Bài 1 trang 44 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau \(\eqalign{ & a)\,y = {{3x + 5} \over {{x^2} - x + 1}} \cr & b)\,y = {{x - 2} \over {{x^2} - 3x + 2}} \cr & c)\,y = {{\sqrt {x - 1} } \over {x - 2}} \cr & d)\,y = {{{x^2} - 2} \over {(x + 2)\sqrt {x + 1} }} \cr} \) Giải a) Vì x2 – x + 1 ≠ 0 với mọi \(x ∈\mathbb R\) nên tập xác định của hàm số là \(D =\mathbb R\) b) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 1 \hfill \cr x \ne 2 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}\mathbb R\backslash \left\{ {1,{\rm{ }}2} \right\}\) c) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 1 \ge 0 \hfill \cr x - 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \ne 2 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(D = [1; 2) ∪ (2; +∞)\) d) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 2 \ne 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne- 2 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > - 1\) Vậy \(D= (-1; +∞)\) Bài 2 trang 44 SGK Đại số 10 nâng cao. Biểu đồ hình 2.8 cho biết số triệu tấn gạo xuất khẩu của Việt Nam trong các năm từ 2000 đến 2005. Biểu đồ này cho ta một hàm số. Hãy cho biết tập xác định và nêu một vài giá trị của hàm số đó. Giải Tập xác định D = {2000,..., 2005}. Kí hiệu hàm số là f(x). Ta có: f(2000) = 3,84; f(2001) = 3,72; ....; f(2005) = 5,2 Bài 3 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao. Hình 2.9 là đồ thị của một hàm số có tập xác định là \(\mathbb R\). Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. Giải Bảng biến thiên của hàm số: Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao. Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó: a) y = x2 + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\) b) y = -2x + 4x + 1 trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\) c) \(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\) Giải a) + Với mọi x1; x2 ∈ \((-∞; -1)\) và x1 ≠ x2 ta có: f(x2) – f(x1) = x22 + 2x2 – 2 – (x12 + 2x1 – 2) = x22 – x12 + 2(x2 – x1) = (x2 – x1)(x1 + x2 + 2) \(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\) Vì x1 < -1 và x2 < -1 nên x1 + x2 + 2 < 0 Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\) Vậy hàm số y = x2 + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\) + Với mọi x1; x2 ∈ \((-1, +∞)\) và x1 ≠ x2 ta có: \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\) ( Vì x1 > -1; x2 > -1) Vậy hàm số y = x2 + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\) b) + Với mọi x1; x2 ∈ \((-∞; 1)\) và x1 ≠ x2 ta có: f(x2) – f(x1) = (-2x22 + 4x2 + 1) – (-2x12 + 4x1 + 1) = -2(x22 - x12) + 4(x2 - x1) = 2(x2 - x1)(2 – x1 – x2) \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = 2(2 - {x_1} - {x_2})\) Vì x1 < 1 và x2 < 1 nên 2 - x1 – x2 > 0 Vậy hàm số y = -2x + 4x + 1 đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\) + Với mọi x1; x2 ∈ \((1; +∞)\) và x1 ≠ x2 ta có: \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = 2(2 - {x_1} - {x_2}) < 0\) (vì x1 > 1 và x2 > 1 ) Vậy hàm số số y = -2x + 4x + 1 nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\) c) + Với x1, x2 ∈ \((- ∞; 3)\) với x1 ≠ x2 ta có: \(\eqalign{ & f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr & = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} = {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr & \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \) (vì x1 < 3; x2 < 3 nên (x1 – 3)(x2 – 3) > 0) \(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\) Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((- ∞; 3)\) + Với x1, x2 ∈ \((3; +∞)\) với x1 ≠ x2 ta có: \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\) (vì x1 > 3; x2 > 3 nên (x1 – 3)(x2 – 3) > 0) Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\) Bài 5 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao. Mỗi hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ? a) y = x4 – 3x2 + 1 b) y = -2x3 + x c) y = |x + 2| - |x – 2| d) y = |2x + 1| + |2x – 1| Giải a) y = x4 – 3x2 + 1 f(x) = x4 – 3x2 + 1 Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\) Và f(- x) = (-x)4 – 3(-x)2 + 1 = x4 – 3x2 + 1 = f(x) ⇒ y = x4 – 3x2 + 1 là hàm số chẵn b) y = -2x3 + x f(x) = -2x3 + x Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\) Và f(-x) = -2(-x)3 + (-x) = - ( -2x3 + x) = -f(x) ⇒ y = -2x3 + x là hàm số lẻ c) f(x) = |x + 2| - |x – 2| Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\) Và f(-x) = |-x + 2| - |- x – 2| = |x – 2| - |x + 2| = - f(x) ⇒ y = |x + 2| - |x – 2| là hàm số lẻ d) f(x) = |2x + 1| + |2x – 1| Với mọi x ∈ \(\mathbb R\) thì – x ∈ \(\mathbb R\) Và f(-x) = |-2x + 1| + |-2x – 1| = |2x – 1| + |2x + 1| = f(x) ⇒ y = |2x + 1| + |2x – 1| là hàm số chẵn Bài 6 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho đường thẳng (d): y = 0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d): a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị Giải a) Tịnh tiến (d) lên trên 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = 0,5x + 3 b) Tịnh tiến (d) xuống dưới 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = 0,5x – 1 c) Tịnh tiến (d) sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = 0,5 (x – 2) hay y = 0,5x - 1 d) Tịnh tiến (d) sang trái 6 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = 0,5(x + 6) hay y = 0,5x +3 Bài 7 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực dương với căn bậc hai của nó có phải là một hàm số không? Tại sao? Giải Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực dương với căn bậc hai của nó là một hàm số, vì mỗi số thực dương có một và chỉ một căn bậc hai số học tương ứng. Bài 8 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao. Giả sử (G) là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D và A là một điểm trên trục hoành có hoành độ bằng a. Từ A, ta dựng đường thẳng (d) song song (hoặc trùng) với trục tung. a) Khi nào thì (d) có điểm chung với (G)? (Hướng dẫn: Xét hai trường hợp a thuộc D và a không thuộc D) b) (d) có thể có bao nhiêu điểm chung với (G)? Vì sao? c) Đường tròn có thể là đồ thị của hàm số nào không? Vì sao? Giải a) Khi a ∈ D thì d có điểm chung với (G) và khi a ∉ D thì (d) không có điểm chung với (G). b) (d) có nhiều nhất một điểm chung với (G) vì nếu a ∈ D thì có duy nhất một giá trị f(a), lúc đó (d) cắt (G) tại điểm duy nhất với M(a, f(a)) c) Đường tròn không thể là đồ thị của một hàm số vì đường thẳng song song với Oy cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Bài 9 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) \(y = {{3x + 1} \over {{x^2} - 9}}\) b) \(y = {x \over {1 - {x^2}}} - \sqrt { - x} \) c) \(y = {{x - 3\sqrt {2-x} } \over {\sqrt {x + 2} }}\) d) \(y = {{\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} } \over {(x - 2)(x - 3)}}\) Giải a) y xác định \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm {\rm{ }}3\) Vậy tập xác định \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { \pm {\rm{ }}3} \right\}\) b) y xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 - {x^2} \ne 0 \hfill \cr - x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne \pm 1 \hfill \cr x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr x \le 0 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(D = (-∞;-1)\cup (-1; 0]\) c) y xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 - x \ge 0 \hfill \cr x + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 2 \hfill \cr x > - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 < x \le 2\) Vậy \(D = (-2, 2]\) d) y xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 1 \ge 0 \hfill \cr 4 - x \ge 0 \hfill \cr (x - 2)(x - 3) \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \le 4 \hfill \cr x \ne 2;\,x \ne 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 \le x \le 4 \hfill \cr x \ne 2;x \ne 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \( D = [1, 2) ∪(2, 3) ∪ (3, 4]\) Bài 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho hàm số: \(f(x) = \left\{ \matrix{ - 2(x - 2);\,\,\, - 1 \le x < 1 \hfill \cr \sqrt {{x^2} - 1} ;\,\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) a) Cho biết tập xác định của hàm số f b) Tính \(f(-1); f(0,5); f({{\sqrt 2 } \over 2} ); f(1); f(2)\) Giải a) Tập xác định của f là \(D = [-1, +∞)\) b) Ta có: \(f(-1) = -2(-1 – 2) = 6\) \(f(0,5) = -2(0,5 – 2) = 3\) \(f({{\sqrt 2 } \over 2}) = - 2({{\sqrt 2 } \over 2} - 2) = - \sqrt 2 + 4\) \(f(1) = 0\) \(f(2) =\sqrt 3\) Bài 11 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao. Trong các điểm \(A(-2, 8); B(4, 12); C(2, 8); D(5, 25 +\sqrt 2 )\) Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 3} \) ? Vì