Đại số 8 - Chương 1 - Những hằng đẳng thức đáng nhớ

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;

    a) $x^2 + 2x + 1$;

    b) $9x^2 + y^2 + 6xy$;

    c) $25a^2 + 4b^2 – 20ab$;

    d) $x^2 – x + \frac{1}{4}$.

    Bài giải:

    a) $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2 . x . 1 + 1^2 $

    $= (x + 1)^2$

    b) $9x^2 + y^2+ 6xy = (3x)^2 + 2 . 3 . x . y + y^2 = (3x + y)^2$

    c) $25a^2 + 4b^2– 20ab = (5a)^2 – 2 . 5a . 2b + (2b)^2 = (5a – 2b)^2$

    Hoặc $25a^2 + 4b^2 – 20ab = (2b)^2 – 2 . 2b . 5a + (5a)^2 = (2b – 5a)^2$

    d) $x^2 – x + \frac{1}{4} = x^2 – 2 . x . \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}= \left ( x - \frac{1}{2} \right )^{2}$

    Hoặc $x^2 – x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - x + x^2 = \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} - 2 . \frac{1}{2} . x + x^2 = \left ( \frac{1}{2} - x\right )^{2}$




    Bài 17 trang 11 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh rằng:

    $(10a + 5)^2 = 100a . (a + 1) + 25$.

    Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số $5$.

    Áp dụng để tính: $252, 352, 652, 752$.

    Bài giải:

    Ta có: $(10a + 5)2 = (10a)^2 + 2 .10a . 5 + 5^2$

    $= 100a^2 + 100a + 25$

    $ = 100a(a + 1) + 25$.

    Cách tính nhaame bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

    Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

    $(10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25$

    Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích $a(a + 1)$ rồi viết $25$ vào bên phải.

    Áp dụng;

    - Để tính $252$ ta tính $2(2 + 1) = 6$ rồi viết tiếp $25$ vào bên phải ta được $625$.

    - Để tính $352$ ta tính $3(3 + 1) = 12$ rồi viết tiếp $25$ vào bên phải ta được $1225$.

    - $65^2 = 4225$

    - $75^2 = 5625$.




    Bài 18 trang 11 sgk toán 8 tập 1. Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

    a) $x^2 + 6xy + … = (… + 3y)^2$;

    b) $ ... – 10xy + 25y^2 = (… - …)^2$;

    Hãy nêu một số đề bài tương tự.

    Bài giải:

    a) $x^2 + 2 . x . 3y + … = (…+3y)^2$

    $x^2 + 2 . x . 3y + (3y)^2 = (x + 3y)^2$

    Vậy: $x^2 + 6xy +9y^2 = (x + 3y)^2$

    b) $…-2 . x . 5y + (5y)^2 = (… - …)^2$;

    $x^2 – 2 . x . 5y + (5y)^2 = (x – 5y)^2$

    Vậy: $x^2 – 10xy + 25y^2 = (x – 5y)^2$

    Đề bài tương tự: Chẳng hạn:

    $4x + 4xy + … = (… + y^2)$

    $… - 8xy + y^2 = (… - …)^2$




    Bài 19 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Đố: Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

    Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng $a + b$, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng $a - b$ (cho $a > b$). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không ?

    Bài giải:
    Diện tích của miếng tôn là $(a + b)^2$

    Diện tích của miếng tôn phải cắt là $(a – b)^2$.

    Phần diện tích còn lại là $(a + b)^2 - (a – b)^2$.

    Ta có: $(a + b)^2 - (a – b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 – (a^2 – 2ab + b^2)$

    $= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

    $= 4ab$

    Vậy phần diện tích hình còn lại là $4ab$ và không phụ thuộc vào vị trí cắt.




    Bài 20 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

    $x^2 + 2xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$

    Bài giải:

    Nhận xét sự đúng, sai:

    Ta có: $(x + 2y)^2 = x^2 + 2 . x . 2y + 4y^2$

    $= x^2 + 4xy + 4y^2$

    Nên kết quả $x^2 + 2xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$ sai.




    Bài 21 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

    a) $9x^2 – 6x + 1$;

    b) $(2x + 3y)^2 + 2 . (2x + 3y) + 1$

    Hãy nêu một đề bài tương tự.

    Bài giải:

    a) $9x^2 – 6x + 1 = (3x)^2 – 2 . 3x . 1 + 1^2 = (3x – 1)^2$

    Hoặc $9x^2 – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x^2 = (1 – 3x)^2 $

    b) $(2x + 3y) = (2x + 3y)^2 + 2 . (2x + 3y) . 1 + 1^2$

    $= [(2x + 3y) + 1]^2$

    $= (2x + 3y + 1)^2$

    Đề bài tương tự. Chẳng hạn:

    $1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)^2$

    $4x^2 – 12x + 9…$




    Bài 22 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Tính nhanh:

    a) $101^2$;
    b) $199^2$;
    c) $47.53$.

