Bài 55 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao. Hỏi các đẳng thức sau có đúng với mọi số nguyên k không? a) \(\sin ({\pi \over 2} + k\pi ) = {( - 1)^k}\) b) \(\cos (k\pi ) = {( - 1)^k}\) c) \(\tan ({\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}) = {( - 1)^k}\) d) \(\sin ({\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}) = {( - 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2}\) Đáp án a) Đúng, thử với k chẵn và k lẻ b) Đúng, thử với k chẵn và k lẻ c) Đúng, thử với k = 0, 1, 2, 3 d) Sai, khi k = 1, vế trái là \({{\sqrt 2 } \over 2}\) , vế phải là -\({{\sqrt 2 } \over 2}\) Bài 56 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tính a) \(sin\alpha ,{\rm{ }}cos2\alpha ,{\rm{ }}sin2\alpha ,\,\cos {\alpha \over 2},\sin {\alpha \over 2}\) biết \(\cos \alpha = {4 \over 5} \) và \(- {\pi \over 2} < \alpha < 0 \) b) \(\tan ({\pi \over 4} - \alpha )\) biết \(\left\{ \matrix{ \cos \alpha = - {9 \over {11}} \hfill \cr \pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.\) c) \({\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha \) biết \(cos2\alpha = {3 \over 5}\) d) \(\cos (\alpha - \beta )\) biết \(\left\{ \matrix{ \sin \alpha - \sin \beta = {1 \over 3} \hfill \cr \cos \alpha - \cos \beta = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) e) \(\sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & - {\pi \over 2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha < 0\cr& \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - {3 \over 5} \cr & \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = - {{24} \over {25}} \cr & \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = {7 \over {25}} \cr & \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} = {{3\sqrt {10} } \over {10}};\cr&\sin {\alpha \over 2} =- \sqrt {{{1 - \cos \alpha } \over 2}} = - {{\sqrt {10} } \over {10}} \cr} \) b) Vì \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \tan \alpha > 0\) Do đó: \(\eqalign{ & \tan \alpha = \sqrt {{1 \over {{{\cos }^2}}} - 1} = {{2\sqrt {10} } \over 9} \cr & \tan ({\pi \over 4} - \alpha ) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} = {{121 - 36\sqrt {10} } \over {41}} \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = ({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ) \cr & = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = - \cos 2\alpha = - {3 \over 5} \cr} \) d) Ta có: \(\eqalign{ & {(\sin \alpha - \sin \beta )^2} = {({1 \over 3})^2}\cr& \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta - 2\sin \alpha \sin \beta = {1 \over 9}\,\,\,\,\,\,(1) \cr & {(cos\alpha - \cos \beta )^2} = {({1 \over 2})^2}\cr& \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta - 2\cos \alpha \cos \beta = {1 \over 4}\,\,\,(2) \cr} \) Cộng từng vế của (1) và (2), ta được: \(1 + 1 - 2(cos\alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) = {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}}\) Từ đó: \(\cos (\alpha - \beta ) = {{59} \over {72}}\) e) Ta có: \(\eqalign{ & \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\cr& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin ({\pi \over 2} - {{3\pi } \over 6})\sin ({\pi \over 2} - {\pi \over {16}}) \cr & = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\cos {{3\pi } \over {16}}\cos {\pi \over {16}}\cr& = ({1 \over 2}\sin {\pi \over 8})({1 \over 2}\sin {{3\pi } \over 8}) \cr & = {1 \over 4}\sin {\pi \over 8}\sin ({\pi \over 2} - {\pi \over 8}) \cr&= {1 \over 4}sin{\pi \over 8}\cos {\pi \over 8} = {1 \over 8}\sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over {16}} \cr} \) Bài 57 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng: a) \(2\sin ({\pi \over 4} + \alpha )\sin ({\pi \over 4} - \alpha ) = \cos 2\alpha \) b) \(sinα (1 + cos2α) = sin2α cosα\) c) \({{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa) d) \(\tan \alpha - {1 \over {\tan \alpha }} = - {2 \over {\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa) Đáp án a) Ta có: \(2\sin ({\pi \over 4} + \alpha ).sin({\pi \over 4} - \alpha ) \) \(= \cos 2\alpha - \cos {\pi \over 2} = \cos 2\alpha \) b) Ta có: \(\eqalign{ & sin\alpha \left( {1 + cos2\alpha } \right) \cr&= \sin \alpha (1 + 2{\cos ^2}\alpha - 1) \cr & = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha = \sin 2\alpha \cos \alpha \cr} \) c) \(\eqalign{ & {{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = {{\sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha )} \over {\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha )}} \cr & = {{\sin 2\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha } \over {\sin 2\alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }} = {{2\sin \alpha (cos\alpha + sin\alpha )} \over {2\cos \alpha (cos\alpha + sin\alpha )}} \cr&= \tan \alpha \cr} \) d) \(\tan \alpha - {1 \over {\tan \alpha }} = 2.