Bài 1 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) Số đo của cung trong phụ thuộc vào bán kính của nó b) Độ dài của cung tròn tỉ lệ với số đo của cung tròn c) Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó d) Nếu Ou, Ov là hai tia đối nhau thì số đo góc lượng giác (Ou; Ov) là (2k + 1)π, k∈Z. Đáp án a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Bài 2 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao. Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà bưu điện bờ hồ Hà Nội, theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài là bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kin giờ. Đáp án Trong 15 phút, mũi kim phút vạch cung tròn có số đo \({\pi \over 2}\) rad nên cung đó có độ dài là: \({\pi \over 2}.1,75\, \approx 2,75(m)\) Mũi kim giờ vạch cung tròn có số đo \({\pi \over {24}}\) rad nên cung đó có độ dài: \({\pi \over {24}}.1,26 = 0,16\,(m)\) Bài 3 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao. Điền vào các ô trống trong bảng Đáp án Áp dụng công thức \({\alpha \over \pi } = {a \over {180}}\) (ta được tính bằng độ, α được tính bằng radian) Ta có bảng sau: Bài 4 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao. a) Đổi số đo độ của các cung tròn sau thành số đo radian (chính xác đến phần nghìn): 21o30' và 75o54'. b) Đổi số đo radian của các cung tròn sau ra số đo độ : 2,5 (rad) và 2/π (rad) (có thể dùng máy tính bỏ túi). Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & {21^0}30' = {{21,5\pi } \over {180}} \approx 0,375\,\,(rad) \cr & {75^0}54' = {{75,9\pi } \over {180}} \approx 1,325\,\,(rad) \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & 2,5\,rad\,\, = \,{({{2,5.180} \over \pi })^0} \approx {143^0}14' \cr & {2 \over \pi }rad\, = ({{{2 \over \pi }180} \over \pi }) = {({{360} \over \pi })^0} \approx {36^0}29' \cr} \) Bài 5 trang 190 SGK Đại số 10 Nâng cao. Coi kim giờ của đồng hồ là tia Ou, kim phút là tia Ov. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou;Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, chỉ 4 giờ, chỉ 9 giờ , chỉ 10 giờ. Đáp án Số đo lượng giác (Ou, Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, chỉ 4 giờ, chỉ 9 giờ, chỉ 10 giờ lần lượt là: \({\pi \over 2} + k2\pi ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{2\pi } \over 3} + k2\pi \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \) \(- {\pi \over 2} + k2\pi ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - {\pi \over 3} + k2\pi \,(k \in Z)\) Bài 6 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh a) Hai góc lượng giác có cùng tia dấu và có số đo \({{10\pi } \over 3}\) và \({{22\pi } \over 3}\) thì có cùng tia cuối b) Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo là 645o và -435o thì có cùng tia cuối Đáp án Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối khi và chỉ khi hiệu của chính bằng 2kπ hoặc k3600 (k ∈ Z) a) Ta có: \({{22\pi } \over 3} - {{10\pi } \over 3} = 4\pi = 2,2\pi \) b) 6450 - ( - 4350) = 10800 = 3.3600 Bài 7 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm số đo ao,-180o < a ≤ 180o của góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc trên mỗi hình sau: Đáp án a) a0 = 1800 b) a0 = -1200 c) a0 = -600 d) a0 = -600 Bài 8 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho ngũ giác đều A0A1A2A3A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo (độ và radian) \(\overparen{{A_0}{A_i}}\), \(\overparen{{A_i}{A_j}}\) Đáp án Ta có: \(sd \overparen{{A_0}{A_i}}= i{{2\pi } \over 5} + k2\pi \) Hay i.720 + k3600 Với mọi i = 0, 1, 2, 3, 4 k ∈ Z Từ đó, theo hệ thức Sa-lơ: \(\eqalign{ & sd \overparen{{A_i}{A_j}}= sd\overparen{{A_0}{A_j}} - sd\overparen{{A_0}{A_i}} + k2\pi \cr & = (j - i){{2\pi } \over 5} + k2\pi \cr} \) Hay (j – i).720 + 3600 (i, j = 0, 1, 2, 3, 4 ; i ≠ j; k ∈ Z) Bài 9 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo dương lớn nhất, biết một góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo: a) -900 b) 10000 c) \({{30\pi } \over 7}\) d) \( - {{15\pi } \over {11}}\) Đáp án + Nếu góc lượng giác có số đo là \(a^0\) thì ta cần xác định số nguyên k để : 0o < ao + k360o ≤ 3600 Khi đó: ao + k360o là số dương nhỏ nhất cần tìm. a) Với a = -900 thì k = 1. Số dương nhỏ nhất cần tìm là 270 b) Với a = 1000o thì k = -2. Số dương nhỏ nhất cần tìm là 280 c) Với α = \({{30\pi } \over 7}\) thì k = -2. Số dương nhỏ nhất cần tìm là: \({{2\pi } \over 7}\) d) Với α = \( - {{15\pi } \over {11}}\) thì k = 1. Số dương nhỏ nhất cần tìm là: \({{7\pi } \over {11}}\) Bài 10 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm số đo radian α ,-π < α ≤π, của góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc trên mỗi hình sau. Đáp án a) α = 0 b) \(\alpha = - {{2\pi } \over 3}( = {{4\pi } \over 3} - 2\pi )\) c) \(\alpha = {\pi \over 3}\) d) \(\alpha = {{3\pi } \over 4}( = 2\pi - {{5\pi } \over 4})\) Bài 11 trang 191 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc lượng giác (Ou; Ov) có số đo là \((2k + 1){\pi \over 2};\,\,\,k \in Z\) Đáp án Ta có: \(\eqalign{ & Ou \bot Ov \Leftrightarrow \left[ \matrix{ sđ(Ou,Ov) = {\pi \over 2} + k2\pi \,\,(k \in\mathbb Z) \hfill \cr sđ(Ou,Ov) = - {\pi \over 2} + l2\pi (l \in\mathbb Z) \hfill \cr \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\pi \over 2} + (2l - 1)\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow sđ(Ou,Ov) = {\pi \over 2} + m\pi = {\pi \over 2}(1 + 2m)\,\,(m \in\mathbb Z) \cr} \) Bài 12 trang 192 SGK Đại số 10 Nâng cao. Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou kim phút đến vị trí tia Ov. a) Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox; Ou) có số đo \( - {\pi \over 6}t\) , kim phút quét góc lượng giác (Ox; Ov) có số đo : -2πt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) theo t. b) Chứng minh rằng hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi \(t = {{12k} \over {11}}\) với k là một số tự nhiên nào đó. c) Chứng minh rằng trong 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12), hai tia Ou’ và Ov’ ở vị trí đối nhau khi và chỉ khi \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\) với k = 0, 1, ...10 Đáp án a) Trong một giờ, góc lượng giác có số đo \( - {{2\pi } \over {12}}\) , nên trong t giờ, kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2πt, kim giờ quét góc (Ox, Ou) có số đo \( - {\pi \over 6}t\) . Từ đó, theo hệ thức Salo, góc lượng giác (Ou, Ov) có: \(\eqalign{ & sđ(Ou,Ov) = sđ(Ox,\,Ov) - sđ(Ox,Ou) + 12\pi \cr & = - 2\pi t\, + {\pi \over 6}t + 12\pi = ( - {{11} \over 6}t + 2l)\pi \,\,(l \in\mathbb Z) \cr} \) b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = 2mπ (m ∈ Z) Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2l = 2m\) , tức là \({{11} \over 6}t = 2(l - m)\) . Do đó: \(t = {{12k} \over {11}},\,\,k \in Z\) Nhưng vì t ≥ 0 nên k ∈ N c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = (2m – 1)π (m ∈ Z) Vậy \( - {{11t} \over 6} + 2l = 2m\) - 1, tức là \({{11} \over 6}t = 2(l - m)\) + 1 Do đó: \(t = {6 \over {11}}(2k + 1)\pi \,\,\,(k \in Z)\) Vì \(0 ≤ t ≤ 12\) nên k = 0, 1, 2, ... 10 Bài 13 trang 192 SGK Đại số 10 Nâng cao. Hỏi hai góc lượng giác có số đo \({{35\pi } \over 3}\) và \({{m\pi } \over 5}\) (m∈Z) có thể có cùng tia đầu tia cuối không? Đáp án Không thể được vì \({{35\pi } \over 3} - {{m\pi } \over 5} = k2\pi \,\,(k \in Z)\) thì: 35.5 – 3m = 30k (vô lý vì 35.5 không chia hết cho 3)