    Bài giải:

    a) $101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 . 100 + 1 = 10201$

    b) $199^2= (200 – 1)^2 = 200^2 – 2 . 200 + 1 = 39601$

    c) $47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50^2 – 3^2 = 2500 – 9 = 2491$.




    Bài 23 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh rằng:

    $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab$;

    $(a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab$.

    Áp dụng:

    a) Tính $(a – b)^2$ , biết $a + b = 7$ và $a . b = 12$.

    b) Tính $(a + b)^2$, biết $a - b = 20$ và $a . b = 3$.

    Bài giải:

    a) $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab$

    - Biến đổi vế trái:

    $(a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2 = a^2 – 2ab + b^2 + 4ab$

    $= (a – b)^2 + 4ab$

    Vậy $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab$

    - Hoặc biến đổi vế phải:

    $(a – b)^2 + 4ab = a^2 – 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2$

    $ = (a + b)^2$

    Vậy $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab$

    b) $(a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab$

    Biến đổi vế phải:

    $(a + b)^2 – 4ab = a^2 +2ab + b^2 – 4ab$

    $= a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2$

    Vậy $(a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab$

    Áp dụng: Tính:

    a) $(a – b)^2 = (a + b)^2 – 4ab = 72 – 4 . 12 = 49 – 48 = 1$

    b) $(a + b)^2 = (a – b)^2 + 4ab = 202 + 4 . 3 = 400 + 12 = 412$




    Bài 24 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Tính giá trị của biểu thức $49x^2 – 70x + 25$ trong mỗi trường hợp sau:

    a) $x = 5$;

    b) $x = \frac{1}{7}$.

    Bài giải:

    $49x^2 – 70x + 25 = (7x)^2 – 2 . 7x . 5 + 52 = (7x – 5)^2$

    a) Với $x = 5$: $(7 . 5 – 5)^2 = (35 – 5)^2 = 302 = 90^0$

    b) Với $x = \frac{1}{7} : (7 . \frac{1}{7} – 5)^2 = (1 – 5)^2 = (-4)^2 = 16$





    Bài 25 trang 12 sgk toán 8 tập 1. Tính:

    a) $(a + b + c)^2$;

    b) $(a + b – c)^2$;

    c) $(a – b – c)^2$

    Bài giải:

    a) $(a + b + c)^2 = [(a + b) + c]^2 = (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$

    $ = a^2+ 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$

    $ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.$

    b) $(a + b – c)^2 = [(a + b) – c]^2 = (a + b)^2 - 2(a + b)c + c^2$

    $= a^2 + 2ab + b^2 - 2ac - 2bc + c^2$

    $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$.

    c) $(a – b –c)^2 = [(a – b) – c]^2 = (a – b)^2 – 2(a – b)c + c^2$

    $= a^2 – 2ab + b^2 – 2ac + 2bc + c^2$

    $= a^2 + b^2 + c^2 – 2ab + 2bc – 2ac$.
     
  2. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1. Tính:

    a) $(2x^2 + 3y)^3$;

    b) $(\frac{1}{2}x – 3)^3$

    Bài giải:

    a) $(2x^2 + 3y)^3 = (2x^2)^3 + 3(2x^2)^2 . 3y + 3 . 2x^2 . (3y)^2 + (3y)^3$

    $= 8x^6 + 3 . 4x^4 . 3y + 3 . 2x^2 . 9y^2 + 27y^3$

    $= 8x^6 + 36x^4y + 54x^2y^2 + 27y^3$

    b) $(\frac{1}{2}x – 3)^3 = \left ( \frac{1}{2}x \right )^{3}- 3\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2}. 3 + 3\left ( \frac{1}{2}x \right ). 3^2 - 3^3$

    $= \frac{1}{8}x^3 – 3 . \frac{1}{4}x^2 . 3 + 3 . \frac{1}{2}x . 9 – 27$

    $= \frac{1}{8}x^3 – \frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{2}x - 27$




    Bài 27 trang 14 sgk toán 8 tập 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

    a) $– x^3 + 3x^2 – 3x + 1$;

    b) $8 – 12x + 6x^2 – x3$.

    Bài giải:

    a) $– x^3 + 3x^2– 3x + 1 = 1 – 3 . 12 . x + 3 . 1 . x^2 – x^3$

    $= (1 – x)^3$

    b) $8 – 12x + 6x^2 – x^3 = 2^3 – 3 . 2^2. x + 3 . 2 . x^2 – x^3$

    $= (2 – x)^3$




    Bài 28 trang 14 sgk toán 8 tập 1. Tính giá trị của biểu thức:

    a) $x^3 + 12x^2 + 48x + 64$ tại $x = 6$;

    b) $x^3 – 6x^2 + 12x- 8$ tại $x = 22$.