sao? Giải Tập xác định của hàm số \(D = [3; +∞)\) Ta có: \(x = -2\) và \(x = 2\) không thuộc tập xác định nên điểm \(A(-2; 8)\) và \(C(2; 8)\) không thuộc đồ thị hàm số. Ta có: \(f(4) = {4^2} + \sqrt {4 - 3} = 17\) \(⇒ B(4; 12)\) không thuộc đồ thị hàm số \(f(5) = {5^2} + \sqrt {5 - 3} = 25 + \sqrt 2 \) \(⇒ D(5; 25 +\sqrt 2 )\) thuộc đồ thị hàm số Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau a) \(y = {1 \over {x - 2}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\) b) y = x2 – 6x + 5 trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3; +∞)\) c) y = x2005 + 1 trênn khoảng \((-∞; +∞)\) Giải a) \(f(x) = {1 \over {x - 2}}\) + Với x1; x2 ∈ \((-∞; 2)\) và x1 ≠ x2; ta có: \(f({x_2}) - f({x_1}) = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} = {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\) \(= {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\) \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\) Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\) nghịch biến trên \((-∞; 2)\) + Với x1; x2 ∈ \((2; +∞)\) và x1 ≠ x2; ta có: \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\) Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\) nghịch biến trên \((2; +∞)\) Bảng biến thiên b) f(x) = x2 – 6x + 5 + Với x1; x2 ∈ \((-∞; 3)\) và x1 ≠ x2; ta có: f(x2) – f(x1) = x22 – 6x2 + 5 – (x12 – 6x1 + 5) = x22 - x12 + 6(x1 – x2) = (x2 – x1)(x1 + x2 – 6) \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\) (vì x1 < 3; x2 < 3) Vậy hàm số y = x2 – 6x + 5 nghịch biến trên \((-∞, 3)\) + Với x1; x2 ∈ \((3, +∞)\) và x1 ≠ x2; ta có: \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\) (vì x1 > 3; x2 > 3) Vậy hàm số y = x2 – 6x + 5 đồng biến trên \((3;+∞)\) Bảng biến thiên c) Với mọi x1, x2 ∈ \((-∞; +∞)\) , ta có x1 < x2 \(\Rightarrow\) x12005 < x22005 \(\Rightarrow\) x12005 + 1 < x22005 + 1 hay f(x1) < f(x2) (y = f(x) = x2005 + 1). Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên \((-∞; +∞)\) Bài 13 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao. Hàm số \(y = {1 \over x}\) có đồ thị như hình 2.10 a) Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó b) Bằng tính toán, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (-∞, 0) và (0, +∞) và kiểm tra lại kết quả so với bảng biến thiên đã lập Giải a) Bảng biến thiên của hàm số b) Với x1, x2 ∈ \((-∞; 0)\) và x1 ≠ x2; ta có: \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{{1 \over {{x_2}}} - {1 \over {{x_1}}}} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {{x_1}{x_2}}} < 0\) (vì x1 < 0; x2 < 0) Vậy hàm số \(y = {1 \over x}\) nghịch biến trên \((-∞; 0)\) Tương tự hàm số \(y = {1 \over x}\) cũng nghịch biến trên \((0; +∞)\) Bài 14 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao. Tập con S của tập số thực \(\mathbb R\) gọi là đối xứng nếu mọi x thuộc S, ta đều có – x thuộc S. Em có nhận xét gì về tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ). Từ nhận xét đó, em có kết luận gì về tính chẵn – lẻ của hàm số \(y = \sqrt x \) ? Tại sao? Giải Tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ) là tập đối xứng. Hàm số \(y = \sqrt x \) không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì tập xác định của nó là \(D = [0; +∞)\) không phải là tập đối xứng (do 1 ∈ D nhưng -1 ∉ D). Bài 15 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao. Gọi (d) là đường thẳng \(y = 2x\) và (d’) là đường thẳng \(y = 2x – 3\). Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh tiến (d): a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị? b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị? Giải a) (d’) có được là do tịnh tiến xuống dưới 3 đơn vị b) Ta có: \(y = 2x - 3 = 2(x - {3 \over 2})\) Vậy (d’) có được là do tịnh tiến (d) sang phải \({3 \over 2}\) đơn vị. Bài 16 trang 47 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho đồ thị (H) của hàm số: \(y = - {2 \over x}\) a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ? b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào? c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào ? Giải a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = {{ - 2} \over x} + 1\) b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = - {2 \over {x + 3}}\) c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = - {2 \over {x + 3}} + 1\)
