Bài 50 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Phương trình ax + b = 0 có thể có nghiệm trong những trường hợp nào? Giải Nếu \(a ≠ 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - {b \over a}\) Nếu \(a = 0, b = 0\) thì phương trình có vô số nghiệm, Vậy phương trình có nghiệm khi \(a ≠ 0\) hoặc \(a = b = 0\) Bài 51 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Giả sử ba phương trình f(x).g(x) = 0, f(x) = 0 và g(x) = 0 (với cùng tập xác định) có các tập nghiệm lần lượt là T, T1 và T2. Hãy chọn kết luận đúng trong hai kết luận sau: a) S = S1 ∩ S2; b) S = S1 ∪ S2. Giải Ta có: \(f(x).g(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ f(x) = 0 \hfill \cr g(x) = 0 \hfill \cr} \right.\) Chọn b) S = S1∪ S2 Bài 52 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Hệ phương trình dạng có thể có nghiệm trong trường hợp nào? Áp dụng: Tìm a để hệ có phương trình \(\left\{ \matrix{ ax + y = {a^2} \hfill \cr x + ay = 1 \hfill \cr} \right.\) có nghiệm? Giải Hệ đã cho có nghiệm khi D ≠ 0 hoặc D = Dx = Dy = 0 Áp dụng: Ta có: + Nếu \(a ≠ ± 1\) hệ có nghiệm duy nhất + Nếu \(a = 1\) thì hệ có vô số nghiệm + Nếu \(a = -1\) thì hệ vô nghiệm (Do Dx = -2 ≠ 0) Vậy hệ có nghiệm \(⇔ a ≠ -1\) Bài 53 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Biết rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm kép xo. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: (A) Tam thức bậc hai ax2 + bx + c có thể viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất; (B) Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh thuộc trục hoành; (C) Phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có một nghiệm kép là \({1 \over {{x_0}}}\) Giải Chọn (B). (P) có đỉnh thuộc trục hoành Chú ý (A) chỉ đúng nếu a > 0 (C) chỉ đúng nếu c ≠ 0 Bài 54 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận phương trình: \(m(mx – 1) = x + 1\) Giải Ta có: \(m(mx – 1) = x + 1 ⇔ (m^2– 1)x = m + 1\) + Nếu \(m ≠ ± 1\) thì phương trình có nghiệm: \(x = {{m + 1} \over {{m^2} - 1}} = {1 \over {m - 1}};\,\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over {m - 1}}{\rm{\} }}\) + Nếu \(m = 1\) thì (1) thành \(0x = 2; S = Ø\) + Nếu \(m = -1\) thì (1) thành \(0x = 0; S =\mathbb R\) Bài 55 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho phương trình \(p(x + 1) - 2x = {p^2} + p - 4\). Tìm các giá trị của p để: a) Phương trình nhận 1 làm nghiệm; b) Phương trình có nghiệm; c) Phương trình vô nghiệm. Giải a) \(x = 1\) là nghiệm phương trình: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2p - 2 = {p^2} + p - 4 \Leftrightarrow {p^2} - p - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ p = - 1 \hfill \cr p = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) b) Ta có: \(p(x + 1) – 2x ={p^2}+ p – 4 ⇔ (p – 2)x ={p^2}– 4\) + Nếu \(p ≠ 2\): phương trình có nghiệm \(x = p + 2\) + Nếu \(p = 2\): phương trình có vô số nghiệm Vậy với mọi p, phương trình luôn có nghiệm c) Theo b) ta thấy: không có p nào thỏa mãn để phương trình vô nghiệm. Bài 56 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài của chúng. Giải Gọi độ dài ngắn nhất là x ( điều kiện x nguyên dương) Theo giả thiết, độ dài của hai cạnh kia là x + 1 và x + 2, trong đó cạnh huyền dài x + 2 Theo định lý Py-ta-go, ta có phương trình: \({x^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\) Phương trình này tương đương với: \({x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr x = 3\,\,\,\,\,\,(\text{thỏa mãn} )\hfill \cr} \right.\) Vậy độ dài của các cạnh của tam giác vuông là 3, 4 và 5. Bài 57 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho phương trình \((m - 1)x^2+ 2x - 1 = 0\) a) Giải và biện luận phương trình. b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu. c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1. Giải a) Với \(m = -1\), phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 2}\) Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ’ = 1 + m – 1 = m\) Với m < 0, S = Ø Với m = 0; S = {1} Với m > 0; \(S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}};\,{{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow - {1 \over {m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\) c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: \(1 ≠ m > 0\) Theo định lý Vi-ét: \(\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = - {2 \over {m - 1}} \hfill \cr {x_1}{x_2} = - {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 \cr & \Leftrightarrow {4 \over {{{(m - 1)}^2}}} + {2 \over {m - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 4 + 2(m - 1) = {(m - 1)^2} \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 2 - \sqrt 5 \,\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr m = 2 + \sqrt 5 \,\,\,\,,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \) Bài 58 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung: \(x^2+ x + a = 0\) và \(x^2+ ax + 1 = 0\) Giải Giả sử \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có: \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (1) \({x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (2) Lấy (1) trừ (2) ta có: \((1 - a){x_0} + a - 1 = 0 \Leftrightarrow (1 - a)({x_0} - 1) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 1 \hfill \cr {x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\) Với \({x_0}= 1 ⇒ a = -2\) Với \(a = 1\) thì \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vô nghiệm) Với \(a = -2\) hai phương trình \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm chung là \(x = 1\) Vậy \(a = -2\) Bài 59 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho các phương trình: \(x^2+ 3x - m + 1 = 0\) (1) và \(2x^2- x + 1 - 2p = 0\) (2) a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị. b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính. Giải a) * Xét phương trình \({x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Ta có: (1) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }}\) Gọi (d) là đường thẳng \(y = m\). Đồ thị hàm số \(y = x^2+ 3x + 1\) là parabol (P) có đỉnh là điểm \((-1,5; -1,25)\) và hướng bề lõm lên trên. Do đó: + Khi \(m < -1, 25\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm. + Khi \(m = -1,25\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm. + Khi \(m > -1,25\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. * Xét phương trình \(2x^2- x + 1 – 2p = 0\) (2) (2) \(⇔ 2x^2 – x + 1 = 2p\) Gọi (d) là đường thẳng \(y = 2p\); (P) là parabol \(y = 2x^2– x + 1 \) Parabol (P) có đỉnh tại điểm: \(({1 \over 4};\,{7 \over 8})\) và hướng bề lõm lên trên. Do đó: + Nếu \(2p < {7 \over 8}\) , tức là \(p < {7 \over {16}}\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm. + Nếu \(2p = {7 \over 8}\) , tức là \(p = {7 \over {16}}\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm. + Nếu \(2p > {7 \over 8}\) , tức là \(p > {7 \over {16}}\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm. Bài 60 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ 2{(x + y)^2} - xy = 1 \hfill \cr {x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\) Giải a) Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có: \(\left\{ \matrix{ {S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr {S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {S^2} - P = 7 \hfill \cr {S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S = \pm 3 \hfill \cr P = 2 \hfill \cr} \right.\) + Với \(S = 3; P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình: \({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 1 \hfill \cr X = 2 \hfill \cr} \right.\) Ta có nghiệm \((1, 2); (2, 1)\) + Với \(S = -3, P = 2\), ta có nghiệm \((-1, -2); (-2, -1)\) Vậy hệ có 4 nghiệm là: \((1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1)\) b) Đặt \(S = x + y; P = xy\), ta có: \(\left\{ \matrix{ 2{S^2} - P = 1 \hfill \cr SP = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S = 0 \hfill \cr P = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr P = 0 \hfill \cr} \right.\) + Với \(S = 0; P = -1\) thì x, y là nghiệm phương trình \({X^2} – 1 = 0 ⇔ X = ± 1\), ta có nghiệm \((1, -1); (-1, 1)\) + Với \(S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\), ta có nghiệm: \((0,\,{1 \over {\sqrt 2 }});\,({1 \over {\sqrt 2 }},0);\,(0,\, - {1 \over {\sqrt 2 }});\,( - {1 \over {\sqrt 2 }},0)\) Bài 61 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{ mx + 3y = m - 1 \hfill \cr 2x + (m - 1)y = 3 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ 5x + (a - 2)y = a \hfill \cr (a + 3)x + (a + 3)y = 2a \hfill \cr} \right.\) Giải a) Ta có: + Với \(m ≠ 3\) và \(m ≠ 2\) hệ có nghiệm duy nhất \((x, y)\) Với \(x = {{m - 4} \over {m - 3}};\,y = {1 \over {m - 3}}\) + Với \(m = 3\): hệ vô nghiệm (do Dy = 5 ≠ 0) + Với \(m = -2\) hệ thành \(\left\{ \matrix{ - 2x + 3y = - 3 \hfill \cr 2x - 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {1 \over 3}(2x - 3)\) Hệ có vô số nghiệm b) Ta có: + Với \(a ≠ -3\) và \(a ≠ 7\) hệ có nghiệm duy nhất \((x, y)\) với \(x = y = {a \over {a + 3}}\) + Với \(a=-3\) + Với \(a = 7\), hệ thành \(\left\{ \matrix{ 5x + 5y = 7 \hfill \cr 10x + 10y = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - x + {7 \over 5}\) Hệ có vô số nghiệm \(\left( {x;{7 \over 5} - x} \right),\,x \in\mathbb R\) Bài 62 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{ x + y = 4 \hfill \cr xy = m \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ 3x - 2y = 1 \hfill \cr {x^2} + {y^2} = m \hfill \cr} \right.