    Bài giải:

    a) $x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3 . x^2. 4 + 3 . x . 42 + 43$

    $= (x + 4)^3 $

    Với $x = 6$: $(6 + 4)^3 = 103 = 1000$

    b) $x^3 – 6x^2 + 12x- 8 = x^3 – 3 . x^2. 2 + 3 . x . 2^2 - 2^3$
    = (x – 2)3

    Với $x = 22: (22 – 2)3 = 203 = 8000$




    Bài 29 trang 14 sgk toán 8 tập 1. Đố: Đức tính đáng quý.

    Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biều thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người.

    $x^3 – 3x^2 + 3x – 1$ N

    $16 + 8x + x^2$ U

    $3x^2 + 3x + 1 + x^3$ H

    $1 – 2y + y^2$ Â

    [​IMG]


    Bài giải:

    Ta có:

    N: $x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = x^3 – 3 . x^2. 1+ 3 . x .12 – 13 = (x – 1)^3$

    U: $16 + 8x + x^2= 4^2 + 2 . 4 . x + x^2 = (4 + x)^2 = (x + 4)^2$

    H: $3x^2 + 3x + 1 + x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3 = (1 + x)^3$

    Â: $1 – 2y + y^2 = 1^2 - 2 . 1 . y + y^2 = (1 - y)^2 = (y - 1)^2$

    Nên:

    [​IMG]

    Vậy: Đức tính đáng quý là "NHÂN HẬU"

    Chú ý:

    Có thế khai triển các biểu thức $(x – 1)^3 , (x + 1)^3 , (y - 1)^2 , (x + 4)^2$ ... để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng.
     
  3. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪
    Bài 30 trang 16 sgk toán 8 tập 1. Rút gọn các biểu thức sau:

    a) $(x + 3)(x^2 – 3x + 9) – (54 + x^3)$

    b) $(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2) – (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

    Bài giải:

    a) $(x + 3)(x^2 – 3x + 9) – (54 + x^3) = (x + 3)(x^2 – 3x + 32 ) - (54 + x^3)$

    $= x^3 + 33 - (54 + x^3)$

    $= x^3 + 27 - 54 - x^3 = -27$

    b) $(2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2) – (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

    $= (2x + y)[(2x)^2 – 2 . x . y + y^2] – (2x – y)(2x)^2 + 2 . x . y + y^2]$

    $= [(2x)^3 + y^3]- [(2x)^3 - y^3] $

    $= (2x)^3 + y^3- (2x)^3 + y^3= 2y^3$




    Bài 31 trang 16 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh rằng:

    a) $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$

    b) $a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)$

    Áp dụng: Tính $a^3 + b^3$, biết $a . b = 6$ và $a + b = -5$

    Bài giải:

    a) $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$

    Thực hiện vế phải:

    $(a + b)^3 – 3ab(a + b) = a^3 + 3a^2b+ 3ab^2 + b^3 – 3a^2b – 3ab^2 = a^3 + b^3$

    Vậy $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)$

    b) $a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)$

    Thực hiện vế phải:

    $(a – b)^3 + 3ab(a – b) = a^3 - 3a^2b+ 3ab^2 - b^3 + 3a^2b – 3ab^2 = a^3 – b^3$

    Vậy $a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)$

    Áp dụng:

    Với $ab = 6, a + b = -5$, ta được:

    $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b) = (-5)^3 - 3 . 6 . (-5)$

    $ = -5^3 + 3 . 6 . 5 = -125 + 90 = -35.$



    32. Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

    a) $(3x + y)(.... - ...... + .....) = 27x^3 + y^3$

    b) $(2x - .....)(..... + 10x + ......) = 8x^3 - 125$.

    Trả lời:

    a) Ta có: $27x^3 + y^3 = (3x)^3 + y^3= (3x + y)[(3x)^2 – 3x . y + y^2] = (3x + y)(9x^2 – 3xy + y^2)$

