Đại số 8 Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết
    1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối
    Với số a, ta có: \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,\,neu\,\,\,a \ge 0\\ - a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

    Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có: \(|f(x)| = \left\{ \begin{array}{l}f(x)\,\,\,neu\,\,f(x)\, \ge 0\\ - f(x)\,\,neu\,\,f(x)\, < \,0\end{array} \right.\)

    Ví dụ 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

    a. \(A = |x - 4| + x - 3\) khi \(x \ge 4.\)

    b. \(B = 2x + 3 - |1 - 2x|\) khi \(x \ge \frac{1}{2}\)

    c. \(C = |x - 2| + |2x - 3| + 2x + 1\) khi x > 2.

    d. \(D = |x - 1| + 2x - 3.\)

    Giải

    a. Với giả thiết \(x \ge 4\), ta suy ra: x – 4 \(x - 4 \ge 0 \Rightarrow |x - 4| = x - 4\)

    Do đó, A được viết lại: \(A = x - 4 + x - 3 = 2x - 7.\)

    b. Với giả thiết \(x \ge \frac{1}{2}\), ta suy ra: \(1 - 2x \le 0 \Rightarrow |1 - 2x| = - (1 - 2x)\)

    Do đó, B được viết lại: \(B = 2x + 3 - {\rm{[}} - (1 - 2x){\rm{]}} = 2x + 3 + 1 - 2x = 4\)

    c. Với giả thiết x > 2, ta suy ra: \(x - 2 > 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2\)

    \(2x - 3 > 0 \Rightarrow |2x - 3| = 2x - 3\)

    Do đó, C được viết lại: C = x – 2 + 2x – 3 + 2x +1 = 5x – 4.

    d. Ta đi xét hai trường hợp:

    Trường hợp 1: Khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1,\) ta được: \(D{\rm{ }} = {\rm{ }}x - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}2x - 3 = 3x - 4\)

    Trường hợp 2: Khi \(x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\), ta được: \(D = - (x - 1) + 2x - 3 = x - 2.\)

    Tóm lại: \(D = \left\{ \begin{array}{l}3x - 4\,\,khi\,\,x\, \ge 1\\x - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x\,\, < \,1\end{array} \right.\)

    2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyết đối
    Ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:

    Dạng 1: Phương trình: |f(x)| =k, với k là hằng số không âm.

    Dạng 2: Phương trình: |f(x)| = |g(x)|

    Dạng 3: Phương trình: |f(x)| = g(x)

    Bài toán 1: Giải phương trình: |f(x)=k, với k là hằng số không âm.

    Phương pháp giải

    Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)

    Bước 2: Khi đó: \(\left| {f(x)} \right| = k \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}f(x) = k\\f(x) = - k\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

    Bước 3: Kiểm tra điều kiện , từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

    Ví dụ 2: Giải phương trình

    a. \(|2x - 3| = 1\)

    b. \(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| - 2 = 0\)

    Giải

    a. Biến đổi tương đương phương trình: \(|2x - 3| = 1\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3 = 1\\2x - 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1 + 3\\2x = - 1 + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1

    b. Điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ne 0\)

    Biến đổi tương đương phương trình:

    \(\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{x} = 2\\\frac{{x + 1}}{x} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2x\\x + 1 = - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2x = - 1\\x + 2x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và \(x = - \frac{1}{3}.\)

    Bài toán 2: Giải phương trình |f(x)| = |g(x)|

    Phương pháp giải

    Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

    Bước 2: Khi đó \(|f(x)| = |g(x)| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) = - g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

    Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

    Ví dụ 3: Giải phương trình

    a. |2x + 3| = |x – 3|

    b. \(\left| {\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}} \right| - |x| = 0\)

    Giải

    a. Biến đổi tương đương phương trình: |2x + 3| = |x – 3|

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = x - 3\\2x + 3 = - (x - 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - x = - 3 - 3\\2x + x = 3 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 0\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.

    b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\)

    Biến đổi tương đương phương trình

    \(\left| {\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}}} \right| = |x| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = x\\\frac{{{x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = - x\end{array} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2 = x(x + 1)\\{x^2} - x + 2 = - x(x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 2\\2{x^2} = - 2\,\,(VN)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

    Bài toán 3: Giải phương trình |f(x)|=g(x).

