Tóm tắt lý thuyết 1. Cộng đa thức Muốn cộng hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước: Viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng. Thu gọn các hạng tử đồng dạn (nếu có). 2. Trừ đa thức Muốn trừ hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước: Viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng. Viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại. Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có). Ví dụ 1: Tính tổng của: \(3{x^2}y - {x^3} - 2x{y^2} + 5\) và \(2{x^3} - 3x{y^2} - {x^2}y + xy + 6\). Hướng dẫn gải: Tổng của hai đa thức là: \(\begin{array}{l}(3{x^2}y - {x^3} - 2x{y^2} + 5) + (2{x^3} - 3x{y^2} - {x^2}y + xy + 6)\\ = (3{x^2}y - {x^2}y) + ( - {x^3} + 2{x^3}) + ( - 2x{y^2} - 3x{y^2}) + xy + (5 + 6)\\ = 2{x^2}y + {x^3} - 5x{y^2} + xy + 11.\end{array}\) Ví dụ 2: Tìm đa thức M, biết: a. \(M - (2{x^3} - 4xy + 6{y^2}) = {x^2} + 3xy - {y^2}\) b. \((2{x^2} - 4xy + {y^2}) + M = 0\) c. \((2{x^2} - 7xy + 3{y^2}) - 2M = 4{x^2} - 5xy + 9{y^2}\) Hướng dẫn giải: a. \(M = ({x^2} + 3xy - {y^2}) + (2{x^3} - 4xy + 6{y^2})\)\( = 2{x^3} + {x^2} - xy + 5{y^2}\). b. \(M = - (2{x^2} - 4xy + {y^2})\)\( = - 2{x^2} + 4xy - {y^2}\). c. \(\begin{array}{l}2M = (4{x^2} - 5xy + 9{y^2}) - (2{x^2} - 7xy - 3{y^2})\\2M = 2{x^2} + 2xy + 6{y^2}\\ \Rightarrow M = \frac{{2{x^2} + 2xy + 6{y^2}}}{2} = {x^2} + xy + 3{y^2}\end{array}\) Vậy \(M = {x^2} + xy + 3{y^2}\). Ví dụ 3: Tìm đa thức A sao cho: a. Tổng của A với đa thức \(2{x^4} - 3{x^2}y + y + {y^4} + 3xy + {z^2}\) không chứa biến x. b. Tổng của A với đa thức \(3x{y^2} + 3x{z^2} - 3xyz - 8{y^2}{z^2} + 10\) là một đa thức bậc 0. Hướng dẫn giải: a. \(A = - 2{x^4} + 3{x^2}y - 3xz\) Chú ý: Có vô số đa thức A thoả mãn yêu cầu đề bài. b. \(A = - 3x{y^2} - 3x{z^2} + 3xyz + 8{y^2}{z^2}\) Chú ý: Có vô số đa thức A thoả mãn yêu cầu đề bài. Bài tập minh họa Bài 1: Viết một đa thức bậc 3 có ba biến x, y, z và có bốn hạng tử. Hướng dẫn giải: Có nhiều cách viết, chẳng hạn: \(\begin{array}{l}{x^3} + x{y^2} - x{z^2} + 1\\xyz + x{y^2} - {x^2}z + y{z^2}\\{x^3} + yz + 3{y^2} + 3...\end{array}\). Bài 2: Tính giá trị của các đa thức sau: a. \(2{x^3} + {y^2} + 2xy - 3{y^3} + 2{x^3} + 3{y^3} - 3{x^3}\) tại x=4; y=5. b. \({x^6}{y^6} - {x^4}{y^4} + {x^2}y - xy + 1\) tại x=1;y=-1. Hướng dẫn giải: a. Trước hết ta thu gọn đa thức: \(\begin{array}{l}2{x^3} + {y^2} + 2xy - 3{y^3} + 2{x^3} + 3{y^3} - 3{x^3}\\ = (2{x^3} + 2{x^3} - 3{x^3}) + ({y^2}) + (2xy) + ( - 3{y^3} + 3{y^3})\\ = {x^3} + {y^2} + 2xy\end{array}\) Thay x=2,y=5 vào ta được \(\) \({4^3} + {5^2} + 2.4.5 = 64 + 25 + 40 = 129\). b. Thay x=1,y=-1 vào đa thức ta được \(\begin{array}{l}{( - 1)^6}.{( - 1)^6} - {( - 1)^4}.{( - 1)^4} + {( - 1)^2}.( - 1) - ( - 1).( - 1) + 1\\ = 1.1 - 1.1 + 1.1 - 1.1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1\end{array}\). Bài 3: Tìm các cặp giá trị x, y để các đa thức sau nhận thức sau nhận giá trị bằng 0. a. x + 2y – 1. b. x + y + 2. Hướng dẫn giải: a. Có nhiều đáp số chẳng hạn: (x=-1; y=1), (x=1; y=0). b. Có nhiều đáp số chẳng hạn: (x=-1;y=-1), (x=-2;y=0).