Bài 22 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các phương trình a) \({{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\) b) \({{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\) Giải a) \({{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\) Điều kiện: \(x \ne - {1 \over 2}\) Ta có: \(\eqalign{ & {{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\cr& \Leftrightarrow 2({x^2} - 1) = 2(2x + 1) - (x + 2) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2 = 4x + 2 - x - 2 \cr& \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr x = - {1 \over 2}\,(\text{loại} )\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy S = {2} b) \({{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\) Điều kiện: \(\left\{ \matrix{ x \ne 1 \hfill \cr x \ne - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & {{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\cr& \Leftrightarrow (2x - 5)(3x + 5) = (5x - 3)(x - 1) \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} + 10x - 15 x- 25 = 5{x^2} - 5x - 3x + 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 4\;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr x = - 7\;( \text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy S = {-7, 4} Bài 23 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải phương trình sau \({{m - 3} \over {x - 4}} = {m^2} - m - 6\) trong mỗi trường hợp sau: a) m = 3 b) m ≠ 3 Giải a) Với m = 3, phương trình nghiệm đúng ∀x ≠ 4 Vậy S = R\{4} b) Với m ≠ 3, ta có: \(\eqalign{ & {{m - 3} \over {x - 4}} = {m^2} - m - 6 \cr & \Leftrightarrow {{m - 3} \over {x - 4}} = (m - 3)(m + 2) \cr&\Leftrightarrow {1 \over {x - 4}} = m + 2\,\,(1) \cr} \) + Nếu m ≠ -2 thì (1) ta được: \(\eqalign{ & x - 4 = {1 \over {m + 2}} \cr & \Leftrightarrow x = 4 + {1 \over {m + 2}} = {{4m + 9} \over {m + 2}}\,\,\,\,\,(x \ne 4) \cr} \) + Nếu m = -2 thì (1) vô nghiệm Vậy m = -2, S = Ø m = -3; S = R\{4} m ≠ -2 và m ≠ 3: \(S = {\rm{\{ }}{{4m + 9} \over {m + 2}}{\rm{\} }}\) Bài 24 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các phương trình (a và m là những tham số) a) \(|2ax + 3| = 5\) b) \({{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\) Giải a) Ta có: \(|2ax + 3| = 5\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2ax + 3 = 5 \hfill \cr 2ax + 3 = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2ax = 2 \hfill \cr 2ax = - 8 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(1)\) Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm Nếu a ≠ 0 thì (1) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over a} \hfill \cr x = - {4 \over a} \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over a};{{ - 4} \over a}{\rm{\} }}\) b) Điều kiện: \(x ≠ ± 1\) Ta có: \(\eqalign{ & {{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 2mx - {m^2} + m - 2 = {x^2} - 1 \cr & \Leftrightarrow f(x) = {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\,\,\,\,(1) \cr} \) Δ’ = m2 – (m2 – m + 1) = m – 1 + Với m > 1 i) \(m\ne 2 \) (1) ⇔ \(x = m \pm \sqrt {m - 1}\) ii) m = 2 \((1) \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,(\text{loại}) \hfill \cr x = 3 \,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right.\) + Với m < 1, (1) vô nghiệm +) Với m = 1, (1) có nghiệm kép x = 1 (loại) Vậy +) m = 2; S = {3} (loại nghiệm x = 1) +) m >1 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}m \pm \sqrt {m - 1} {\rm{\} }}\) + m \(\le\) 1; S = Ø Bài 25 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là tham số) a) \(|mx – x + 1| = |x + 2|\) b) \({a \over {x + 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1\) c) \({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1\) d) \({{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}}\) Giải a) Ta có: \(|mx – x + 1| = |x + 2|\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx - x + 1 = x + 2 \hfill \cr mx - x + 1 = - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ (m - 2)x = 1 \hfill \cr mx = - 3 \hfill \cr} \right.\) + Với m = 2; \(S = {\rm{\{ - }}{3 \over 2}{\rm{\} }}\) + Với m = 0; \(S = {\rm{\{ }} - {1 \over 2}{\rm{\} }}\) + Với m ≠ 0 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {m - 2}}; - {3 \over m}{\rm{\} }}\) b) Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ 2a Ta có: \(\eqalign{ & {a \over {x - 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1 \cr&\Leftrightarrow a(x - 2a) + x - 2 = (x - 2)(x - 2a) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3(a + 1)x + 2{(a + 1)^2} = 0 \cr} \) Δ = 9(a + 1)2 – 8(a + 1)2 = (a + 1)2 Phương trình có hai nghiệm là: \(\left\{ \matrix{ {x_1} = {{3(a + 1) + a + 1} \over 2} = 2a + 2 \hfill \cr {x_2} = {{3(a + 1) - (a + 1)} \over 2} = a + 1 \hfill \cr} \right.