Bài 5 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Xem các bài giải sau đây và cho biết mỗi bài giải đó đúng hay sai? Vì sao? a) \({{(x - 2)(x - 1)} \over {\sqrt x - 1}} = 0 \) \(\Leftrightarrow {{x - 2} \over {\sqrt x - 1}}(x - 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{x - 1} \over {\sqrt x - 1}} = 0 \hfill \cr x - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\) Ta có: \({{x - 2} \over {\sqrt x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 2;\,x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1, 2} b) \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 2} = 1 - x \Leftrightarrow {x^2} - 2 = {(1 - x)^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2 = 1 - 2x + {x^2} \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = {3 \over 2} \cr} \) Vậy phương trình có nghệm: \(x = {3 \over 2}\) Giải a) Sai khi kết luận tập nghiệm: \(x = 1\) không thuộc ĐKXĐ của phương trình b) Sai vì khi bình thường hai vế chỉ được phương trình hệ quả Nhất thiết phải thử lại giá trị x tìm được. Bài 6 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các phương trình a) \((m^2 + 2)x - 2m = x - 3\) b) \(m(x - m) = x + m - 2\) c) \(m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6\) d) \(m^2(x - 1) + m = x(3m - 2)\) Giải a) Ta có: \((m^2 + 2)x – 2m = x – 3 ⇔ (m^2+ 1)x = 2m – 3\) Vì \(m^2+ 1 ≠ 0; ∀m\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {{2m + 3} \over {{m^2} + 1}}\) b) \(m(x - m) = x + m – 2 \) \(⇔ mx – x =m^2+ m – 2\) \( ⇔ (m – 1)x = (m – 1)(m + 2)\) + Nếu \(m ≠ 1\) thì phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = {{(m - 1)(m + 2)} \over {m - 1}} = m + 2\) + Nếu \(m = 1\) thì \(0x = 0\), phương trình có tập nghiệm là \(S =\mathbb R\) c) \(m(x - m + 3) = m(x - 2) + 6 \) \(⇔ mx – {m^2}+ 3m = mx – 2m + 6\) \(⇔ 0x = {m^2}– 5m + 6 ⇔ 0x = (m – 2)( m – 3)\) + Nếu \(m =2\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có tập nghiệm là \(S =\mathbb R\) + Nếu \(m ≠ 2\) và \(m ≠ 3\) thì phương trình vô nghiệm. d) \({m^2}(x - 1) + m = x(3m - 2) \) \(⇔ {m^2}x – {m^2}+ m = (3m – 2)x\) \(⇔ ( {m^2}– 3m + 2)x = {m^2}– m \) \(⇔ (m – 1)(m – 2)x = m(m – 1)\) + Nếu \(m ≠ 1\) và \(m ≠ 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất: \(x = {{m(m - 1)} \over {(m - 1)(m - 2)}} = {m \over {m - 2}}\) + Nếu \(m = 1\), ta có: \(0x = 0\), phương trình tập nghiệm \(S =\mathbb R\) + Nếu \(m = 2\), ta có \(0x = 2\), phương trình vô nghiệm \(S = Ø \) Bài 7 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Dựa vào hình bên, tìm các giá trị của a để phương trình: \(3x + 2 = - {x^2} + x + a\)có nghiệm dương. Khi đó, hãy tìm nghiệm dương của phương trình. Giải Ta có: \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2= {\rm{ }} - {x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}a\) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của (P): \(x^2+ 2x + 2\) và đường thẳng d: \(y = a\) Dựa vào đồ thị ta có: Phương trình có nghiệm dương khi và chỉ khi \(a > 2\), khi đó nghiệm dương của phương trình là \(x = - 1 + \sqrt {a - 1} \) Bài 8 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các phương trình a) \(\left( {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) b) \({x^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Giải a) \(\left( {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) + Với \(m = 1\), phương trình trở thành: \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) + Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ = 9 + 4(m – 1) = 4m + 5\) \(Δ <0\Leftrightarrow m < - {5 \over 4}\) : Phương trình vô nghiệm \(Δ = 0 \Leftrightarrow m = - {5 \over 4}\) : Phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = - {b \over {2a}} = {{ - 3} \over {2(m - 1)}} = {{ - 3} \over {2( - {5 \over 4} - 1)}} = {2 \over 3}\) \(Δ > 0 \Leftrightarrow m > - {5 \over 4}\) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x _{1,2}= {{ - 3 \pm \sqrt {4m + 5} } \over {2(m - 1)}}\) b) \({x^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Ta có: \(Δ’ = 4 – (m – 3) = 7 – m\) + \(Δ’ < 0 ⇔ m > 7\) : Phương trình