Tóm tắt lý thuyết Nghiệm của đa thức một biến: Nếu tại x=a đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó. Nhận xét: Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào. Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của nó. Ví dụ 1: Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là 1 nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) hay không? Hướng dẫn giải: Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\) * Tại x=1 thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một nghiệm của đa thức f(x). * Tại x=2 thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 3.2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một nghiệm của đa thức f(x). * Tại x=-1 thì \(f\left( { - 1} \right) = {( - 1)^2} - 3.( - 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f(x). Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm. a. \(P(x) = {x^2} + 1\) b.\(Q(x) = (2{y^4} + 5)\) Hướng dẫn giải: a. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó: \(P(x) = {x^2} + 1 > 0\) nên đa thức P(x) không có nghiệm. b. Vì\({y^4} \ge 0\)nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó: \(Q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) nên đa thức Q(x) không có nghiệm. Ví dụ 3: a. Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2.\) b. Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=-1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\) Hướng dẫn giải: a. Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\) Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x) Ta có 8+(-6)+(-2)=0, nên: \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2\) có một nghiệm x = 1. b. Ta có: \(f( - 1) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c = 0\) Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x). Ta thấy \(7 - (11) + 4 = 0,\) nên: \(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có một nghiệm x = -1. Bài tập minh họa Bài 1: Tìm nghiệm của đa thức: a. \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\). b. \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\). Hướng dẫn giải: a. Đa thức \({x^2} - 2003x - 2004\) có các hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004 và vì a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004) =1 + 2003 – 2004 = 0 Nên đa thức \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\) có một nghiệm là x = -1 b. Ta có a = 2005, b = -2004, c = -1 nên a + b + c = 2005 + (-2004) + (-1) =2005 – 2005 = 0 Vậy đa thức \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\) có một nghiệm là x = 1. Bài 2: Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\) Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2. Hướng dẫn giải: Đa thức f(x) có một nghiệm x = -2 nên f(-2) = 0. Hay: \(\begin{array}{l}{( - 2)^3} + 2.{( - 2)^2} + a.( - 2) + 1 = 0\\ = - 8 + 8 - 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\end{array}\) Vậy \( \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) thì f(x) có nghiệm x = -2. Bài 3: Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}.\) Trong đó các hệ số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) và số hạng độc lập \({a_0}\) nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) có một nghiệm \(x = {x_0}\) nhận giá trị nguyên thì \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\). Hướng dẫn giải: Giả sử \(x = {x_0}\) là một nghiệm nguyên của f(x) Ta có: \(f({x_0}) = {a_n}x_0^n + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0\) Trong đẳng thức này, các số hạng của tổng là \({a_n}x_0^n,{a_{n - 1}}{x^{n - 1}},...,{a_1}\)đều chia hết cho \({a_0}\). Vậy \({a_0}\) cũng phải chia hết cho \({x_0}\) hay \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).