\) Giải a) Theo định lý Vi-ét đảo, x và y là nghiệm của hệ phương trình: z2 – 4z + m = 0 (1) Ta có: Δ’ = 4 – m Do đó: + Nếu m > 4 thì Δ’ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm + Nếu m = 4 thì Δ’ = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm kép z = 2 nên hệ đã cho có một nghiệm duy nhất \((x, y) = (2, 2)\) + Nếu m < 4 thì Δ’ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(z = 2 \pm \sqrt {4 - m} \) nên hệ đã cho có hai nghiệm: \(\left\{ \matrix{ x = 2 - \sqrt {4 - m} \hfill \cr y = 2 + \sqrt {4 - m} \hfill \cr} \right. \text{ và } \left\{ \matrix{ x = 2 + \sqrt {4 - m} \hfill \cr y = 2 - \sqrt {4 - m} \hfill \cr} \right.\) b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ 3x - 2y = 1 \hfill \cr {x^2} + {y^2} = m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2y = 3x - 1 \hfill \cr 4{x^2} + 4{y^2} = 4m \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2y = 3x - 1 \hfill \cr 4{x^2} + {(3x - 1)^2} = 4m \hfill \cr} \right.\) Xét riêng phương trình 4x2 + (3x – 1)2 = 4m ⇔ 13x2 – 6x – 4m + 1= 0 (2) Phương trình (2) có biệt thức thu gọn Δ’ = 4(13m – 1). Do đó: + Nếu \(m < {1 \over {13}} \Rightarrow \Delta ' < 0\) , phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. + Nếu \(m = {1 \over {13}} \Rightarrow \Delta ' = 0\) , phương trình (2) có một nghiệm \(x = {3 \over {13}}\) nên hệ có nghiệm là + Nếu \(m > {1 \over {13}} \Rightarrow \Delta ' > 0\) thì phương trình (2) có hai nghiệm: \({x_{1,2}} = {{3 \pm 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}}\) , nên hệ có hai nghiệm như sau: \(\eqalign{ & ({x_1},{y_1}) = ({{3 - 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}};\,{{ - 2 - 3\sqrt {13m - 1} } \over {13}}) \cr & ({x_2},{y_2})\, = \,({{3 + 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}};\,{{ - 2 + 3\sqrt {13m - 1} } \over {13}}) \cr} \) Bài 63 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm a, b và c để Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh là I(1; -4) và đi qua điểm M(2; -3). Hãy vẽ Parabol nhận được. Giải \(I(1, -4)\) là đỉnh của Parabol nên: \(\left\{ \matrix{ - {b \over {2a}} = 1 \hfill \cr - 4 = a + b + c \hfill \cr} \right.\) \(M(2, -3)\) thuộc parabol nên: \(-3 = 4a + 2b + c\) Ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ 2a + b = 0 \hfill \cr a + b + c = - 4 \hfill \cr 4a + 2b + c = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = - 2 \hfill \cr c = - 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(y = x^2 – 2x – 3\) Đồ thị hàm số: \(y = x^2 – 2x – 3\) Bài 64 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Quy M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c Giải Đặc x = MB (điều kiện: 0 < x < a) Theo định lý Ta – lét, ta có: \(\eqalign{ & {{ME} \over x} = {b \over a} \Rightarrow ME = {{bx} \over a} \cr & {{MF} \over c} = {{a - x} \over a} \Rightarrow MF = {{c(a - x)} \over a} \cr} \) Điều kiện \(ME + MF = l\) cho ta phương trình: \(l = {{bx} \over a} + {{c(a - x)} \over a} \Leftrightarrow (b - c)x = a(l - c)\,\,(1)\) + Nếu b = c (tức là tam giác ABC cân tại A) thì phương trình (1) vô nghiệm nếu \(l ≠ c\); nghiệm đúng với mọi x nếu \(l = c\). Điều này có nghĩa là: _ Khi tam giác ABC cân tại A và \(l ≠ AB\) thì không có điểm M nào trên cạnh BC thỏa mãn điều kiện của tam giác. - Khi tam giác ABC cân tại A và \(l = AB\) thì mọi điểm M nằm trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện của tam giác. + Nếu b ≠ c (tức là tam giác ABC không cân ở A), thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất \(x = {{a(l - c)} \over {b - c}}\) . Xét điều kiện 0 < x < a: \(0 < x < a \Leftrightarrow 0 < {{a(l - c)} \over {b - c}} < a \Leftrightarrow 0 < {{l - c} \over {b - c}} < 1\,\,(2)\) Với b ≠ c nên có hai trường hợp: + Với b > c, ta có: (2) \(⇔ 0 < l – c < b – c ⇔ c < l < b\) + Với b < c, ta có: (2) \(⇔ 0 > l – c > b – c ⇔ c > l > b\) Hai kết quả trên có nghĩa là giá trị \(x = {{a(l - c)} \over {b - c}}\) là nghiệm của bài toán ( điểm M cách B một khoảng bằng \( {{a(l - c)} \over {b - c}}\) khi và chỉ độ dài \(l\) nằm giữa các độ dài b và c)