\) Kiểm tra điều kiện: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x_1} \ne 2 \hfill \cr {x_1} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2a + 2 \ne 2 \hfill \cr 2a + 2 \ne 2a \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \ne 0 \hfill \cr 2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 0 \cr & \left\{ \matrix{ {x_2} \ne 2 \hfill \cr {x_2} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a + 1 \ne 2 \hfill \cr a + 1 \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 1 \cr} \) Vậy: a = 0 thì S = {1} a = 1 thì S = {4} a ≠ 0 và a ≠ 1 thì S = {2a + 2; a + 1} c) Điều kiện: x ≠ -1 thì phương trình tương đương với: mx – m – 3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m + 4 (1) + Nếu m = 1 thì 0x = 5 phương trình vô nghiệm + Nếu m ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) là nghiệm của phương trình đã cho : \( \Leftrightarrow {{m + 4} \over {m - 1}} \ne - 1 \Leftrightarrow m + 4 \ne - m + 1 \Leftrightarrow m \ne - {3 \over 2}\) Vậy: \(\eqalign{ & i)\left\{ \matrix{ m \ne - {3 \over 2} \hfill \cr m \ne 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,:\,\,S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}{\rm{\} }} \cr & ii)\left[ \matrix{ m = - {3 \over 2} \hfill \cr m = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,:\,\,\,\,S = \emptyset \cr} \) d) Điều kiện: x ≠ ±3 Ta có: \(\eqalign{ & {{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}} \cr&\Leftrightarrow (3x + k)(x + 3) = (x - k)(x - 3) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + (k + 6)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0\,\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr x = - k - 6 \hfill \cr} \right. \cr} \) Kiểm tra điều kiện: \(\left\{ \matrix{ x \ne 3 \hfill \cr x \ne - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - k - 6 \ne 3 \hfill \cr - k - 6 \ne - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k \ne - 9 \hfill \cr k \ne - 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy: k = -3 hoặc k = -9 thì S = {0} k ≠ -3 hoặc k ≠ -9 thì S = {0, -k, -6} Bài 26 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số) a) \((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\); b) \(|mx + 2x – 1| = | x|\); c) \((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\) d) \({{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\) e) \({{(m + 1)x + m - 2} \over {x + 3}} = m\) f) \(|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\) Giải a) Ta có: (2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x + m - 4 = 0 \hfill \cr 2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{4 - m} \over 2} \hfill \cr (2m - 1)x = - m \hfill \cr} \right.\) + Với \(m = {1 \over 2}\) phương trình có nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2} = {7 \over 4}\) + Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\) b) Ta có: \(|mx + 2x – 1| = | x|\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx + 2x - 1 = x \hfill \cr mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ (m + 1)x = 1 \hfill \cr (m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right.\) + Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\) + Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x = - {1 \over 2}\) + Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\) c) Điều kiện: x ≥ 1 Ta có: \((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr mx + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) + Với m = 0, phương trình có nghiệm x = 1 + Với m ≠ 0 (1) ⇔ \(x = - {1 \over m}\) Kiểm tra điều kiện: \(\eqalign{ & - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \) Do đó: + Với -1 < m < 0 ; \(S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\) + Với \(\left[ \matrix{ m \le -1 \hfill \cr m \ge 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,S = {\rm{\{ }}1\} \) d) Điều kiện: x ≠ 2 Ta có: \(\eqalign{ & {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \Leftrightarrow 2a - 1 = (a - 2)(x - 2) \cr & \Leftrightarrow (a - 2)x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \) + Với a = 2 thì S = Ø + Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\) Kiểm tra điều kiện: \(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\) Vậy a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \) a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\) e) Điều kiện: x ≠ -3 Phương trình đã cho tương đương với: (m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2 x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne - 3 \Leftrightarrow m \ne - {5 \over 2}\) i) Với \(m \ne - {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2 ii) Với \(m = - {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm f) Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm Với a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1 Ta có: \(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr {{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ ax + 1 = ax - a \hfill \cr ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = - 1\,\,\,(l) \hfill \cr 2ax = a - 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy a = 0 ; S = Ø \(a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\) Bài 27 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao. Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau: a) \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\) b) \({x^2}+ 4x – 3|x + 2| + 4 = 0\) c) \(4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + |2x - {1 \over x}| - 6 = 0\) Giải a) \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\) Đặt \(t = \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} \,\,(t \ge 0)\) ⇒ 4x2 – 12x = t2 – 11 Ta có phương trình: \({t^2} - 11 - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = 4 \hfill \cr} \right.\) + Với t = 1, ta có: \(\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 10 = 0\) (vô nghiệm) + Với t = 4, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x = {{6 \pm \sqrt {56} } \over 4} = {{3 \pm \sqrt {14} } \over 2} \cr} \) b) Đặt \(t = | x + 2| (t ≥ 0) \)⇒ x2 + 4x = t2 – 4 Ta có phương trình: \(\eqalign{ & {t^2} - 4 - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ |x + 2| = 0 \hfill \cr |x + 2| = 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x + 2 = 3 \hfill \cr x + 2 = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr x = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy S = {-5, -2, 1} c) Đặt \(t = |2x - {1 \over x}|\,\,\,(t \ge 0)\) \( \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} - 4 \Rightarrow 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} = {t^2} + 4\) Ta có phương trình: \({t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 2\,\,(l) \hfill \cr} \right.\) \(t = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x - {1 \over x} = 1 \hfill \cr 2x - {1 \over x} = - 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2{x^2} - x - 1 = 0 \hfill \cr 2{x^2} + x - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1;\,x = - {1 \over 2} \hfill \cr x = - 1;\,x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1, - {1 \over 2};{1 \over 2};1\} \) Bài 28 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx – 2| = |x + 4| (*) Giải Ta có: |mx – 2| = |x + 4| ⇔ (mx -2)2 = (x + 4)2 ⇔ (m2 – 1)x2 - 4(m + 2)x – 12 = 0 (1) + Với m = 1 thì (1) trở thành : -12x – 12 = 0 ⇔ x = -1 + Với m = -1 thì (1) trở thành: -4x – 12 = 0 ⇔ x = -3 + Với m ≠ ± 1 thì (1) có nghiệm duy nhất: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow\Delta ' = 4{(m + 2)^2} + 12({m^2} - 1) = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \) Với \(m \in {\rm{\{ }} - 1; - {1 \over 2};1\}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 29 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao. Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm? \({{x + 1} \over {x - a + 1}} = {x \over {x + a + 2}}\) Giải Điều kiện: x ≠ a – 1 và x ≠ -a – 2 Ta có: (1) ⇔ (x + 1)(x + a + 2) = x(x – a + 1) ⇔ x2 + (a + 3)x + a + 2 = x2 – (a – 1)x ⇔ 2(a + 1)x = -a – 2 (2) + Với a = -1 thì S = Ø + Với a ≠ -1 thì \((2) \Leftrightarrow x = {{ - a - 2} \over {2(a + 1)}}\) Kiểm tra điều kiện: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ x \ne a - 1 \hfill \cr x \ne - a - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{ - a - 2} \over {2(a + 1)}} \ne a - 1 \hfill \cr {{ - a - 2} \over {2(a + 1)}} \ne - a - 2 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - a - 2 \ne 2({a^2} - 1) \hfill \cr - (a + 2) \ne 2(a + 2)(a + 1) \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{a^2} + a \ne 0 \hfill \cr (a + 2)(2a + 1) \ne 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \ne 0 \hfill \cr a \ne - {1 \over 2} \hfill \cr a \ne - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