vô nghiệm + \(Δ’= 0 ⇔ m = 7\) : Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - {b \over {2a}} = {4 \over 2} = 2\) + \(Δ’> 0 ⇔ m < 7\) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt {7 - m} \) Bài 9 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. a) Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2. Chứng minh rằng: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) b) Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\) \(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2 + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\) Giải a) Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr {x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\) Do đó: \(\eqalign{ & a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a{\rm{[}}{{{x}}^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr & = a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ - }}\,{{\rm{x}}_1}) - {x_2}(x\, - \,{x_1}){\rm{]}} = a(x - {x_1})(x - {x_2}) \cr} \) b) Ta có: \(f(x) = - 2{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Do đó: \(f(x) = - 2(x + 4)(x - {1 \over 2}) = (x + 4)(1 - 2x)\) Ta có: \(\eqalign{ & g(x) = (\sqrt 2 + 1){x^2} - 2(\sqrt 2 + 1)x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr x = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 + 1}} \hfill \cr} \right. \cr} \) Do đó: \(g(x) = (\sqrt 2 + 1)(x - \sqrt 2 )(x - {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 + 1}}) \) \(= (x - \sqrt 2 ){\rm{[}}(\sqrt 2 + 1)x\, - \sqrt 2 {\rm{]}}\) Bài 10 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Không giải phương trình x2 - 2x - 15 = 0, hãy tính: a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó. b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó. c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó. Hướng dẫn: \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2.\) Giải Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = - {b \over a} = 2 \hfill \cr {x_1}{x_2} = {c \over a} = - 15 \hfill \cr} \right.\) a) Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = {2^2} - 2( - 15) = 34\) b) Ta có: \(\eqalign{ & x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}) \cr & = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 - 3.(-15)) = 98 \cr} \) c) Ta có: \(x_1^4 + x_2^4 = {(x_1^2 + x_2^2)^2} - 2x_1^2x_2^2\) \(= {34^2} - 2( - 15)^2 = 706\) Bài 11 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Trong các khẳng định sau đây, có duy nhất một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng đó Phương trình \((\sqrt 3 - 1){x^4} + {x^2} + 2(1 - \sqrt 3 ) = 0\) (A) Vô nghiệm (B) Có hai nghiệm \(x = \pm {1 \over 2}\sqrt {(1 + \sqrt 3 )(\sqrt {33 - 16\sqrt 3 } - 1)} \) (C) Có bốn nghiệm \(x = \pm {1 \over 2}\sqrt {(1 + \sqrt 3 )(\sqrt {33 - 16\sqrt 3 } - 1)} \) và \(x = \pm \sqrt 3 \) (D) Có hai nghiệm \(x = \pm \sqrt 3 \) Giải Đặt y = x2 Phương trình bậc hai tương ứng có ac < 0 nên nó có hai nghiệm trái dấu, Suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm đối nhau. Từ đó, ta loại các phươn án (A) và (C). Phương án (D) cũng bị loại bằng cách thử trực tiếp. Chọn (B). Bài 12 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số): a) 2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3; b) m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x - 1; c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1); d) m2x + 6 = 4x + 3m. Giải a) 2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3; ⇔ (2m + 2)x – mx = 2m + 3 – m ⇔ (m + 2)x = m + 3 + Nếu m ≠ -2 thì phương trình có nghiệm \(x = {{m + 3} \over {m + 2}}\) + Nếu m = - 2 thì 0x = 1 phương trình vô nghiệm b) m2(x - 1) + 3mx = (m2 + 3)x – 1 ⇔ m2x – m2 + 3mx = m2x + 3x – 1 ⇔ 3(m – 1)x = m2 – 1 + Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{{m^2} - 1} \over {3(m - 1)}} = {{m + 1} \over 3}\) + Nếu m = 1 thì 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm \(S =\mathbb R\) c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1) ⇔ (3m + 1)x = 5m + 1 + Nếu m ≠ \( - {1 \over 3}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{5m + 1} \over {3m + 1}}\) + Nếu m = \( - {1 \over 3}\) thì \(0x = - {2 \over 3}\) , phương trình vô nghiệm d) m2x + 6 = 4x + 3m ⇔ (m2 – 4)x = 3(m – 2) + Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{3(m - 2)} \over {{m^2} - 4}} = {3 \over {m + 2}}\) + Nếu m = 2 thì 0x = 0, ta có \(S =\mathbb R\) + Nếu m = -2 thì 0x = -12; S = Ø Bài 13 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. a) Tìm các giá trị của p để phương trình sau vô nghiệm: (p + 1)x – ( x + 2) = 0 b) Tìm p để phương trình: p 2x - p = 4x – 2 có vô số nghiệm Giải a) Ta có: (p + 1)x – ( x + 2) = 0 ⇔ (p + 1)x – x – 2 = 0 ⇔ px = 2 Phương trình vô nghiệm ⇔ p = 0 b) Ta có: p 2x - p = 4x – 2 ⇔ (p2 – 4)x = p – 2 Phương trình có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {p^2} - 4 = 0 \hfill \cr p - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow p = 2\) Bài 14 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau chính xác đến hàng phần trăm. a) \({x^2}– 5,6x + 6,41 = 0\); b) \(\sqrt 2 {x^2} + 4\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 = 0\) Giải a) \(Δ = 5,6^2 – 4.6,41 = 31,36 – 25,64 = 5,72\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt : \({{x_1} = {\rm{ }}{{5,6 - \sqrt {5,72} } \over 2} \approx 1,60}\) \({{x_2} = {{5,6 + \sqrt {5,72} } \over 2} \approx 4}\) b) Viết phương trình dưới dạng tương đương: \(\matrix{ 2{x^2} + 4\sqrt 6 x-4 = 0 \hfill \cr \Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 6 x-2 = 0 \hfill \cr} \) \(Δ’ = 6 + 2 = 8\), phương trình có hai nghiệm phân biệt : \(\eqalign{ & {x_1} = - \sqrt 6 - \sqrt 8 \approx - 5,28 \cr & {x_2} = - \sqrt 6 + \sqrt 8 \approx 0,28 \cr} \) Bài 15 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng cạnh dài nhất hơn cạnh dài thứ hai là 2m, cạnh dài thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. Giải Gọi x(m) là độ dài cạnh góc vuông ngắn nhất Khi đó, cạnh góc vuông thứ hai là x + 23 và cạnh huyền là x + 25 (m) Ta có phương trình: \(\eqalign{ & {x^2} + {(x + 23)^2} = {(x + 25)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 12 \hfill \cr x = - 8\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy ba cạnh của tam giác vuông cần tìm là: 12m; 35m; 37m Bài 16 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số), a) (m - 1)x2 + 7x - 12 = 0; b) mx2 - 2(m + 3)x + m + 1 = 0; c) [(k + 1)x - 1](x - 1) = 0; d) (mx - 2)(2mx - x + 1) = 0. Giải a) (m - 1)x2 + 7x - 12 = 0 - Với m = 1, phương trình trở thành: \(7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\) - Với m ≠ -1, ta có: Δ = 72 + 48(m – 1) = 48m + 1 + \( Δ < 0 ⇔m < - {1 \over {48}}\) phương trình vô nghiệm + \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {1 \over {48}}\) thì phương trình có hai nghiệm:\(x = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2(m - 1)}}\) b) mx2 - 2(m + 3)x + m + 1 = 0 + Với m = 0, phương trình trở thành: \( - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\) + Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = (m + 3)2 – m(m + 1) = 5m + 9 \(\Delta < 0 \Leftrightarrow m < - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\) c) Ta có: \({\rm{[(k + 1)x}}\,\, - 1{\rm{]}}(x\, - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr (k + 1)x = 1\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\) + Nếu k = -1 thì (1) vô nghiệm. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 + Nếu k ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {1 \over {k + 1}}\) Ta có: \({1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k = 0\) . Do đó: i) k = 0; S = {1} ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: \(S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\) iii) k = -1: S = {1} d) Ta có: \((mx - 2)(2mx - x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx = 2 \hfill \cr (2m - 1)x = - 1 \hfill \cr} \right.\) + Nếu m = 0 thì x = 1 + Nếu m = \({1 \over 2}\) thì x = 4 + Nếu m ≠ 0 và m ≠ \({1 \over 2}\) thì phương trình có hai nghiệm là: \(x = {2 \over m};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {1 \over {1 - 2m}}\) Bài 17 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -x2 - 2x + 3 và y = x2 - m theo tham số m. