Tóm tắt lý thuyết 1. Đặt vấn đề Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\) Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý: 1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\) Vậy phương trình có nghiệm x = 1 2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\) \( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn. Vậy phương trình vô nghiệm. ⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình. 2. Tìm điều kiện xác định của phương trình Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\) điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\) Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1.\) Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\) \( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\) Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\) 3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 1\) Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\) \( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 0. Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\) Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\) \( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\) \( \Leftrightarrow - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\) \( \Leftrightarrow - 2x = - 10\) \( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 5. Bài tập minh họa Bài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\) Giải Viết lại phương trình dưới dạng: \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\) Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x(x - 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} - 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 5\end{array} \right.\) Biến đổi phương trình về dạng: \(2{(x + 5)^2} - {(x - 5)^2} = x(x + 25)\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 - {x^2} + 10x - 25 = {x^2} + 25x\) \( \Leftrightarrow 5x = - 25 \Leftrightarrow x = - 5\) không thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 \ne 0\\7 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\) Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu: \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = - \frac{1}{{x - 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} = - \frac{1}{{x - 7}} + \frac{{8(x - 7)}}{{x - 7}}\) \( \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8(x - 1) \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8x - 56\) \( \Leftrightarrow x - 8x = - 1 - 56 + 8 \Leftrightarrow - 7x = - 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn. Vậy phương trình vô nghiệm. Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ: \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} + \frac{1}{{x - 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8 + 1}}{{x - 7}} = 8\) \( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn. Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 3x + \frac{3}{{x - 2}}\) Giải Điều kiện xác định của phương trình là: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\) Biến đổi phương trình về dạng: \({x^2} - 3x + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 2}} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 1 - 3}}{{x - 2}} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 4}}{{x - 2}} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) * x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.