Bài 44 trang 45 sgk toán 7 - tập 2. Cho hai đa thức: $P(x) = -5x^3 - \frac{1}{3} + 8x^4 + x^2$ và $Q(x) = x^2 – 5x – 2x^3 + x^4 - \frac{2}{3}$. Hãy tính $P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x)$. Hướng dẫn giải: Ta có: $P(x) = -5x^3 - \frac{1}{3} + 8x^4 + x^2$ và $Q(x) = x^2 – 5x – 2x^3 + x^4 - \(\frac{2}{3}\)$. Ta sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến như sau: Bài 45 trang 45 sgk toán 7 - tập 2. Cho đa thức $P(x) = x^4 - 3x^2 + \frac{1}{2} – x$. Tìm các đa thức $Q(x), R(x)$, sao cho: a) $P(x) + Q(x) = x^5 – 2x^2 + 1$. b) $P(x) – R(x) = x^3$. Hướng dẫn giải: Ta có: $P(x) = x^4 - 3x^2 + \frac{1}{2} – x$. a) Vì $P(x) + Q(x) = x^5 – 2x^2 + 1$ nên $Q(x) = x^5 – 2x^2 + 1 - P(x)$ $Q(x) = x^5 – 2x^2 + 1 - x^4 + 3x^2 - \frac{1}{2} + x$ $Q(x) = x^5 - x^4 + x^2 + x + \frac{1}{2}$ b) Vì $P(x) - R(x) = x^3$ nên $R(x) = x^4 - 3x^2 + \frac{1}{2} – x - x^3$ hay $R(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 – x + \frac{1}{2}$. Bài 46 trang 45 sgk toán 7 - tập 2. Viết đa thức $P(x) = 5x^3 – 4x^2 + 7x - 2$ dưới dạng: a) Tổng của hai đa thức một biến. b) Hiệu của hai đa thức một biến. Bạn Vinh nêu nhận xét: "Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thức bậc 4". Đúng hay sai ? Vì sao ? Hướng dẫn giải: Viết đa thức $P(x) = 5x^3 – 4x^2 + 7x - 2$ dưới dạng: a) Tổng của hai đa thức một biến. $5x^3 – 4x^2 + 7x - 2 = (5x^3 – 4x^2) + (7x - 2)$ b) Hiệu của hai đa thức một biến. $5x^3 – 4x^2 + 7x - 2 = (5x^3 + 7x) - (4x^2 + 2)$ Chú ý: Đáp số ở câu a; b không duy nhất, các bạn có thể tìm thêm đa thúc khác. Bạn Vinh nói đúng: Ta có thể viết đa thức đã cho thành tổng của hai đa thúc bậc 4 chẳng hạn như: $5x^3 – 4x^2 + 7x - 2 = (2x^4 + 5x^3 + 7x) + (– 2x^4 – 4x^2 - 2)$. Bài 47 trang 45 sgk toán 7 - tập 2. Cho các đa thức: $P(x) = 2x^4 –x - 2x3 + 1$ $Q(x) = 5x^2 – x^3 + 4x $ $H(x) = -2x^4 + x^2 + 5$. Tính $P(x) + Q(x) + H(x)$ và $P(x) - Q(x) - H(x)$. Hướng dẫn giải: Ta có: $P(x) = 2x^4 –x - 2x^3 + 1$ $Q(x) = 5x^2 – x^3 + 4x $ $H(x) = -2x^4 + x^2 + 5$ Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần rồi xếp các số hạng đồng dạng theo cùng cột dọc ta được: Bài 48 trang 46 sgk toán 7 - tập 2. Chọn đa thức mà em cho là kết quả đúng: $(2x^3 - 2x + 1) - (3x^2 + 4x - 1) = ?