Tóm tắt lý thuyết Để cộng hoặc trừ các đa thức một biến, ta có thể theo một trong hai cách sau: Cách 1: Tương tự như cộng trừ đa thức đã học ở §6. Cách 2: Sắp xếp chúng cùng theo luỹ vừa giảm (hoặc tăng) của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng và trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở trong cùng một cột). Ví dụ 1: Cho các đa thức: \(\begin{array}{l}f(x) = 3{x^2} - 7 + 5x - 6{x^2} - 4{x^3} + 8 - 5{x^5} - {x^3}\\g(x) = - {x^4} + 2x - 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 - x\end{array}\) a. Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo luỹ thừa giảm của biến. b. Xác định bậc của mỗi đa thức. c. Cho biết hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức. d. Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x). Hướng dẫn giải: a. \(\begin{array}{l}f(x) = - 5{x^5} - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = {x^4} + 3{x^3} + x + 1\end{array}\). b. Đa thức f(x) có bậc 5, đa thức g(x) có bậc 4. c. Đa thức f(x) có hệ số cao nhất là -5, hệ số tự do là 1 Đa thức g(x) có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 1. d. \(\frac{\begin{array}{l}f(x) = - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) + g(x) = - 5{x^5} + {x^4} - 2{x^3}\, - 3x{}^2 + 6x + 2}}\) \(\frac{\begin{array}{l}f(x) = - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\ - \\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) - g(x) = - 5{x^5} - {x^4} - 8{x^3}\, - 3x{}^2 + 4}}\). Ví dụ 2: Tìm đa thức h(x) sao cho f(x) – h(x) = g(x) biết: a. \(f(x) = {x^2} + x + 1\) \(g(x) = 7{x^5} + {x^4} - 2{x^3} + 4\) b. \(f(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1\) \(g(x) = x + 3\) Hướng dẫn giải: a. \(h(x) = f(x) - g(x) = {x^2} + x + 1 - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} - 4 = - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3\). b. \(h(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1 - x - 3 = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + x - 4\). Ví dụ 3: Tính hiệu f(x) – g(x) biết: a. \(f(x) = {x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7\) \(g(x) = - 2{x^5} + 6{x^4} - 2x{{\kern 1pt} ^2} + 6\). b. \(f(x) = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7\) \(g(x) = - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5\). Hướng dẫn giải: a. \(\begin{array}{l}f(x) - g(x) = ({x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7) - ( - 2{x^5} + 6{x^4} - 2{x^2} + 6)\\ = ({x^5} + 2{x^5}) + ( - 4{x^4} - 6{x^4}) + ( - 2{x^2} + 2{x^2}) + ( - 7 - 6)\\ = 3{x^5} - 10{x^4} - 13\end{array}\). b. \(\begin{array}{l}f(x) + g(x) = (5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7) - ( - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5)\\ = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7 + 4{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x - 5\\ = (5{x^4} + 4{x^4}) + (7{x^3} - 2{x^3}) + ( - 6{x^2} + 5{x^2}) + (3x - 4x) + ( - 7 - 5)\\ = 9{x^4} + 5{x^3} - {x^2} - x - 12\end{array}\). Bài tập minh họa Bài 1: Cho đa thức : \(P(x) = - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\) Tính P(1), P(0), P(-1). Hướng dẫn giải: Trước hết ta thu gọn đa thức: \(\begin{array}{l}P(x) = - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,( - 9{x^3} - 7{x^3} - 15{x^3}) + (5{x^4} - {x^4}) + (8{x^2} - 4{x^2}) + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 31{x^3} + 4{x^4} + 4{x^2} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{x^4} - 31{x^3} + 4{x^2} + 15\end{array}\) Nên ta có: \(P(1) = {4.1^4} - {31.1^3} + {4.1^2} + 15 = 4 - 31 + 4 + 15 = - 8\) \(P(0) = 4.0 - 31.0 + 4.0 + 15 = 15\) \(\begin{array}{l}P( - 1) = 4.{( - 1)^4} - 31.{( - 1)^3} + 4.{( - 1)^2} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4.1 - 31.( - 1) + 4.1 + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,4 + 31 + 4 + 15 = 54\end{array}\) Bài 2: Cho đa thức: \(f(x) = 3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2\) Hãy tìm đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x). Hướng dẫn giải: Đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x) nên ta có g(x) = -f(x). Do đó: \(\begin{array}{l}g(x) = - (3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 3{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 7x - 2\end{array}\) Bài 3: Cho các đa thức: \(\begin{array}{l}A = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\end{array}\) a. Tính C=A+B, D=A-B, E=C-D. b. Tính giá trị của các đa thức A, B, C, D tại x= -1. Hướng dẫn giải: a. \(\begin{array}{l}C = A + B\\\,\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6) + (3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4)\\\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 3{x^3}) + (4{x^2} - 6{x^2}) + ( - 5x + 5x) + (6 - 4)\\\,\,\,\,\, = - 2{x^2} + 2\\D = A - B\\\,\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6) - (3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4)\\\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} - 3{x^3}) + (4{x^2} - 6{x^2}) + ( - 5x + 5x) + (6 + 4)\\\,\,\,\,\, = - 6{x^3} + 10{x^2} - 10x + 10\end{array}\) \(\begin{array}{l}E = C - D\\\,\,\,\,\, = \,( - 2{x^2} + 2) - ( - 6{x^3} + 10{x^2} - 10x + 10)\\\,\,\,\,\, = - 2{x^2} + 2 + 6{x^3} - 10{x^2} + 10x - 10\\\,\,\,\,\, = \, - 12{x^2} - 8 + 6{x^3} + 10x\\\,\,\,\, = 6{x^3} - 12{x^2} + 10x - 8\end{array}\) b. Tính giá trị của các đa thức tại x=-1 \(\begin{array}{l}A = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\\,\,\,\,\, = - 3.{( - 1)^3} + 4.{( - 1)^2} - 5.( - 1) + 6\\\,\,\,\,\, = - 3.( - 1) + 4.1 - 5.( - 1) + 6\\\,\,\,\,\, = \,3 + 4 + 5 + 6 = 18\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\\\,\,\,\,\, = 3.{( - 1)^3} - 6.{( - 1)^2} + 5.( - 1) - 4\\\,\,\,\,\, = 3.\,( - 1) - 6.1 + 5.( - 1) - 4\\\,\,\,\,\, = - 3 - 6 - 5 - 4 = - 18\\C = - 2.{( - 1)^2} + 2 = - 2.1 + 2 = 0\\D = - 6.{( - 1)^3} + 10.{( - 1)^2} - 10.( - 1) + 10\\\,\,\,\,\, = - 6.( - 1) + 10.1 - 10.( - 1) + 10\\\,\,\,\,\, = 6 + 10 + 10 + 10 = 36\\E = 6.{( - 1)^3} - 12.{( - 1)^2} + 10.( - 1) - 8\\\,\,\,\, = 6.( - 1) - 12.1 + 10.( - 1) - 8\\\,\,\,\, = - 6 - 12 - 10 - 8 = - 36\end{array}\) Chú ý: Ta có thể tính ngay giá trị của đa thức C,D,E khi biết các giá trị của đa thức A, B (khỏi phải thay x=-1 vào các đa thức C, D,E) như sau: Cùng tại x=-1 ta có A=18,B=-18. Nên C=A+B=18+(-18)=0. D=A-N=18-(-18)=36. E=C-D=0-36=-36.
