Tóm tắt lý thuyết A. Mệnh đề 1. Mệnh đề Mệnh đề là một câu thỏa mãn đồng thời hai yêu câu: a) Câu ấy hoặc là đúng, hoặc là sai. b) Câu ấy không thể vừa đúng và vừa sai. 2. Mệnh đề kéo theo Là mệnh đề có dạng \(P \Rightarrow Q.\) 3. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề A. Mệnh đề bác bỏ mệnh đề A được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề A. Ký hiệu \(\overline A .\) 4. Định lý Những mệnh đề đúng và có dạng \(P \Rightarrow Q\) được gọi là định lý. P là giải thiết, Q là kết luận của định lý. 5. Mệnh đề đảo Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(Q \Rightarrow P.\) B. Tập hợp 1. Các phép toán về tập hợp a) Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp C mà các phần tử thuộc tập A và tập B. Ký hiệu: \(C = A \cap B.\) Vậy \(x \in A \cap B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right..\) Mô tả: b) Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp C mà các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B. Ký hiệu: \(C = A \cup B.\) Vậy \(x \in A \cup B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \in A\\x \in B\end{array} \right..\) Mô tả: c) Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp C mà các phần tử thuộc tập A và không thuộc tập B. Ký hiệu: \(C = A\backslash B.\) Vậy \(x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in A\\x \notin B\end{array} \right..\) Mô tả: Đặc biệt: \(B \subset A \Rightarrow A\backslash B\) được gọi là phần bù của B trong A. Ký hiệu: \({C_A}B = A\backslash B.\) 2. Các tập hợp thường gặp a) Đoạn: \(\left[ {a;b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x \le b} \right\}.\) b) Khoảng: \(\left( {a;b} \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a < x < b} \right\}.\) c) Nửa khoảng: \(\left[ {a;b} \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x < b} \right\}\) \(\left( {a;b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a < x \le b} \right\}.\) \(\left( { - \infty ;b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \le b} \right\}.\) \(\left[ {a; + \infty } \right) = \left\{ {c \in \mathbb{R}|x \ge a} \right\}.\) Bài tập minh họa Bài 1: Lập mệnh đề đảo của các định lí sau và cho biết mệnh đề này đúng hay sai. Viết mệnh đề tương đương (nếu được): a) “Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên)”. b) “Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3”. c) “Nếu tứ giác là hình vuông thì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau”. d) “Nếu \(\Delta ABC\) cân thì \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến bằng nhau”. Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề đảo: “Nếu a + b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c(a,b,c là các số nguyên)” là mệnh đề sai. b) Mệnh đề đảo: “Nếu một số chia hết cho 3 thì số đó có tổng các chữ số chia hết cho 3” \( \to \) mệnh đề đúng. Mệnh đề tương đương: “ Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi số đó có tổng các chữ số chia hết cho 3”. c) Mệnh đề đảo: “ Nếu tứ giác có 4 cạnh bằng nhau thì tư giác đó là hình vuông” \( \to \) mệnh đề sai. d) Mệnh đề đảo:” Nếu \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến bằng nhau thì \(\Delta ABC\) là tam giác cân” \( \to \) mệnh đề đúng. Mệnh đề tương đương: “\(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến bằng nhau khi và chỉ khi \(\Delta ABC\) là tam giác cân”. Bài 2: Cho các tập hợp \(A = \left[ { - 3;2} \right),\;B = \left( { - 2;4} \right],\;C = \left( { - \infty ;3} \right),\;D = \left[ {1; + \infty } \right).\) Hãy xác định các tập hợp sau: a) \(A \cap B\) b) \(A \cup B\) c) \(\mathbb{R}\backslash C\) d) \(D\backslash \left( {A \cup B} \right)\) Hướng dẫn giải: a) \(A \cap B = ( - 2;\,2)\). b) \(A \cup B = \left[ { - 3;\,4} \right]\). c) \(\mathbb{R}\backslash C = \left[ {3;\, + \infty } \right)\). d) \(D\backslash (A \cup B) = \left[ {1;\, + \infty } \right)\backslash \left[ { - 3;\,4} \right] = \left( {4;\, + \infty } \right)\). Bài 3: Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\,{x^2} - 2x + m - 1 = 0\,\,,\,m\, \in \mathbb{N}} \right\}\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để \(A \ne \emptyset \). Hướng dẫn giải: \(A \ne \emptyset \,\)khi phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) có nghiệm thực. Điều nảy xảy ra khi \(\Delta '\, \ge \,0,\,m \in \mathbb{N}\)\( \Leftrightarrow 1 - (m - 1) \ge 0,\,m \in \mathbb{N}\) \( \Leftrightarrow m \le 2,\,m \in \mathbb{N} \Leftrightarrow \,m = \left\{ {0\,;\,1\,;2} \right\}.\) Vậy với \(m = \left\{ {0;\,1;2} \right\}\) thì \(A \ne \emptyset .\) Bài 4: a) Cho \(\sqrt 7 = 2,6457513...\) với độ chính xác là \(d = 0,003\). Hãy viết số quy tròn của số \(\sqrt 7 \) b) Tìm hai số thực a và b để có \(\left\{ {x \in R|{x^3} - a{x^2} + bx + 12 = 0} \right.{\rm{\} }}\)=\(\left\{ { - 3;2} \right\}.\) Hướng dẫn giải: a) Do độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn số hàng phần trăm nên Số quy tròn của\(\sqrt 7 \) là: 2,65. b) Phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx + 12 = 0\) có hai nghiệm là -3 và 2 nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + 2b = - 20\\ - 9a - 3b = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 8\end{array} \right..\) Thử lại, giá trị a và b nhận được thỏa yêu cầu bài toán.
