Bài 14 trang 199 SGK Đại số 10 Nâng cao. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? a) Nếu α âm thì ít nhất một trong các số cosα, sinα phải âm. b) Nếu α dương thì \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \) c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sau trùng nhau: \({\pi \over 4};\,\, - {{7\pi } \over 4};\,\,{{13\pi } \over 4};\,\, - {{17\pi } \over 4}\) d) Ba số sau bằng nhau: \({\cos ^2}{45^0};\,\,\sin({\pi \over 3}\cos {\pi \over 3}) ;\,\,\, - \sin {210^0}\) e) Hai số sau khác nhau: \(\sin {{11\pi } \over 6};\,\,\sin ({{5\pi } \over 6} + 1505\pi )\) f) Các điểm của đường tròn lượng giác lần lượt xác định bởi các số đo: \(0;\,{\pi \over 3};\,\pi ;\, - {{2\pi } \over 3};\, - {\pi \over 3}\) là các đỉnh liên tiếp của một lục giác đều. Đáp án a) Sai Chẳng hạn \(\alpha = - {{7\pi } \over 4}\) thì cosα và sin α đều dương. b) Sai Chẳng hạn: \(\alpha = {{5\pi } \over 4}\) thì sinα < 0 c) Sai Trên đường tròn lượng giác các điểm biểu diễn các số: \({\pi \over 4};\,\, - {{7\pi } \over 4} = - 2\pi + {\pi \over 4};\,\, - {{17\pi } \over 4} = - 9.2\pi + {\pi \over 4}\) Là trùng nhau nhưng không trùng với điểm biểu diễn số \({{13\pi } \over 4} = 3\pi + {\pi \over 4}\) d) Đúng Vì: \(\eqalign{ & \cos^2 {45^0} = {1 \over 2} \cr & \sin ({\pi \over 3}\cos {\pi \over 3}) = \sin ({\pi \over 3}.{1 \over 2}) = \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2} \cr & - \sin {210^0} = - \sin ({180^0} + {30^0}) = - ( - {1 \over 2}) = {1 \over 2} \cr} \) e) Sai Vì: \(\eqalign{ & \sin {{11\pi } \over 6} = \sin (2\pi - {\pi \over 6}) = \sin ( - {\pi \over 6}) \cr & \,\sin ({{5\pi } \over 6} + 1505\pi ) = sin(1506\pi - {\pi \over 6}) = \sin ( - {\pi \over 6}) \cr} \) g) Đúng Vì chỉ cần dựng lục giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác với một đỉnh A và quan sát. Bài 15 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số α trong mỗi trường hợp sau: a) \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \) b) \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha } = \sin \alpha \) c) \(\tan \alpha = {{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } } \over {\cos \alpha }}\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \Leftrightarrow \cos \alpha = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha } \cr & \Leftrightarrow \cos \alpha \ge 0 \cr} \) ⇔ M(x, y) thỏa mãn x2 + y2 = 1; x ≥ 0 b) Ta có: \(\sqrt {{{\sin }^2}\alpha } = \sin \alpha \Leftrightarrow \sin \alpha \ge 0\) ⇔ M(x, y) thỏa mãn x2 + y2 = 1; y ≥ 0 c) Ta có: \(\tan \alpha = {{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } } \over {\cos \alpha }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \sin \alpha \ge 0 \hfill \cr \cos \alpha \ne 0 \hfill \cr} \right.\) ⇔ M(x, y) thỏa mãn x2 + y2 = 1, y ≥ 0; y ≠ 1 Bài 16 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Xác định dấu của các số sau: a) \(\sin {156^0};\,\cos ( - {80^0});\,\,\tan ( - {{17\pi } \over 8});\,\tan {556^0}\) b) \(\sin (\alpha + {\pi \over 4});\,\,\cos (\alpha - {{3\pi } \over 8});\,\,\tan (\alpha - {\pi \over 2})\) \((0 < \alpha < {\pi \over 2})\) Đáp án a) Vì 00 < 1500 < 1800 nên sin 1500 >0 Vì -900 < -800 < 900 nên cos(-800) > 0 Ta có: \(\tan ( - {{17\pi } \over 8}) = tan( - 2\pi - {\pi \over 8}) = \tan ( - {\pi \over 8}) < 0\) \((do\, - {\pi \over 2} < - {\pi \over 8} < 0)\) Tan 5560 = tan(3600 + 1960) = tan1960 > 0 (do 1800 < 1560 < 2700) b) Ta có: \(\eqalign{ & 0 < \alpha < {\pi \over 2} \Rightarrow {\pi \over 4} < \alpha + {\pi \over 4} < {{3\pi } \over 4}\cr& \Rightarrow \sin (\alpha + {\pi \over 4}) > 0 \cr & 0 < \alpha < {\pi \over 2} \Rightarrow - {{3\pi } \over 8} < \alpha - {{3\pi } \over 8} < {\pi \over 8} \cr&\Rightarrow \cos (\alpha - {{3\pi } \over 8}) > 0 \cr & 0 < \alpha < {\pi \over 2} \Rightarrow - {\pi \over 2} < \infty - {\pi \over 2} < 0 \cr&\Rightarrow \tan (\alpha - {\pi \over 2}) < 0 \cr} \) Bài 17 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tính giá trị lượng giác của các góc sau: a) \( - {\pi \over 3} + (2k + 1)\pi \) b) kπ c) \({\pi \over 2} + k\pi \) d) \({\pi \over 4} + k\pi \,(k \in Z)\) Đáp án a) Ta có: \( - {\pi \over 3} + (2k + 1)\pi = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \) Ta có: \(\eqalign{ & \sin ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \sin {{2\pi } \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \cos ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2} \cr & \tan ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \tan {{2\pi } \over 3} = - \sqrt 3 \cr & \cot ({{2\pi } \over 3} + k2\pi ) = \cot {{2\pi } \over 3} = - {{\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) b) Ta có cos kπ = 1 nếu k chẵn cos kπ = -1 nếu k lẻ ⇒cos kπ = (-1)k c) Ta có: \(\eqalign{ & \cos ({\pi \over 2} + k\pi ) = 0 \cr & sin({\pi \over 