Tóm tắt lý thuyết 1. Kiến thức cơ bản Ta sử dụng, kết quả: \(A(x).B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\end{array} \right.\) Với phương trình \(A(x).B(x)....M(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = 0\\B(x) = 0\\......\\M(x) = 0\end{array} \right.\) Lấy các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a. (x – 1) (3 – 2x) = 0 b. (5x – 3)(4x + 1)(x – 8)(x + 3) = 0 Giải a. Phương trình tương đương với: \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\) Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \(x = 1,x = \frac{3}{2}\) b. Phương trình tương đương với: \(\left[ \begin{array}{l}5x - 3 = 0\\4x + 1 = 0\\x - 8 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\x = - \frac{1}{4}\\x = 8\\x = - 3\end{array} \right.\) Vậy phương trình có 4 nghiệm \(x = \frac{3}{5},x = - \frac{1}{4}\,,x = 8,x = - 3\) Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a. \(2x(x + 1) = {x^2} - 1\) b. \(3{x^3} = {x^2} + 3x - 1\) Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng: 2x(x+1) =(x-1) (x+1) \( \Leftrightarrow \) 2x (x+1) – (x – 1)(x + 1) = 0 \( \Leftrightarrow \)(x + 1)(2x – x + 1) = 0 \( \Leftrightarrow \)(x + 1)(x+1) = 0 \( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = -1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1 Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng: \(2{x^2} + 2x - {x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \) x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \) x = -1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 1 b. Biến đổi phương trình về dạng: \(3{x^3} - {x^2} - 3x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}(3x - 1) - (3x - 1) = 0\) \( \Leftrightarrow (3x - 1)({x^2} - 1) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 1 = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = \pm 1\end{array} \right.\) Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt là \(x = - 1,x = 1,x = \frac{1}{3}\) Ví dụ 3: Cho phương trình \((x + 1 - 3m)(3x - 5 + 2m) = 0\) a. Tìm các giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = 1. b. Với mỗi m vừa tìm được ở câu a, hãy giải phương trình đã cho. Giải a. Để phương trình nhận x = 1 làm một nghiệm điều kiện là: (1+1 – 3m)(3.1 – 5 + 2m) = 0 \( \Leftrightarrow (2 - 3m)( - 2 + 2m) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3m = 0\\ - 2 + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = 1\end{array} \right.\) Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) hoặc m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Ta lần lượt thực hiện: * Với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có dạng: \((x + 1 - 3.\frac{2}{3})(3x - 5 + 2.\frac{2}{3}) = 0\) \( \Leftrightarrow (x - 1)(3x - \frac{{11}}{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x - \frac{{11}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.\) Vậy với \(m = \frac{2}{3}\) phương trình có các nghiệm \(x = 1,x = \frac{{11}}{9}\) * Với m = 1 phương trình có dạng: (x + 1 – 3.1)(3x – 5 + 2.1) = 0 \( \Leftrightarrow (x - 2)(3x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\) Vậy với m = 1 phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1. Bài tập minh họa Bài 1: Cho phương trình \(2{x^3} + \,ax\, + 3 = 0\) a. Biết rằng x = -1 là một nghiệm của phương trình (1), hãy xác định a. b. Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình. Giải a. Vì x = -1 là một nghiệm của phương trình (1) nên ta được: \(2{( - 1)^3} + a( - 1) + 3 = 0 \Leftrightarrow - 2 - a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 1\) Vậy với a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = -1. b. Với a = 1 phương trình (1) có dạng: \(2{x^3} + x + 3 = 0\) (2) Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức \(2{x^3} + x + 3\) thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện phép phân tích: \(2{x^3} + x + 3 = 2{x^3} + 2 + x + 1\) \( = 2({x^3} + 1) + (x + 1)\) \( = 2(x + 1)({x^2} - x + 1) + (x + 1)\) \( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 2 + 1)\) \( = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\) Cách 2: Vì x = -1 là nghiệm của phương trình nên đa thức \(2{x^3} + x + 3\) sẽ chia hết cho x + 1 (thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + x + 3\) ra nháp), từ đó ta được: \(2{x^3} + x + 3\, = (x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)\) Khi đó, phương trình có dạng: \((x + 1)(2{x^2} - 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) Giải (1), ta được x = -1 Giải (2), ta có nhận xét: \(2{x^3} - 2x + 3\, = 2({x^2} - x + 1) > 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 Bài 2: Giải phương trình \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = 0.\) Biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1. Giải Thực hiện phép chia đa thức \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2\) cho x – 1, ta được: \(2{x^3} + {x^2} - 5x + 2 = (x - 1)(2{x^2} + 3x - 2) = (x - 1)(2{x^2} + 4x - x - 2)\) \( = (x - 1){\rm{[}}2x(x + 2) - (x + 2){\rm{]}} = (x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\) Khi đó, phương trình có dạng: \((x - 1)(2x - 1)(x + 2) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\\x = - 2\end{array} \right.\) Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt \(x = 1,x = \frac{1}{2},x = - 2\) Bài 3: Giải các phương trình a. \({x^2} - 9x + 20 = 0\) b. \({x^3} - 4{x^2} + 5x = 0\) Giải a. Biến đổi: \({x^2} - 9x + 20 = {x^2} - 4x - 5x + 20 = x(x - 4) - 5(x - 4) = (x - 4)(x - 5)\) Khi đó, phương trình có dạng: \((x - 4)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 5\end{array} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5 b. Biến đổi: \({x^3} - 4{x^2} + 5x = x({x^2} - 4x + 5) = x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1]\) Khi đó phương trình có dạng: \(x{\rm{[}}{(x - 2)^2} + 1] = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .
