Tóm tắt lý thuyết 1. Hai quy tắc biến đổi phương trình Với các đẳng thức, ta có thể biến đổi: \(a + b = c \Leftrightarrow a + b - c = 0 \to \) Chuyển vế và đổi dấu \(2a + 4b = - 2 \Leftrightarrow 1 + 2b = - 1 \to \) Chia cả hai vế cho 2 Và với các phương trình chúng ta cũng có được những quy tắc như vậy, cụ thể: 1. Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạn tử đó. 2. Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ 1: Sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình để giải các phương trình sau: a. \({x^2} + x = {x^2}\) b. \(2x = 1\) c. \(3x = x + 8\) Giải a. Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng: \({x^2} + x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 b. Sử dụng quy tắc chia với một số, biến đổi phương trình về dạng: \(x = \frac{1}{2}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\) c. Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi phương trình về dạng: \(3x - x = 8 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\) Vậy phương trình có nghiệm x = 4 Nhận xét: Trong lời giải các phương trình trên, chúng ta đã thừa nhận rằng kết quả “ Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho”. 2. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn Định nghĩa: Phương trình ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và \(a \ne 0\). Được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 2: Tìm điều kiện tham số m để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn: a. \(({m^2} - 1){x^2} + mx + 1 = 0\) b. \(mx + (m - 1)y + 2 = 0\) Giải a. Để phương trình: \(({m^2} - 1){x^2} + mx + 1 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 1\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 1.\) Vậy với m = 1 hoặc m = -1 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x. b. Để phương trình: \(mx + (m - 1)y + 2 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\) Trường hợp 2: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\) Kết luận: * Với m = 1 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x. * Với m = 0 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn y. Phương trình bậc nhất một ẩn được giải như sau: \({\rm{ax}} + b = 0 \Leftrightarrow {\rm{ax = - b}} \Leftrightarrow {\rm{x = - }}\frac{b}{a}\) Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có nghiệm duy nhất \(x = - \frac{b}{a}\). Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a. 5x – 3 = 0 b. 6 – 2x = 0 Giải a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng: \(5x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{5}\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{3}{5}\) b. Biến đổi tương đương phương trình về dạng: \( - 2x = - 6 \Leftrightarrow x = 3\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài tập minh họa Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau là phương trình nhất một ẩn: a. \(({m^2} - 4){x^2} + (m - 2)x + 3 = 0\) b. \((m - 1)x + ({m^2} - 1)y + 4 = 0\) Giải a. Để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\) Vậy với m = -2 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x. b. Để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\{m^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\) Trường hợp 2: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\{m^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne \pm 1\end{array} \right.,\,\) vô nghiệm Vậy với m = -1 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x. Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 7x + 21 = 0 b. 8 – 6x = 0 Giải a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng: \(7x = - 2x \Leftrightarrow x = - 3\) Vậy phương trình có nghiệm có duy nhất x = -3 b. Biến đổi tương đương phương trình về dạng: \( - 6x = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{4}{3}\) Bài 3: Cho phương trình: \(({m^2} - 1)x + 1 = m.\) Giải phương trình trong mỗi trường hợp sau: a. m = 1 b. m =-1 c. m = 0 Giải a. Với m = 1, phương trình có dạng: 0.x + 1 =1 \( \Leftrightarrow \) 1 = 1, luôn đúng với mọi x. Vậy với m = 1 phương trình nhận mọi x làm nghiệm. b. Với m = -1, phương trình có dạng: 0. x + 1 = -1 \( \Leftrightarrow \) 1 = -1, mâu thuẫn. Vậy với m = -1 phương trình vô nghiệm. c. Với m = 0, phương trình có dạng: -x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) -x = -1 \( \Leftrightarrow \)x = 1 Vậy với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