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là: \({x^2}-m = - {x^2}-2x + 3 \) \(\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x-m-3 = 0\) (1) \(Δ’ = 1 + 2(m + 3) = 2m + 7\) + \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > - {7 \over 2}\) : (1) có hai nghiệm phân biệt, khi đó hai parabol cắt nhau tại hai điểm. + \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = - {7 \over 2}\) : (1) có hai nghiệm kép, khi đó hai parabol có một điểm chung + \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow x < - {7 \over 2}\): (1) vô nghiệm, khi đó hai parabol không có điểm chung. Bài 18 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m để phương trình x2 - 4x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x13 + x23 = 40. Giải Điều kiện để phương trình có nghiệm: Δ ‘ = 4 – (m – 1) = 5 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5 Khi đó: x1 + x2 = 4; x1x2 = m – 1 Ta có: x13 + x23 = 40 ⇔ (x1 +x2)(x12 + x22 – x1x2) = 40 ⇔ (x1 + x2)[(x1 + x2)2 – 3x1x2] = 40 ⇔4[16 – 3(m – 1)] = 40 ⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (nhận) Bài 19 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17. Giải Ta có: Δ = (4m + 1)2 – 8( m – 4) = 16m2 + 33 > 0; ∀m Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = - 4m – 1; x1x2 = 2(m – 4) (x1 > x2) Ta có: x1 – x2 = 17 ⇔ (x1 – x2)2 = 289 ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 289 ⇔ (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 289 ⇔ 16m2 + 33 = 289 ⇔ m = ± 4 +) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm: \(\eqalign{ & {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr & {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \) +) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm: \(\eqalign{ & {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr & {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \) Bài 20 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao. Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm a) x4 + 8x2 + 12 = 0; b) -1,5x4 - 2,6x2 + 1 = 0; c) \((1 - \sqrt 2 ){x^4} + 2{x^2} + 1 - \sqrt 2 = 0\) d) \( - {x^4} + (\sqrt 3 - \sqrt 2 ){x^2} = 0\) Giải a) x4 + 8x2 + 12 = 0 Ta có: Δ’ = 4 > 0; S = -8 < 0; P = 12 > 0 Phương trình t2 + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm. b) Ta có: ac < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau. c) Ta có: Δ’ = 1 + (1 – 2) = 0 \(\left\{ \matrix{ S = {2 \over {\sqrt 2 - 1}} > 0 \hfill \cr P = {{1 - \sqrt 2 } \over {1-\sqrt 2 }} > 0 \hfill \cr} \right.\) ⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau, d) Phương trình \( - {t^2} + (\sqrt 3 - \sqrt 2 )t = 0\) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm. Bài 21 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho phương trình: kx2 - 2(k + l)x + k + 1 = 0. a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương. b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1 (Hướng dẫn: đặt x= y + 1). Giải a) Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\) (nhận) Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)2 – k(k + 1) = k + 1 Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương. + Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0 + Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ \Delta \ge 0 \hfill \cr S > 0 \hfill \cr P > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k + 1 \ge 0 \hfill \cr {{2(k + 1)} \over k} > 0 \Leftrightarrow k > 0 \hfill \cr {{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\) + Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1 Khi đó, phương trình trở thành –x2 = 0 ⇔ x = 0 Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1 b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn: \(\eqalign{ &{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr & \Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr & \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \) Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn \(Δ = k + 1 > 0\) Vậy giá trị k cần tìm là k > 0