    Phương pháp giải

    Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

    Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực hiện theo các bước:

    Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).

    Bước 2: Xét hai trường hợp:

    ** Trường hợp 1: Nếu \(f(x) \ge 0.\) (1)

    Phương trình có dạng: \(f(x) = g(x) \Rightarrow \) nghiệm và kiểm tra điều kiện (1).

    ** Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0. (2)

    Phương trình có dạng: -f(x) = g(x)

    \( \Rightarrow \) nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)

    Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.

    Cách 2: Thực hiện theo các bước:

    Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và \(g(x) \ge 0.\)

    Bước 2: Khi đó \(|f(x)| = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) = - g(x)\end{array} \right. \Rightarrow \) nghiệm x.

    Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

    Ví dụ 4: Giải phương trình: |x + 4| + 3x = 5.

    Giải

    Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

    Cách 1: Xét hai trường hợp:

    Trường hợp 1: Nếu \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 4\) (1)

    Khi đó, phương trình có dạng:

    \(x + 4 + 3x = 5 \Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4},\) thoả mãn điều kiện (1)

    Trường hợp 2: Nếu \(x + 4 < 0 \Leftrightarrow x < - 4\) (2)

    Khi đó, phương trình có dạng:

    \( - (x + 4) + 3x = 5 \Leftrightarrow 2x = 9\)

    \( \Leftrightarrow x = \frac{9}{2},\) không thoả mãn điều kiện (2)

    Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)

    Cách 2: Viết lại phương trình dạng: |x + 4| = 5 – 3x

    Với điều kiện: \(5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{3}\) (*)

    Khi đó, phương trình được biến đổi: |x + 4| = 5 – 3x

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 5 - 3x\\x + 4 = - (5 - 3x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = \frac{9}{2}\,\,(khong\,\,thoa\,\,man\,(*))\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\)


    Bài tập minh họa
    Bài 1: Giải phương trình: |2x – 3m| = |x + 6|, với m là tham số.

    Giải

    Biến đổi tương đương phương trình

    \(|2x - 3m|\,\, = \,|x + 6|\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x - 3m = x + 6\\2x - 3m = - (x + 6)\end{array} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x - x = 6 + 3m\\2x + x = - 6 + 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6 + 3m\\x = m - 2\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6 + 3m và x = m – 2.

    Bài 2: Giải phương trình: \(2\left| {x-1} \right| = {x^2} - 2x - 2.\)

    Giải

    Viết lại phương trình dưới dạng:

    \(({x^2} - 2x + 1) - 2|x - 1| - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} - 2|x - 1| - 3 = 0\) (1)

    Đặt t = |x – 1|, điều kiện \(t \ge 0\).

    Khi đó: \((1) \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t - 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t(t + 1) - 3(t + 1) = 0\)

    \( \Leftrightarrow (t + 1)(t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

    Với t = 3, ta được: \(|x - 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 3\\x - 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 4 hoặc x = -2.

    Bài 3: Giải phương trình \(\frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} = 2\) (1)

    Giải

    Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne - 1\)

    Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

    Cách 1: Đặt \(t = \frac{{|x + 1|}}{3},\) điều kiện t > 0.

    Khi đó: \((1) \Leftrightarrow \frac{1}{t} + t = 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

    \( \Leftrightarrow \frac{{|x + 1|}}{3} = 1 \Leftrightarrow |x + 1| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = -4.

    Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta được:

    \(VT = \frac{3}{{|x + 1|}} + \frac{{|x + 1|}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{3}{{|x + 1|}}.\frac{{|x + 1|}}{3}} = 2 = VP\)

    Vậy phương trình tương đương với:

    \(\frac{3}{{|x + 1|}} = \frac{{|x + 1|}}{3} \Leftrightarrow 9 = {(x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\)

    Vậy phương trình có 2 nghệm x = 2 và x = -4.