Đại số 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu - Luyện tập

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết
    1. Đặt vấn đề
    Chúng ta sẽ bắt đầu với việc giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x\)

    Ta sẽ trình bày theo hai cách để chỉ ra điều cần chú ý:

    1. Với cách giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow x = 1\)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1

    2. Với các giải: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = x \Leftrightarrow \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = x\)

    \( \Leftrightarrow x + 1 = x \Leftrightarrow 1 = 0\) mâu thuẫn.

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    ⇒ Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

    2. Tìm điều kiện xác định của phương trình
    Đối với các phương trình dạng: \(\frac{{{A_1}(x)}}{{{B_1}(x)}} + \frac{{{A_2}(x)}}{{{B_2}(x)}} + ... + \frac{{{A_n}(x)}}{{{B_n}(x)}} = 0\)

    điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}{B_1}(x) \ne 0\\{B_2}(x) \ne 0\\.........\\{B_n}(x) \ne 0\end{array} \right.\)

    Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định cho phương trình sau: \(\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 5x + 4}} = 2.\)

    Giải

    Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - 5x + 4 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

    Giải (1), ta được: \({x^2} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1.\)

    Giải (2): \({x^2} - 5x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x(x - 1) - 4(x - 1) \ne 0\)

    \( \Leftrightarrow (x - 1)(x - 4) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

    Vậy điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 4\end{array} \right.\)

    3. Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
    Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

    Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

    Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của hai phương trình rồi khử mẫu.

    Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

    Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

    Ví dụ 2: Giải phương trình \(\frac{x}{{x - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\)

    Giải

    Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 1\)

    Biến đổi phương trình về dạng: \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{2x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)

    \( \Leftrightarrow x(x + 1) - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

    x = 1 loại vì không thoả mãn điều kiện

    Vậy phương trình có một nghiệm x = 0.

    Ví dụ 3: Giải phương trình \(\frac{{x - 5}}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 3}} = 1\)

    Giải

    Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\)

    Biến đổi phương trình về dạng:

    \(\frac{{(x - 5)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} + \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{(x - 1)(x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}\)

    \( \Leftrightarrow (x - 5)(x - 3) + 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3)\)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\)
    \( \Leftrightarrow - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\)
    \( \Leftrightarrow - 2x = - 10\)
    \( \Leftrightarrow x = 5\) thoả mãn điều kiện

    Vậy phương trình có một nghiệm x = 5.


    Bài tập minh họa
    Bài 1: Giải phương trình \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

    Giải

    Viết lại phương trình dưới dạng:

    \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} - 5x}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} + 10x}} = \frac{{x + 25}}{{2{x^2} - 5x}}\)

    Điều kiện xác định của phương trình là:

    \(\left\{ \begin{array}{l}x(x - 5) \ne 0\\2x(x + 5) \ne 0\\2({x^2} - 25) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 5\end{array} \right.\)

    Biến đổi phương trình về dạng:

    \(2{(x + 5)^2} - {(x - 5)^2} = x(x + 25)\)

    \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x + 50 - {x^2} + 10x - 25 = {x^2} + 25x\)

    \( \Leftrightarrow 5x = - 25 \Leftrightarrow x = - 5\) không thoả mãn điều kiện.

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    Bài 2: Giải phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8\)

    Giải

    Điều kiện xác định của phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 7 \ne 0\\7 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 7\\x \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 7\)

    Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

    Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu:

    \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = - \frac{1}{{x - 7}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} = - \frac{1}{{x - 7}} + \frac{{8(x - 7)}}{{x - 7}}\)

    \( \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8(x - 1) \Leftrightarrow x - 8 = - 1 + 8x - 56\)

    \( \Leftrightarrow x - 8x = - 1 - 56 + 8 \Leftrightarrow - 7x = - 49 \Leftrightarrow x = 7\) không thoả mãn.

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ:

    \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = \frac{1}{{7 - x}} + 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8}}{{x - 7}} + \frac{1}{{x - 7}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{x - 8 + 1}}{{x - 7}} = 8\)

    \( \Leftrightarrow 1 = 8\), mẫu thuẫn.

    Vậy phương trình vô nghiệm.

    Bài 3: Giải phương trình \({x^2} + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = 3x + \frac{3}{{x - 2}}\)

    Giải

    Điều kiện xác định của phương trình là: \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

    Biến đổi phương trình về dạng:

    \({x^2} - 3x + \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 2}} = 0\)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 1 - 3}}{{x - 2}} = 0\)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + \frac{{2x - 4}}{{x - 2}} = 0\)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

    \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2x + 2 = 0\)

    \( \Leftrightarrow x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

    * x = 2 loại vì không thoả mãn điều kiện

    Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.