Tóm tắt lý thuyết 1. Đơn thức Khái niệm: Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến. hoặc một tích giữa các số và biến. Chẳng hạn: Các biểu thức: \(3;\,\ \frac{1}{2};\,\ \frac{-2}{5}x^2y;\,\ xy^2z, -2x^4y^7zt^2;\, t;\, z,...\) là những đơn thức. Các biểu thức có chứa phép cộng và phép trừ không phải là những đơn thức (ví dụ \(x+y^2;\,\ x^3-y;\, 1+x+y,...\)) Chú ý: Số 0 được gọi là đơn thức không. 2. Đơn thức thu gọn Khái niệm: Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Chú ý: Ta coi một số chư một đơn thức thu gọn. Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần. Thông thường, khi viết đơn thức thu gọn ta viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo thứ tự bảng chữ cái. Ví dụ: Các đơn thức \(-z,x;\, y^2;\,\ 4;\,\frac{-3}{7};\, \frac{1}{2}x^2y;\,\ x^3y^5z;...\) là những đơn thức thu gọn. Các đơn thức \(yzty^2;\, \frac{-6}{11}xy^2x;\, x^2yzy,...\) không phải là đơn thức thu gọn. 3. Bậc của một đơn thức Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó. Chú ý: Số thực khác 0 là đơn thức bậc 0. Số 0 được coi là đa thức không có bậc. Ví dụ: Đơn thức \(-2x^2y^3\) có bậc là 5. Đơn thức \(\frac{3}{4}xyz^2\) có bậc là 4. 4. Nhân hai đơn thức Dựa vào tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân các số và quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số, do đó để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. Mỗi đơn thức đều có thể viết thành một đơn thức thu gọn (bằng cách nhân các đơn thức, ta sẽ thu gọn được đơn thức). Ví dụ: Để nhân hai đơn thức \(9xy\) và \(2x^2y\) ta làm như sau: \((9xy).(2x^2y)=(9.2)(x.x^2)(y.y)=18x^3y^2\). Bài tập minh họa Bài 1: Trong các biểu thức dưới đây, hãy chỉ ra đâu là đơn thức? Nếu là đơn thức, hãy cho biết phần hệ số, phần biến của mỗi đơn thức đó. a) \(\frac{1}{2}x^2\). b) \(\frac{-2}{5}+x^2y\). c) \(1,6-xy^3\). d) \(-5xy^2z\). Hướng dẫn giải: Các biểu thức a) và d) là đơn thức vì chúng gồm tích của số và biến a) phần số là \(\frac{1}{2}\), phần biến là \(x^2\). d) phần số là \(-5\), phần biến là \(xy^2z\). Còn các biểu thức b) và c) không phải là đơn thức. Bài 2: Tính tích của các đơn thức sau rồi tìm bậc của đơn thức thu được: a) \(\frac{-1}{2}x^2y\) và \(\frac{-2}{5}xy\). b) \(xy^4\) và \(-2x^2yz^3\). Hướng dẫn giải: a) Tích của hai đơn thức \(\frac{-1}{2}x^2y\) và \(\frac{-2}{5}xy\) là: \((\frac{-1}{2}x^2y).(\frac{-2}{5}xy)=(\frac{-1}{2})(\frac{-2}{5})(x^2.x)(y.y)=\frac{1}{5}x^3y^2\). Đơn thức thu được là \(\frac{1}{5}x^3y^2\) có bậc là \(5\). b) Tích của hai đơn thức \(xy^4\) và \(-2x^2yz^3\) là: \((xy^4).(-2x^2yz^3)=-2(x.x^2)(y^4.y).z^3=-2x^3y^5z^3\). Đơn thức thu được là \(-2x^3y^5z^3\) có bậc là \(3+5+3=11\). Bài 3: a) Tính tích của các đa thức sau: \(xy^2z, -4x^2y,-2yz^2\). b) Tính giá trị đơn thức thu được ở câu a) tại \(x=-1, y=\frac{1}{2},z=-2\). Hướng dẫn giải: a) Tích của các đa thức \(xy^2z, -4x^2y,-2yz^2\) là \((xy^2z) .(-4x^2y).(-2yz^2)=(-4)(-2)(x.x^2)(y^2.y.y)(z.z^2)=8x^3y^4z^3\). b) Giá trị của đơn thức \(8x^3y^4z^3\) tại \(x=-1, y=\frac{1}{2},z=-2\) là \(8.(-1)^3.(\frac{1}{2})^4.(-2)^3=4\). Bài 4: Hãy viết các đơn thức bậc ba với biến \(x,y\) và có giá trị bằng \(2\) tại \(x=1,y=-1\). Hướng dẫn giải: Đơn thức với biến \(x,y\) có dạng \(k. x^t.y^s\) với \(t+s=3\), \(t,s\geqslant 1\) (vì đa thức này bậc ba). Từ đây suy ra \(t,x<3\). Tại \(x=1,y=-1\) thì \(2=k. x^t.y^s=k.1^t.(-1)^s=k. (-1)^s\). Với \(s=1\) khi đó \(k.(-1)^1=2\Rightarrow k=-2;\) \(t=3-s=3-1=2\). Đơn thức cần tìm là \(-2x^2y\). Với \(s=2\) khi đó \(k.(-1)^2=2\Rightarrow k=1;\)\(k.(-1)^2=2\Rightarrow k=1;\)\(t=3-s=3-2=1\) Đơn thức cần tìm là \(2xy^2\). Vậy các đơn thức thỏa yêu cầu đề bài là \(-2x^2y;\) \(2xy^2\).