{{{{\tan }^2}\alpha - 1} \over {2\tan \alpha }} = - {2 \over {\tan 2\alpha }}\) Bài 58 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng: a) Nếu \(α + β + γ = kπ (k ∈ Z)\) và \(\cosα \cosβ \cosγ ≠ 0\) thì \( \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma\) b) Nếu \(0 < \alpha < \beta < \gamma < {\pi \over 2}\) và \(\tan \alpha = {1 \over 8};\,\tan \beta = {1 \over 5};\,\tan \gamma = {1 \over 2}\) thì \(\alpha + \beta + \gamma = {\pi \over 2}\) c) \({1 \over {\sin {{10}^0}}} - {{\sqrt 3 } \over {\cos {{10}^0}}} = 4\) Đáp án a) Ta có: \(α + β + γ = kπ \) \(⇒ tan (α + β ) = tan(kπ – γ) = - tanγ\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {{\tan \alpha + \tan \gamma } \over {1 - \tan \alpha \tan \beta }} = - \tan \gamma\cr& \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta = - \tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta ) \cr & \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & \tan (\alpha + \beta ) = {{\tan \alpha + \tan \beta } \over {1 - \tan \alpha \tan \beta }} = {{{1 \over 8} + {1 \over 5}} \over {1 - {1 \over 8}.{1 \over 5}}} = {1 \over 3} \cr & \Rightarrow \tan (\alpha + \beta + \gamma ) = {{\tan (\alpha + \beta ) + \tan \gamma } \over {1 - \tan (\alpha + \beta ) \tan \gamma }} \cr&= {{{1 \over 3} + {1 \over 2}} \over {1 - {1 \over 3}.{1 \over 2}}} = 1 \cr} \) Vì \(0 < \alpha + \beta + \gamma < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = {\pi \over 4}\) c) Ta có: \(\eqalign{ & {1 \over {\sin {{10}^0}}} - {{\sqrt 3 } \over {\cos {{10}^0}}} = {{\cos {{10}^0} - \sqrt 3 \sin {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}} \cr & = {{2(cos{{60}^0}\cos {{10}^0} - \sin {{60}^0}\sin {{10}^0})} \over {\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}} \cr&= {{2\cos ({{60}^0} + {{10}^0})} \over {{1 \over 2}\sin {{20}^0}}} \cr & = {{4\cos {{70}^0}} \over {\cos {{70}^0}}} = 4 \cr} \) Bài 59 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng với mọi α,β,γ ta có: \(cos(α + β).sin(α - β) + cos(β + γ).sin(β - γ) \) \(+ cos(γ + α).sin(γ - α) = 0\) Đáp án Ta có: \(\eqalign{ & cos\left( {\alpha + \beta } \right).sin\left( {\alpha - \beta } \right){\rm{ }}cos\left( {\beta + \gamma } \right).sin\left( {\beta - \gamma } \right) \cr&+ cos\left( {\gamma + \alpha } \right).sin\left( {\gamma - \alpha } \right) \cr & = {1 \over 2}(\sin 2\alpha - \sin 2\beta ) + {1 \over 2}(\sin 2\beta - \sin 2\gamma )\cr& + {1 \over 2}(\sin 2\gamma - \sin 2\alpha ) = 0 \cr} \) Bài 60 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. Nếu \(\sin \alpha + \cos \alpha = {1 \over 2}\) thì sin2α bằng: \(\eqalign{ & (A)\,{3 \over 8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B)\, - {3 \over 4} \cr & (C)\,{1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(D)\,{3 \over 4} \cr} \) Đáp án Ta có: \(\eqalign{ & \sin \alpha + \cos \alpha = {1 \over 2} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = {1 \over 4} \cr & \Rightarrow \sin 2\alpha = - {3 \over 4} \cr} \) Chọn (B) Bài 61 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. Với mọi \(α\), \(\sin ({{3\pi } \over 2} + \alpha )\) bằng: (A) sinα (B) –sinα (C) –cos α (D) cosα Đáp án Ta có: \(\sin ({{3\pi } \over 2} + \alpha ) = \sin (\pi + {\pi \over 2} + \alpha ) \) \(= - \sin ({\pi \over 2}\, + \alpha ) = - \cos \alpha \) Chọn (C) Bài 62 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. \({{\sin {\pi \over {15}}\cos {\pi \over 10} + \sin {\pi \over {10}}\cos {\pi \over 15}} \over {\cos {{2\pi } \over {15}}\cos {\pi \over {15}} - \sin {{2\pi } \over {15}}\sin {\pi \over {15}}}}\) bằng: \((A)\,\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;(B)\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\) \((C)\, - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(D)\, {1 \over 2}\) Đáp án Ta có: \(\eqalign{ & {{\sin {\pi \over {15}}\cos {\pi \over 10} + \sin {\pi \over {10}}\cos {\pi \over 15}} \over {\cos {{2\pi } \over {15}}\cos {\pi \over {15}} - \sin {{2\pi } \over {15}}\sin {\pi \over {15}}}} = {{\sin ({\pi \over {15}} + {\pi \over {10}})} \over {\cos ({{2\pi } \over {15}} + {\pi \over 5})}} \cr & = {{\sin {\pi \over 6}} \over {\cos {\pi \over 3}}} = 1 \cr} \) Chọn (B) Bài 63 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. \(\cos {\pi \over {12}}\cos {{7\pi } \over {12}}\) bằng: \((A)\,{{\sqrt 3 } \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B)\,{{\sqrt 3 } \over 4}\) \((C)\,{1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;(D)\, - {1 \over 4}\) Đáp án Ta có: \(\cos {\pi \over {12}}\cos {{7\pi } \over {12}} = {1 \over 2}(cos{{2\pi } \over 3} + \cos {\pi \over 2}) = - {1 \over 4}\) Chọn D Bài 64 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. \(\sin {{{{90}^0}} \over 4}\cos {{{{270}^0}} \over 4}\) bằng: \(\eqalign{ & (A)\,{1 \over 2}(1 - {{\sqrt 2 } \over 2})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B)\,{1 \over 2}({{\sqrt 2 } \over 2} - 1)\,\,\, \cr & (C)\,{1 \over 2}(1 + {{\sqrt 2 } \over 2})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(D)\,\sqrt 2 - 1 \cr} \) Đáp án Ta có: \(\sin {{{{90}^0}} \over 4}\cos {{{{270}^0}} \over 4} = {1 \over 2}\sin ({90^0} - \sin {45^0}) \) \(= {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 2 } \over 2})\) Chọn (A) Bài 65 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. \({{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}} \over {\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}}\) bằng: \(\eqalign{ & (A)\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(B)\,{{\sqrt 3 } \over 2} \cr & (C)\,\, - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(D)\, - {{\sqrt 3 } \over 2} \cr} \) Đáp án Ta có: \({{\cos {{80}^0} - \cos {{20}^0}} \over {\sin {{40}^0}\cos {{10}^0} + \sin {{10}^0}\cos {{40}^0}}} = {{ - 2\sin {{50}^0}\sin {{30}^0}} \over {\sin ({{40}^0} + {{10}^0})}} \) \(= - 2\sin {30^0} = - 1\) Vậy chọn C Bài 66 trang 219 SGK Đại số 10 Nâng cao. Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc nhọn thì: \(\eqalign{ & A.\,\,0 \le \alpha \le {\pi \over 2} \cr & B.\,\,\, - {\pi \over 2} \le \alpha \le {\pi \over 2} \cr & C.\,\, - {\pi \over 2} < \alpha \le 0 \cr} \) D. Có số nguyên k để \( - {\pi \over 2} + k2\pi < \alpha < {\pi \over 2} + k2\pi \) Đáp án Chọn D Bài 67 trang 220 SGK Đại số 10 Nâng cao. Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà góc uOv là góc tù thì: A. Có số nguyên k để \( {\pi \over 2} + k2\pi < \alpha < {3\pi \over 2} + k2\pi \) \(\eqalign{ & B.\,\,-\pi\le \alpha \le {-\pi \over 2} \cr & C.\,\,\, - {\pi \over 2} \le \alpha \le {3\pi \over 2} \cr & D.\,\, {\pi \over 2} < \alpha \le \pi \cr} \) Đáp án Chọn A. Bài 68 trang 220 SGK Đại số 10 Nâng cao. Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo α , xét góc lượng giác (OA, ON) có 1 số đo \({\alpha \over 2}\) (M và N cùng nằm trên đường trọn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi α sao cho M nằm trong góc phần tư thứ III của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn. A: nằm trong góc phần tư I B: nằm trong góc phần tư II C: nằm trong góc phần tư III D: không nằm trong góc phần tư I và III Đáp án Ta có: \(\eqalign{ & \pi + k2\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} + k2\pi ,\,\,k \in Z \cr & \Rightarrow {\pi \over 2} + k\pi < {\alpha \over 2} < {{3\pi } \over 4} + k\pi \cr} \) + Nếu k chẵn thì N nằm trong góc phần tư thứ II + Nếu k lẻ thì N nằm trong góc phần tư thứ IV Chọn (D) Bài 69 trang 220 SGK Đại số 10 Nâng cao. Với góc lượng giác (OA, OM) có số đo ∝, xét góc lượng giác (OA, ON) có số đo 2∝ (M và N cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A). Khi đó, với mọi ∝ so cho M nằm trong góc phần tư I của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên trục tọa độ), điểm N luôn: A: nằm trong góc phần tư I B: nằm trong góc phần tư II C: nằm trong góc phần tư III D: không nằm trong góc phần tư IV Đáp án Ta có: \(k2\pi < \alpha < {\pi \over 2} + k2\pi \Rightarrow k4\pi < 2\alpha < \pi + k4\pi \) Chọn (D)
