Bài 65 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) |x2 – 5x + 4| = x2 + 6x + 5 b) |x – 1| = 2x – 1 c) |-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5 d) |x2 – x| ≤ |x2 – 1| Đáp án a) Điều kiện: x2+ 6x + 5 ≥ 0 \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le - 5 \hfill \cr x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr {x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 11x = 1 \hfill \cr 2{x^2} + x + 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \) Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài. Vậy \(S = {\rm{\{ - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\) b) Điều kiện: \(x \ge {1 \over 2}\) Ta có: \(|x - 1| = 2x - 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0\,\, \hfill \cr x = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\) c) Vì -x2 + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R nên: |-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x2 – x + 1 ≤ 2x + 5 ⇔ x2 – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4 Vậy S = [-1, 4] d) Ta có: |x2 – x| ≤ |x2 – 1| ⇔ (x2 – x)2 – (x2 – 1)2 ≤ 0 ⇔ (1 – x)(2x2 – x – 1) ≤ 0 ⇔ (x – 1)2(2x + 1) ≥ 0 \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr 2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\) Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )\) Bài 66 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\) b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\) c) \(\sqrt {{x^2} + 2x} = - 2{x^2} - 4x + 3\) d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = {x^2} + 3x - 4\) Hướng dẫn: c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta được phương trình: y = -2y2 + 3 d) Vì (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) , ta được phương trình y = y2 - 6 Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 10 \hfill \cr 2{x^2} + 4x - 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 1 \hfill \cr {x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3 \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\) b) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 10 \hfill \cr 4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 10 \hfill \cr 21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr} \) Vậy S = {16} c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta có phương trình: \(\eqalign{ & y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0 Nên: \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 2 \) Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\) d) Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) , suy ra: x2 + 3x = y2 – 2 Ta có phương trình: \(y = {y^2} - 6 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = 3 \hfill \cr y = - 2 \hfill \cr} \right.\) Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên: \(\eqalign{ & y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr & \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \) Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\) Bài 67 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình: a) \(\sqrt {{x^2} + x - 6} < x - 1\) b) \(\sqrt {2x - 1} \le 2x - 3\) c) \(\sqrt {2{x^2} - 1} > 1 - x\) d) \(\sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge 2x - 1\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} + x - 6} < x - 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + x - 6 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 < {(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le 3 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x > 1 \hfill \cr 3x < 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < {7 \over 3} \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}}2,{7 \over 3})\) b) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2x - 1} \le 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x - 1 \ge 0 \hfill \cr 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr 2x - 1 \le {(2x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge {1 \over 2} \hfill \cr x \ge {3 \over 2} \hfill \cr 4{x^2} - 14x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge {3 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le 1 \hfill \cr x \ge {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {5 \over 2} \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}}{5 \over 2}; + \infty )\) c) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2{x^2} - 1} > 1 - x \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ 1 - x < 0 \hfill \cr 2{x^2} - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ 1 - x \ge 0 \hfill \cr 2{x^2} - 1 > {(1 - x)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x > 1 \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \le 1 \hfill \cr {x^2} + 2x - 2 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 1 \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \le 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < - 1 - \sqrt 3 \hfill \cr x > - 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 1 - \sqrt 3 \hfill \cr x > - 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = ( - \infty , - 1 - \sqrt 3 ) \cup ( - 1 + \sqrt 3 , + \infty )\) d) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge 2x - 1 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ 2x - 1 < 0 \hfill \cr {x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ 2x - 1 \ge 0 \hfill \cr {x^2} - 5x - 14 \ge {(2x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x < {1 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \ge {1 \over 2} \hfill \cr 3{x^2} + x + 15 \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2 \cr} \) Vậy \(S = (-∞, -2]\) Bài 68 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) \(y = \sqrt {|{x^2} + 3x - 4| - x + 8} \) b) \(y = \sqrt {{{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}}} \) c) \(y = \sqrt {{1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}}} \) d) \(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3}\) Đáp án a) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & |{x^2} + 3x - 4| - x + 8 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \,|{x^2} + 3x - 4|\,\, \ge x - 8 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} + 3x - 4 \ge x - 8 \hfill \cr {x^2} + 3x - 4 \le 8 - x \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} + 2x + 4 \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 4x - 12 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \forall x \in R \cr} \) Vậy \(S =\mathbb R\) b) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}} \ge 0\) Vì x2 + x + 1 > 0 với mọi x ∈ R nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình \(|2x – 1| - x – 2 > 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow |2x - 1| > x + 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x - 1 > x + 2 \hfill \cr 2x - 1 < - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x > 3 \hfill \cr x < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = ( - \infty , - {1 \over 3}) \cup (3, + \infty )\) c) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 - ({x^2} - 7x + 5)} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9x} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\,\,({x^2} + 2x + 5 > 0\,\,\,\forall x) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 0 \le x < {{7 - \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}}0,\,{{7 - \sqrt {29} } \over 2}) \cup ({{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty )\) d) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge x - 3 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x - 3 < 0 \hfill \cr {x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x - 3 \ge 0 \hfill \cr {x^2} - 5x - 14 \ge {(x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x < 3 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \ge 3 \hfill \cr x \ge 23 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge 23 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = (-∞; -2] ∪ [23, +∞)\) Bài 69 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các phương trình và bất phương trình sau a) \(|{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2\) b) \(|{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3\) c) \(|{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\) d) \(|2x + 3| = |4 – 3x|\) Đáp án a) Điều kiện: x ≠ - 1 Ta có: \(\eqalign{ & |{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr {{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} - 2 = 2x + 2 \hfill \cr {x^2} - 2 = - 2x - 2 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} - 2x - 4 = 0 \hfill \cr {x^2} + 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \pm \sqrt 5 \hfill \cr \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \) b) Điều kiện: x ≠ 2 Ta có: \(\eqalign{ & |{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x - 2| \cr & \Leftrightarrow {(3x + 4)^2} - 9{(x - 2)^2} \le 0 \cr & \Leftrightarrow 10(6x - 2) \le 0 \Leftrightarrow x \le {1 \over 3} \cr} \) Vậy \(S = ( - \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\) c) Điều kiện: x ≠ 3 Ta có: \(\eqalign{ & |{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x - 3|\, \ge \,|x - 3| \cr & \Leftrightarrow {(2x - 3)^2} - {(x - 3)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x(3x - 6) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le 0 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, 3) ∪ [3, +∞)\) d) Ta có: \(|2x + 3|\, = \,|4 - 3x|\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x + 3 = 4 - 3x \hfill \cr 2x + 3 = 3x - 4 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {1 \over 5} \hfill \cr x = 7 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \) Bài 70 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình sau: a) |x2 – 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5 b) 4x2 + 4x - |2x + 1| ≥ 5 Đáp án a) Áp dụng: |A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B |x2 – 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5 ⇔ -x2 – 6x – 5 ≤ x2 – 5x + 4 ≤ x2 + 6x + 5 \(\left\{ \matrix{ 2{x^2} + x + 9 \ge 0 \hfill \cr 11x \ge - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over {11}}\) Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over {11}}; + \infty )\) b) Ta có: 4x2 + 4x - |2x + 1| ≥ 5 ⇔ |2x + 1| ≤ 4x2 + 4x – 5 ⇔ -4x2 – 4x + 5 ≤ 2x + 1 ≤ 4x2 + 4x – 5 \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4{x^2} + 6x - 4 \ge 0 \hfill \cr 4{x^2} + 2x - 6 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - {3 \over 2} \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\) Bài 71 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các phương trình sau a) \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\) b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12} = {x^2} + 3x\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr 5{x^2} - 6x - 4 = 4{(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr {x^2} + 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2 \cr} \) Vậy S = {2} b) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} - 12\) , ta có phương trình: \(t = {t^2} - 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 4 \hfill \cr t = - 3 \hfill \cr} \right.