$ Hướng dẫn giải: $(2x^3 - 2x + 1) - (3x^2 + 4x - 1) = 2x^3 - 3x^2 - 6x + 2$. Vậy chọn đa thức thứ hai. Bài 49 trang 46 sgk toán 7 - tập 2. Hãy tìm bậc của mỗi đa thức sau: $M = x^2 - 2xy + 5x^2 - 1$ $N = x^2y^2 - y^2 + 5x^2 - 3x^2y + 5$. a) Thu gọn các đa thức trên. b) Tính $N + M$ và $N - M$. Hướng dẫn giải: a) Đa thức $M = x^2 - 2xy + 5x^2 - 1 = 6x^2 - 2xy - 1$ có bậc 2. Đa thức $N = x^2y^2 - y^2 + 5x^2 - 3x^2y + 5$ có bậc 4. b) $N + M = x^2y^2 – y^2 + 11x^2 – 3x^2y + 4 – 2xy$ $N – M = x^2y^2 – y^2 – x^2 – 3x^2y + 2xy + 6$. Bài 50 trang 46 sgk toán 7 - tập 2. Cho các đa thức: $N = 15y^3 + 5y^2 - y^5 - 5y^2 - 4y^3 - 2y$ $M = y^2 + y^3 -3y + 1 - y^2 + y^5 - y^3 + 7y^5$ a) Thu gọn các đa thức trên. b) Tính $N + M$ và $N - M$. Hướng dẫn giải: a) Thu gọn các đa thức: $N = 15y^3 + 5y^2 - y^5 - 5y^2 - 4y^3 - 2y = -y^5 + 11y^3 - 2y$ $M = y^2 + y^3 -3y + 1 - y^2 + y^5 - y^3 + 7y^5 = 8y^5 - 3y + 1$. b) $N + M = -y^5 + 11y^3 - 2y + 8y^5 - 3y + 1$ $ = 7y^5 + 11y^3 - 5y + 1$ $N - M = -y^5 + 11y^3 - 2y - 8y^5 + 3y - 1= -9y^5 + 11y^3 + y - 1$. Bài 51 trang 46 sgk toán 7 - tập 2. Cho hai đa thức: $P(x) = 3x^2 - 5 + x^4 - 3x^3 - x^6 - 2x^2 - x^3$; $Q(x) = x^3 + 2x^5 - x^4 + x^2 - 2x^3 + x - 1$. a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến. b) Tính $P(x) + Q(x)$ và $P(x) - Q(x)$. Hướng dẫn giải: a) Sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức theo lũy thừa tăng của biến. Thu gọn: $P(x) = 3x^2 - 5 + x^4 - 3x^3 - x^6 - 2x^2 - x^3$ $= x^2 - 5 + x^4 - 4x^3 - x^6 $ Sắp xếp: $P(x) = -5 + x^2 - 4x^3 + x^4 - x^6$ Thu gọn: $Q(x) = x^3 + 2x^5 - x^4 + x^2 - 2x^3 + x - 1= -x^3 +2x^5 - x^4 + x^2 + x - 1$ Sắp xếp: $Q(x) = -1 + x + x^2 - x^3 - x^4 + 2x^5$ b) Ta có: Bài 52 trang 46 sgk toán 7 - tập 2. Tính giá trị của đa thức $P(x) = x^2 - 2x - 8$ tại: $x = -1; x = 0$ và $x = 4$. Hướng dẫn giải: Ta có $P(x) = x^2 - 2x - 8$ $P(-1) = (-1)^2 - 2 (-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$. $P(0) = 0^2 - 2.0 - 8 = -8$. $P(4) = 4^2 - 2.4 - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$. Bài 53 trang 46 sgk toán 7 - tập 2. Cho các đa thức: $P(x) = x^5 - 2x^4 + x^2 - x + 1$ $Q(x) = 6 -2x + 3x^3 + x^4 - 3x^5$. Tính $P(x) - Q(x)$ và $Q(x) - P(x)$. Có nhận xét gì về các hệ số của hai đa thức tìm được ? Hướng dẫn giải: Nhận xét: Các hệ số tương ứng của hai đa thức tìm được đối nhau. Chú ý: Ta gọi 2 đa thức có các hệ số tương ứng đối nhau là đa thức đối nhau.