2} + k\pi ) = {( - 1)^k} \cr & cot({\pi \over 2} + k\pi ) = 0 \cr} \) \(\tan ({\pi \over 2} + k\pi )\) không xác định d) Ta có: \(\eqalign{ & \cos ({\pi \over 4} + k\pi ) = {( - 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \sin ({\pi \over 4} + k\pi ) = {( - 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \tan ({\pi \over 4} + k\pi ) = \cot ({\pi \over 4} + k\pi ) = 1 \cr} \) Bài 18 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tính giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau: a) \(\cos \alpha = {1 \over 4};\,\,\sin \alpha < 0\) b) \(\sin = - {1 \over 3};\,{\pi \over 2} < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) c) \(\tan \alpha = {1 \over 2};\, - \pi < \alpha < 0\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {1 \over {16}}} = - {{\sqrt {15} } \over 4} \cr & \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - \sqrt {15} \cr & \cot \alpha = {1 \over {\tan \alpha }} = - {{\sqrt {15} } \over 5} \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & \,{\pi \over 2} < \alpha < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr & \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = {1 \over {2\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4} \cr & \cot \alpha = 2\sqrt 2 \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ - \pi < \alpha < 0 \hfill \cr \tan \alpha = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \cos \alpha < 0\cr& \Rightarrow \cos \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr & \sin \alpha = \tan \alpha .\cot \alpha = - {{\sqrt 5 } \over 5} \cr & \cot \alpha = {1 \over {\tan \alpha }} = 2 \cr} \) Bài 19 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Đơn giản các biểu thức a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \) b) \({{1 - \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }}\,\,(\sin \alpha \ne 0)\) c) \({{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha \,\,\,(cos\alpha \ne 0)\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha ({{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha )} \cr & = \sqrt {{{\sin }^2}\alpha } = |\sin \alpha | \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {{1 - \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }}= {{1 - \cos \alpha } \over {1 - {{\cos }^2}\alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }} \cr & = {1 \over {1 + \cos \alpha }} - {1 \over {1 + \cos \alpha }} = 0 \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {{1 - {{\sin }^2}\alpha{{\cos }^2}\alpha} \over {{{\cos }^2}\alpha}} - {\cos ^2}\alpha\cr&= {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} - {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha \cr & = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = {\tan ^\alpha } \cr} \) Bài 20 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau 2250; -2250; 7500; -5100 \({{5\pi } \over 3};\,\,{{11\pi } \over 6};\,\,{{ - 10\pi } \over 3};\,\,\, - {{17\pi } \over 3}\) Đáp án + \(\eqalign{ & \sin {225^0} = \sin ( - {135^0} + {360^0})\cr& = \sin ( - {135^0}) = - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \cos {225^0} = \cos ( - {135^0} + {360^0}) \cr&= \cos ( - {135^0}) = - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \tan ( - {225^0}) = \cot {225^0} = 1 \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin ( - {225^0}) = \sin ({135^0} - {360^0}) = \sin {135^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & cos( - {225^0}) = \cos ({135^0} - {360^0}) = \cos {135^0} = -{{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \tan ( - {225^0}) = - 1 = \cot ( - 225) \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin {750^0} = \sin ({30^0} + {720^0}) = \sin {30^0} = {1 \over 2} \cr & \cos {750^0} = \cos {30^0} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \tan {750^0} = \tan {30^0} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \cot {750^0} = \cot {30^0} = \sqrt 3 \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin ( - {510^0}) = \sin ( - {150^0} - {360^0})\cr& = \sin ( - {150^0}) = - {1 \over 2} \cr & \cos ( - {510^0}) = \cos ( - {150^0}) = - {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \tan ( - {510^0}) = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr & \cot ( - {510^0}) = \sqrt 3 \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin {{5\pi } \over 3} = \sin ( - {\pi \over 3} + 2\pi ) = \sin ( - {\pi \over 3}) = - {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \cos {{5\pi } \over 3} = \cos ( - {\pi \over 3}) = {1 \over 2} \cr & \tan ({{5\pi } \over 3}) = - \sqrt 3 \cr & \cot {{5\pi } \over 3} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin {{11\pi } \over 6} = \sin ( - {\pi \over 6} + 2\pi ) = \sin ( - {\pi \over 6}) = - {1 \over 2} \cr & \cos {{11\pi } \over 6} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \tan {{11\pi } \over 6} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr & \cot {{11\pi } \over 6} = - \sqrt 3 \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin ( - {{10\pi } \over 3}) = \sin ({{2\pi } \over 3} - 4\pi ) = \sin {{2\pi } \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \cos ( - {{10\pi } \over 3}) = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2} \cr & \tan ( - {{10\pi } \over 3}) = - \sqrt 3 \cr & \cot ( - {{10\pi } \over 3}) = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \) + \(\eqalign{ & \sin ( - {{17\pi } \over 3}) = \sin ({\pi \over 3} - 6\pi ) = \sin {\pi \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} \cr & \cos ( - {{17\pi } \over 3}) = \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2} \cr & \tan ( - {{17\pi } \over 3}) = \sqrt 3 \cr & \cot ( - {{17\pi } \over 3}) = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \) Bài 21 trang 200 SGK Đại số 10 Nâng cao. Xét góc lượng giác (OA; OM) = α, trong đó M là điểm không nằm trên các trục tọa độ Ox, Oy. Hãy lập bảng dấu của sinα,cosα,tanα theo vị trí M thuộc góc phần tư thứ I, II, III, IV xác định bởi hệ tọa độ Oxy. Hỏi M trong góc phần tư nào thì. a) sinα ,cosα cùng dấu b) sinα ,tanα khác dấu Đáp án Có bảng dấu: IIIIIIIVsin++--cos+--+tan+-+-cot+-+-a) M trong các góc phần tư I, III thì sinα và cosα cùng dấu (tanα > 0) b) M trong các góc phần tư II, III thì sinα, tanα khác dấu (tức cosα < 0) Bài 22 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh các đẳng thức sau a) cos4α –sin4α = 2cos2α - 1 b) \(1 - {\cot ^4}\alpha = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }}\,\,\,(\sin \alpha \ne 0)\) c) \({{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \,\,\,(\sin \alpha \ne \pm 1)\) Đáp án a) Ta có: cos4α –sin4α = (cos2α + sin2α)(cos2α – sin2α) = cos2α – sin2α = cos2α – (1 – cos2α) = 2cos2α – 1 b) Ta có: \(\eqalign{ & 1 - {\cot ^4}\alpha \cr & = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}(1 - {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }}) \cr&= {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}{\rm{[}}{{{{\sin }^2}\alpha - (1 - {{\sin }^2}\alpha )} \over {{{\sin }^2}\alpha }}{\rm{]}} \cr & = {{2{{\sin }^2}\alpha - 1} \over {{{\sin }^4}\alpha }} = {2 \over {{{\sin }^2}\alpha }} - {1 \over {{{\sin }^4}\alpha }} \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {1 - {{\sin }^2}\alpha }} = {{1 + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} ={1 \over {{{\cos }^2}\alpha }} + {\tan ^2}\alpha \cr & = 1 + 2{\tan ^2}\alpha \cr} \) Bài 23 trang 201 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \) b) \(2(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha {\rm{ }}){\rm{ }}-{\rm{ }}3(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }})\) c) \({2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\,(\tan \alpha \ne 1)\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} = \sqrt {{{(2 - {{\sin }^2}\alpha )}^2}} \cr & = 2 - {\sin ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,({\sin ^2}\alpha \le 1) \cr & \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4(1 - {{\cos }^2})} = \sqrt {{{(2 - {{\cos }^2}\alpha )}^2}} \cr & = 2 - {\cos ^2}\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,(co{s^2}\alpha \le1) \cr} \) Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4(1 - {{\sin }^2}\alpha )} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \) \(= {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}3\) b) Ta có: \(si{n^6}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^6}\alpha \) \( = {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha {\rm{ }}(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )\) \( = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}3si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \) \(co{s^4}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^4}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{(co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha )^2}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \) \( = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha \) Suy ra: \(\eqalign{ & 2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right) - 3({\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ) \cr & = 2 - 6{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha - 3(1 - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha ) \cr & = 2 - 3 = - 1 \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {2 \over {\tan \alpha - 1}} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}}\,\,\,\, \cr&= {2 \over {{1 \over {\cot \alpha }} - 1}} + {{\cos \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} \cr & = {{2\cot \alpha } \over {1 - \cot \alpha }} + {{\cot \alpha + 1} \over {\cot \alpha - 1}} = {{\cot \alpha - 1} \over {1 - \cot \alpha }} = - 1 \cr} \)