\) Ta thấy t = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên: \(\eqalign{ & t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy S = {4, 1} Bài 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình sau a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3\) b) \({{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\) c) \(6\sqrt {(x - 2)(x - 32)} \le {x^2} - 34x + 48\) Đáp án a) Áp dụng: \(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ A \ge 0 \hfill \cr B \ge 0 \hfill \cr A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr 2x + 3 \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le - 4 \hfill \cr x \ge - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr 3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le {{ - 3 - \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr x \ge {{ - 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} - 1 \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} - 1, + \infty )\) b) Ta có: \(\eqalign{ & {{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr \sqrt {{x^2} - 3x - 10} < 2x - 4 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr 2x - 4 > 0 \hfill \cr {x^2} - 3x - 10 < {(2x - 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x < - 2 \hfill \cr x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x > 2 \hfill \cr 3{x^2} - 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 5 \cr} \) Vậy \(S = (5, +∞)\) c) Đặt \(y = \sqrt {(x - 2)(x - 32)} = \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\) ⇒ x2 – 34x = y2 – 64 Ta có bất phương trình: 6y ≤ y2 - 16 ⇔ y2 – 6y – 16 ≥ 0 ⇔ y ≤ 2 hoặc y ≥ 8 Với điều kiện y ≥ 0, ta có: y ≥ 8 ⇔ x2 – 34x + 64 ≥ 64 ⇔ x2 – 34x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 34 Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\) Bài 73 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình sau a) \(\sqrt {{x^2} - x - 12} \ge x - 1\) b) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12} > 2x + 3\) c) \({{\sqrt {x + 5} } \over {1 - x}} < 1\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - x - 12} \ge x - 1\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x - 1 < 0 \hfill \cr {x^2} - x - 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x - 1 \ge 0 \hfill \cr {x^2} - x - 12 \ge {(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x < 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \ge 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \ge 13 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \ge 13 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = (-∞, -3] ∪ [13, +∞)\) b) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4x - 12} > 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ 2x + 3 < 0 \hfill \cr {x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr {x^2} - 4x - 12 > {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x < - {3 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \ge {3 \over 2} \hfill \cr 3{x^2} + 16x + 21 < 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \ge {3 \over 2} \hfill \cr - 3 < x < - {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow x < - 2 \cr} \) Vậy \(S = (-∞, -2]\) c) Bất phương trình đã cho tương đương với: \((I)\,\left\{ \matrix{ 1 - x > 0 \hfill \cr \sqrt {x + 5} < 1 - x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,;\,\,\,\,(II)\left\{ \matrix{ 1 - x < 0 \hfill \cr \sqrt {x + 5} > 1 - x \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x < 1 \hfill \cr x + 5 \ge 0 \hfill \cr x + 5 < {(1 - x)^2} \hfill \cr - 5 \le x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x < 1 \hfill \cr x \ge - 5 \hfill \cr {x^2} - 3x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x < 1 \hfill \cr x \ge - 5 \hfill \cr {x^2} - 3x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 5 \le x < 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr x > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 5 \le x < 1 \cr} \) Vậy \(S = [-5, -1) ∪ (1, +∞)\) Bài 74 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình: x4 + (1 - 2m)x2 + m2 – 1 = 0 a) Vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt Đáp án Đặt y = x2 ; y ≥ 0, ta được phương trình: y2 + (1 – 2m)y + m2 – 1 = 0 (1) a) Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & \Delta = {(1 - 2m)^2} - 4({m^2} - 1) = 5 - 4m < 0 \cr & \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \) Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi: \(\left\{ \matrix{ \Delta \ge 0 \hfill \cr P > 0 \hfill \cr S < 0 \hfill \cr} \right.\) Thay Δ = 5 – 4m, P = m2– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ 5 - 4m \ge 0 \hfill \cr {m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 1\) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left[ \matrix{ m < - 1 \hfill \cr m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\) b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương. Ta xét hai trường hợp: + Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: P = m2 - 1 < 0 hay -1 < m < 1 Nếu Δ = 0 hoặc \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) có một nghiệm kép dương \(x = {3 \over 4}\) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \(m \in ( - 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\) c) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là: \(\left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr P < 0 \hfill \cr S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5 - 4m > 0 \hfill \cr {m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m < {5 \over 4}\) Bài 75 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình: (a-1)x4 - ax2 + a2 – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Đáp án Đặt y = x2, ta có phương trình: (a – 1)y2 – ay + a2 – 1 0 (1) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0. Phương trình (1) có nghiệm y = 0 khi và chỉ khi: a2 – 1 = 0 hay a = ± 1 + Với a = 1, phương trình (1) trở thành –y = 0. Trong trường hợp này, (1) chỉ có một nghiệm là 0. + Với a = -1, phương trình (1) trở thành: -2y2 + y = 0 Giải phương trình này ta được: \(\left[ \matrix{ y = 0 \hfill \cr y = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a = -1.
