Tóm tắt lý thuyết 1. Hàm số bậc nhất Sơ đồ tư duy hàm số bậc nhất 2. Hàm số bậc hai Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai Bài tập minh họa Ví dụ 1: Cho các hàm số : \(y = - 2x + 3,\,\,y = x + 2,\,\,y = \frac{3}{2}\). a) Vẽ đồ thị các hàm số trên. b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó. Hướng dẫn: a) Đồ thị hàm số \(y = - 2x + 3\) đi qua \(A\left( {0;3} \right),\,\,B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) Đồ thị hàm số \(y = x + 2\) đi qua \(A'\left( {0;2} \right),\,\,B'\left( { - 2;0} \right)\) Đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{2}\) đi qua \(M\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) và song song với trục hoành. b) Giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = - 2x + 3,\,\,y = x + 2\) là \({M_1}\left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3}} \right)\). Giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = - 2x + 3,\,\,y = \frac{3}{2}\) là \({M_2}\left( {\frac{3}{4};\frac{3}{2}} \right)\). Giao điểm của hai đồ thị hàm số \(\,y = x + 2,\,\,y = \frac{3}{2}\) là \({M_2}\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 3.\) Từ đó suy ra đồ thị của: \(\left( {{C_1}} \right):y = 2\left| x \right| - 3,\) \(\left( {{C_2}} \right):y = \left| {2x - 3} \right|,\) \(\left( {{C_3}} \right):y = \left| {2\left| x \right| - 3} \right|\) Hướng dẫn: Đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\) đi qua \(A\left( {0; - 3} \right),\,\,B\left( {2;1} \right)\) ta gọi là \(\left( C \right)\) \(\bullet \) Khi đó đồ thị hàm số \(\left( {{C_1}} \right):y = 2\left| x \right| - 3\) là phần được xác định như sau Ta giữ nguyên đồ thị \(\left( C \right)\) ở bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị \(\left( C \right)\) ở phần bên phải trục tung qua trục tung. \(\bullet \) \(\left( {{C_2}} \right):y = \left| {2x - 3} \right|\) là phần đồ thị \(\left( C \right)\) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của \(\left( C \right)\). \(\bullet \) \(\left( {{C_3}} \right):y = \left| {2\left| x \right| - 3} \right|\) là phần đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của \(\left( {{C_1}} \right)\). Ví dụ 3: Xác định phương trình của Parabol (P): \(y = {x^2} + bx + c\) trong các trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm \(A\left( {1;{\rm{ }}0} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 6} \right)\). b) (P) có đỉnh \(I\left( {1;{\rm{ }}4} \right)\). c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh \(S\left( { - 2; - 1} \right)\). Hướng dẫn: a) Vì (P) đi qua A, B nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + b + c\\ - 6 = 4 - 2b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = - 1\\2b - c = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c = - 4\end{array} \right.\). Vậy (P):\(y = {x^2} + 3x--4\) . b) Vì (P) có đỉnh \(I\left( {1;{\rm{ }}4} \right)\) nên\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{2} = 1\\ - \frac{{{b^2} - 4c}}{4} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 5\end{array} \right.\). Vậy (P):\(y = {\rm{ }}{x^2}--2x + 5\) . c) (P) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra \(c = 3\) (P) có đỉnh \(S\left( { - 2; - 1} \right)\)suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - 2\\ - 1 = 4a - 2b + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 1\end{array} \right.\) Ví dụ 4: Cho hàm số \(y = {x^2} - 6x + 8\) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên. b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số \(m\) số điểm chung của đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số trên. c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương. d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ { - 1;5} \right]\). Hướng dẫn: a) Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = 3,\,\, - \frac{\Delta }{{4a}} = - 1\) Bảng biến thiên: Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2\) có đỉnh là \(I\left( {3; - 1} \right)\), đi qua các điểm \(A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)\) Nhận đường thẳng x = 3\) làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên. b) Đường thẳng \(y = m\) song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với \(m < - 1\) đường thẳng \(y = m\) và parabol \(y = {x^2} - 6x + 8\) không cắt nhau Với \(m = - 1\) đường thẳng \(y = m\) và parabol \(y = {x^2} - 6x + 8\) cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc) Với \(m > - 1\) đường thẳng \(y = m\) và parabol \(y = {x^2} - 6x + 8\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\). d) Ta có \(y\left( { - 1} \right) = 15,\,\,y\left( 5 \right) = 13,\,\,y\left( 3 \right) = - 1\), kết hợp với đồ thị hàm số suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y = 15\) khi và chỉ khi\(x = - 1\) \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y = - 1\) khi và chỉ khi \(x = 3\)
