Tóm tắt lý thuyết Kiến thức cần nhớ: Mỗi đa thức được coi là một phân thức có mẫu bằng 1. Mỗi số thực bất kì cũng là một phân thức. 0 là một phân thức (thường được gọi là phân thức tầm thường). Một phân thức bằng không khi và chỉ khi tử thức bằng không và mẫu thức khác không. Hai phân thức \(\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}\) và \(\frac{{\rm{C}}}{{\rm{D}}}\) gọi là bằng nhau nếu A.D=B.C. Ta viết: \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) nếu \(A.D = B.C\) Bài tập minh họa Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng: a.\(\frac{4}{{5y}} = \frac{8}{{10y}}\) b.\(\frac{{3x}}{5} = \frac{{9{x^2}y}}{{15xy}}\) Hướng dẫn: a. \(\begin{array}{l} \frac{4}{{5y}} = \frac{8}{{10y}}\\ 4.10y = 8.5y\\ 40y = 40y \end{array}\) b. \(\begin{array}{l} \frac{{3x}}{5} = \frac{{9{x^2}y}}{{15xy}}\\ 3x.15xy = 5.9{x^2}y\\ 45{x^2}y = 45{x^2}y \end{array}\) Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng: a.\(\frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\) b.\(\frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} + 6x + 9}} = x - 3\) Hướng dẫn: a. \(\begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\\ \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) \end{array}\) b. \(\begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} + 6x + 9}} = x - 3\\ {x^3} - 27 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\\ {x^3} - 27 = {x^3} - 27 \end{array}\) Bài 3: Với những giá trị nào của x thì hai phân thức bằng nhau: \(\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x + 6}}\) và \(\frac{1}{{x - 3}}\) Hướng dẫn: \(\begin{array}{l} \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{1}{{x - 3}}\\ \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = {x^2} - 5x + 6\\ {x^2} - 2x - 3x + 6 = {x^2} - 5x + 6\\ {x^2} - 5x + 6 = {x^2} - 5x + 6 \end{array}\) Đến đây học sinh rất dễ nhầm lẫn rằng 2 phân thức trên bằng nhâu với mọi x, tuy nhiên chũng ta cần lưu ý là ở giá trị x=2 và x=3 thì xuất hiện phân thức có mẫu số là 0 tức là phân thức không xác định. Vậy kết quả bài toán này là 2 phân thức trên bằng nhau với mọi x ngoại trừ 2 và 3. Hay viết dưới dạng tập hợp là \(x = R\backslash \left\{ {2;3} \right\}\) thỏa đề bài.
