: \(\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z\) Câu 3 trang 155 SGK Đại số 10. Tính: a) \(\sinα\), nếu \(\cos \alpha = {{ - \sqrt 2 } \over 3},{\pi \over 2} < \alpha < \pi \) b) \(\cosα\), nếu \(\tan \alpha = 2\sqrt 2 ,\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) c) \(\tanα\), nếu \(\sin \alpha = {{ - 2} \over 3},{{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \) d) \(\cotα\), nếu \(\cos \alpha = {{ - 1} \over 4},{\pi \over 2} < \alpha < \pi \) Trả lời: a) Nếu \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \) thì \(\sinα>0\) \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = \sqrt {1 - {2 \over 9}} = {{\sqrt 7 } \over 3}\) b) Nếu \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) thì \(\cosα<0\) \(\cos \alpha = - \sqrt {{1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = - \sqrt {{1 \over {1 + 8}}} = - {1 \over 3}\) c) \({{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \) thì \(\tan α<0, \cosα>0\) \(\tan\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = ( - {2 \over 3}):\sqrt {1 - ({2 \over 3}} {)^2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\) d) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \) thì \(\cotα<0, \sinα>0\) \(\cot \alpha = \left( { - {1 \over 4}} \right):\sqrt {1 - {{\left( {{1 \over 4}} \right)}^2}} = - {{\sqrt {15} } \over 15}\) Câu 4 trang 155 SGK Đại số 10. Rút gọn biểu thức a) \({{2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha }}\) b) \(\tan \alpha ({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} - \sin \alpha )\) c) \({{\sin ({\pi \over 4} - \alpha ) + \cos ({\pi \over 4} - \alpha )} \over {\sin ({\pi \over 4} - \alpha ) - \cos ({\pi \over 4} - \alpha )}}\) d) \({{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }}\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & {{2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha }} = {{2\sin 2\alpha - 2\sin 2\alpha .cos2\alpha } \over {2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha .cos2\alpha }} \cr & = {{1 - \cos 2\alpha } \over {1 + \cos 2\alpha }} = {{2{{\sin }^2}\alpha } \over {2{{\cos }^2}\alpha }} =\tan^2\alpha\cr} \) b) \(\eqalign{ & \tan \alpha \left({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} - \sin \alpha\right ) = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\left({{1 + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }}\right) \cr & = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{2{{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} = 2\cos \alpha \cr} \) c) \(\eqalign{ & = {{\tan \left({\pi \over 4} - \alpha \right) + 1} \over {\tan\left({\pi \over 4} - \alpha \right) - 1}} = \left({{\tan {\pi \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}.\tan \alpha }} + 1\right):\left({{\tan {\pi \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}.\tan \alpha }} - 1\right) \cr & = \left({{1 - \tan \alpha + 1 + \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \right):\left({{1 - \tan \alpha - 1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \right) \cr & = {{ - 1} \over {\tan \alpha }} = - \cot \alpha \cr} \) d) \({{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }} = {{2\cos {{5\alpha + 3\alpha } \over 2}\sin {{5\alpha - 3\alpha } \over 2}} \over {2\cos 4\alpha }} = \sin \alpha \) Câu 5 trang 156 SGK Đại số 10. Không sử dụng máy tính, hãy tính: a) \(\cos {{22\pi } \over 3}\) b) \(\sin {{23\pi } \over 4}\) c) \(\sin {{25\pi } \over 3} - \tan {{10\pi } \over 3}\) d) \({\cos ^2}{\pi \over 8} - {\sin ^2}{\pi \over 8}\) Trả lời: a) \(\cos {{22\pi } \over 3} = \cos (8\pi - {{2\pi } \over 3})\) \(= \cos ( - {{2\pi } \over 3}) = \cos ({{2\pi } \over 3}) \) \(= - \cos {\pi \over 3} = {{ - 1} \over 2}\) b) \(\sin {{23\pi } \over 4} = \sin (6\pi - {\pi \over 4})\) \(= \sin ( - {\pi \over 4}) = - \sin ({\pi \over 4}) = - {{\sqrt 2 } \over 2}\) c) \(\eqalign{ & \sin {{25\pi } \over 3} - \tan {{10\pi } \over 3} = \sin (8\pi + {\pi \over 3}) - \tan (3\pi + {\pi \over 3}) \cr & = sin{\pi \over 3} - \tan {\pi \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} - \sqrt 3 = {{ - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \) d) \({\cos ^2}{\pi \over 8} - {\sin ^2}{\pi \over 8} = \cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Câu 6 trang 156 SGK Đại số 10. Không sử dụng máy tính, hãy tính: a) \(\sin {75^0} + \cos {75^0} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) b) \(\tan {267^0} + \tan {93^0} = 0\) c) \(\sin {65^0} + \sin {55^0} = \sqrt 3 \cos {5^0}\) d) \(\cos {12^0} - \cos {48^0} = \sin {18^0}\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & \sin {75^0} + \cos {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) + \cos ({45^0} + {30^0}) \cr & = \sin {45^0}.\cos{30^0} + \cos {45^0}.\sin {30^0} + \cos {45^0}.\cos{30^0} - \sin {45^0}.\sin{30^0} \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos{30^0} + \sin {30^0} + \cos{30^0} - \sin {30^0}) \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}.2{{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2} \cr} \) b) \(\eqalign{ & \tan {267^0} + \tan {93^0} = \tan ({267^0} - {360^0}) + \tan {93^0} \cr & = \tan ( - {93^0}) + tan{93^0} = 0 \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sin {65^0} + \sin {55^0} = 2\sin {{{{65}^0} + {{55}^0}} \over 2}\cos {{{{65}^0} - {{55}^0}} \over 2} \cr & = 2\sin {60^0}\cos {5^0} = \sqrt 3 \cos {5^0} \cr} \) d) \(\eqalign{ & \cos {12^0} - \cos {48^0} = - 2\sin {{{{12}^0} + {{48}^0}} \over 2}\sin {{{{12}^0} - {{48}^0}} \over 2} \cr & = - 2\sin {30^0}\sin ( - {18^0}) = 2\sin {30^0}\sin {18^0} = 2.{1 \over 2}\sin {18^0} = \sin {18^0} \cr} \) Câu 7 trang 156 SGK Đại số 10. Chứng minh các đồng nhất thức. a) \({{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x\) b) \({{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}\) c) \({{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}({\pi \over 4} - x)\) d) \(\tan x - \tan y = {{\sin (x - y)} \over {\cos x.cosy}}\) Trả lời: a) \({{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = {{1 + \cos 2x - \cos x} \over {2\sin x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {{\cos x(2\cos x - 1)} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(2\cos x - 1)}} = \cot x\) b) \( {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}}\) \(= {{2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2} + \cos {x \over 2}}}\) \(= {{\sin {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)} \over {\cos {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)}}\)= \(=\tan {x \over 2} \ \) c) \({{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\) \(= {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\) \(= {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\) \(= {{1 - \cos ({\pi \over 2} - 2x)} \over {1 + \cos ({\pi \over 2} - 2x)}}\) \(= {{2{{\sin }^2}({\pi \over 4} - x)} \over {2{{\cos }^2}({\pi \over 4} - x)}}\) \(= {\tan ^2}({\pi \over 4} - x) \) d) \(\tan x - \tan y\) \(= {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}\) \(= {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}\) \(= {{\sin (x - y)} \over {\cos x\cos y}}\) Câu 8 trang 156 SGK Đại số 10. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\) a) \(A = \sin ({\pi \over 4} + x) - \cos ({\pi \over 4} - x)\) b) \(B = \cos ({\pi \over 6} - x) - \sin ({\pi \over 3} + x)\) c) \(C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi \over 3} - x)cos({\pi \over 3} + x)\) d) \(D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & A = \sin ({\pi \over 4} + x) - \cos ({\pi \over 4} - x) \cr & = \sin {\pi \over 4}\cos x + \cos {\pi \over 4}\sin x - \cos x\cos {\pi \over 4} - \sin {\rm{x}}\cos {\pi \over 4} \cr & = {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos x + \sin x - \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) = 0 \cr} \) Không phụ thuộc vào \(x\) b) \(\eqalign{ & B = \cos ({\pi \over 6} - x) - \sin ({\pi \over 3} + x) \cr & = \cos {\pi \over 6}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sin {\pi \over 6}sinx - sin{\pi \over 3}\cos x - \cos {\pi \over 3}\sin x \cr & = \cos x(\cos {\pi \over 6} - sin{\pi \over 3}) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(\sin {\pi \over 6} - \cos {\pi \over 3}) = 0 \cr} \) c) \(\eqalign{ & C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi \over 3} - x)cos({\pi \over 3} + x) \cr & = {\sin ^2}x + \left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x + \sin {\pi \over 3}\sin x} \right]\left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x - \sin {\pi \over 3}\sin x} \right] \cr & = {\sin ^2}x + {\cos ^2}{\pi \over 3}{\cos ^2}x - {\sin ^2}{\pi \over 3}{\sin ^2}x \cr & = {\sin ^2}x + {1 \over 4}{\cos ^2}x - {3 \over 4}{\sin ^2}x = {1 \over 4}({\cos ^2}x + {\sin ^2}x) = {1 \over 4} \cr} \) d) \(D = {{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x} \over {2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}\cot x = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}.{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 1\) Câu 9 trang 157 SGK Đại số 10. Giá trị \(\sin {{47\pi } \over 6}\) là: (A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) (B) \({1 \over 2}\) (C) \({{\sqrt 2 } \over 2}\) (D) \({{ - 1} \over 2}\) Trả lời: \(\eqalign{ & \sin {{47\pi } \over 6} = \sin (8\pi - {\pi \over 6}) = \sin ( - {\pi \over 6}) = - \sin ({\pi \over 6}) = {{ - 1} \over 2} \cr & \cr} \) (D) đúng. Câu 10 trang 157 SGK Đại số 10. Cho \(\cos {{ - \sqrt 5 } \over 3},\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) . Giá trị của \(\tanα\) là: (A) \({{ - 4} \over {\sqrt 5 }}\) (B) \({2 \over {\sqrt 5 }}\) (C) -\({2 \over {\sqrt 5 }}\) (D) \({{ - 3} \over {\sqrt 5 }}\) Trả lời: \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) thì \(\tan α>0\) \(\tan \alpha = \sqrt {{1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} - 1} = \sqrt {{1 \over {{{({{\sqrt 5 } \over 3})}^2}}} - 1} = {2 \over {\sqrt 5 }}\) (B) đúng. Câu 11 trang 157 SGK Đại số 10. Cho \(\alpha = {{5\pi } \over 6}\) . Giá trị của biểu thức \(cos3\alpha + 2cos(\pi - 3\alpha ){\sin ^2}({\pi \over 4} - 1,5\alpha )\) là: (A) \({1 \over 4}\) (B) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) (C) 0 (D) \({{2 - \sqrt 3 } \over 4}\) Trả lời: \(\eqalign{ & \cos {{15\pi } \over 6} + 2\cos (\pi - {{15\pi } \over 6}){\sin ^2}({\pi \over 4} - {{5\pi } \over 4}) \cr & = \cos {\pi \over 2} + 2\cos {{3\pi } \over 2}{\sin ^2}( - \pi ) = 0 \cr} \) Chọn (C) Câu 12 trang 157 SGK Đại số 10. Giá trị của biểu thức \(A = {{2{{\cos }^2}{\pi \over 8} - 1} \over {1 + 8{{\sin }^2}{\pi \over 8}{{\cos }^2}{\pi \over 8}}}\) là: (A) \({{ - \sqrt 3 } \over 2}\) (B) \({{ - \sqrt 3 } \over 4}\) (C) \({{ - \sqrt 2 } \over 2}\) (D) \({{\sqrt 2 } \over 4}\) Trả lời: \(A = {{\cos {\pi \over 4}} \over {1 + 2{{\sin }^2}{\pi \over 4}}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \over (1 + 1) = {{\sqrt 2 } \over 4}\) (D) đúng. Câu 13 trang 157 SGK Đại số 10. Cho \(\cot \alpha = {1 \over 2}\) .Tính giá trị của biểu thức \(B = {{4\sin \alpha + 5\cos \alpha } \over {2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\) là: (A) \({1 \over {17}}\) (B) \({5 \over 9}\) (C) 13 (D) \({2 \over 9}\) Trả lời: \(B = {{4\sin \alpha + 5\cos \alpha } \over {2\sin \alpha - 3\cos \alpha }} = {{4 + 5\cot \alpha } \over {2 - 3\cot \alpha }} = 13\) (C) đúng. Câu 14 trang 157 SGK Đại số 10. Cho \(\tan a = 2\). Giá trị của biểu thức \(C = {{\sin a} \over {{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}\) là: (A) \({5 \over {12}}\) (B) 1 (C) \({{ - 8} \over {11}}\) (D) \({{ - 10} \over {11}}\) Trả lời: \(\eqalign{ & C = {{\sin a} \over {{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}} = {{{1 \over {{{\cos }^2}a}}.\tan a} \over {{{\tan }^3}a + 2}} \cr & = {{(1 + {{\tan }^2}a).tana} \over {2 + {{\tan }^3}a}} = {{(1 + {2^2}).2} \over {2 + 8}} = 1 \cr} \) (B) đúng.