    Nên: $(3x + y) (9x^2 – 3xy + y^2 ) = 27x^3 + y^3$

    b) Ta có: $8x^3 - 125 = (2x)^3 - 5^3= (2x - 5)[(2x)^2 + 2x . 5 + 5^2]$

    $= (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25)$

    Nên: $(2x - 5)(4x^2+ 10x +25 ) = 8x^3 - 125$




    Bài 33 trang 16 sgk toán 8 tập 1. Tính:


    a) $(2 + xy)^2$

    b) $(5 – 3x)^2$

    c) $(5 – x^2)(5 + x^2) $

    d) $(5x – 1)^3$

    e) $(2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)$

    f) $(x + 3)(x^2 – 3x + 9)$

    Bài giải:

    a) $(2 + xy)^2 = 2^2 + 2 . 2 . xy + (xy)^2 = 4 + 4xy + x^2y^2$

    b) $(5 – 3x)^2= 5^2 – 2 . 5 . 3x + (3x)^2 = 25 – 30x + 9x^2$

    c) $(5 – x^2)(5 + x^2) = 5^2 – (x^2)^2 = 25 – x4$

    d) $(5x – 1)^3 = (5x)^3 – 3 . (5x)^2. 1 + 3 . 5x . 1^2 – 1^3 = 125x^3 – 75x^2 + 15x – 1$

    e) $(2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2) = (2x – y)[(2x)^2 + 2x . y + y^2] = (2x)^3 – y^3 = 8x^3 – y^3$

    f) $(x + 3)(x^2 – 3x + 9) = (x + 3)(x^2 – 3x + 3^2) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.




    Bài 34 trang 17 sgk toán 8 tập 1. Rút gọn các biểu thực sau:

    a) $(a + b)^2 – (a – b)^2$;

    b) $(a + b)^3 – (a – b)^3 – 2b^3$

    c) $(x + y + z)^2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)^2$

    Bài giải:

    a) $(a + b)^2 – (a – b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) – (a^2 – 2ab + b^2)$

    $ = a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + 2ab - b^2 = 4ab$

    Hoặc $(a + b)^2 – (a – b)^2 = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]$

    $ = (a + b + a – b)(a + b – a + b)$

    $ = 2a . 2b = 4ab$

    b) $(a + b)^3 – (a – b)^3 – 2b^3$

    $= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3$

    $= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 – a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 – 2b^3= 6a^2b$

    Hoặc $(a + b)^3 – (a – b)^3 – 2b^3 = [(a + b)^3 – (a – b)^3] – 2b^3$

    $= [(a + b) – (a – b)][(a + b)^2 + (a + b)(a – b) + (a – b)^2] – 2b^3$

    $= (a + b – a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 – b^2 + a^2 – 2ab + b^2) – 2b^3$

    $= 2b . (3a^2 + b^2) – 2b^3 = 6a^2b + 2b^3 – 2b^3 = 6a^2b$

    c) $(x + y + z)^2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)^2$

    $= x^2 + y^2 + z^2+ 2xy + 2yz + 2xz – 2(x^2 + xy + yx + y^2 + zx + zy) + x^2 + 2xy + y^2$

    $= 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz + 2xz – 2x^2 – 4xy – 2y^2 – 2xz – 2yz = z^2$




    Bài 35 trang 17 sgk toán 8 tập 1. Tính nhanh:

    a) $34^2 + 66^2 + 68 . 66$;

    b) $74^2 + 24^2 – 48 . 74$.

    Bài giải:

    a) $34^2 + 66^2 + 68 . 66 = 34^2 + 2 . 34 . 66 + 66^2 = (34 + 66)^2 = 100^2 = 10000$.

    b) $74^2 + 24^2 – 48 . 74 = 74^2 - 2 . 74 . 24 + 24^2 = (74 - 24)^2 =50^2 =2500$




    Bài 36 trang 17 sgk toán 8 tập 1. Tính giá trị của biểu thức:

    a) $x^2 + 4x + 4$ tại $x = 98$;

    b) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ tại $x = 99$

    Bài giải:

    a) $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 . x . 2 + 2^2 = (x+ 2)^2$

    Với $x = 98: (98+ 2)^2 =1002 = 10000$

    b) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^3 + 3 . 1 . x^2 + 3 . x .1^2+ 1^3 = (x + 1)^3$

    Với $x = 99: (99+ 1)^3 = 1003 = 1000000$




    Bài 37 trang 17 sgk toán 8 tập 1. Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu)

    [​IMG]

    Bài giải:

    [​IMG]




    Bài 38 trang 17 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

    a) $(a – b)^3 = -(b – a)^3$;

    b) $(- a – b)^2 = (a + b)^2$

    Bài giải:

    a) $(a – b)^3 = -(b – a)^3$

    Biến đổi vế phải thành vế trái:

    $-(b – a)^3= -(b^3 – 3b^2a + 3ba^2 – a^3) = - b^3 + 3b^2a - 3ba^2 + a^3$

    $= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 = (a – b)^3$

    Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

    $(a – b)^3 = [(-1)(b – a)]^3 = (-1)^3(b – a)^3 = -1^3 . (b – a)^3 = - (b – a)^3$

    b) $(- a – b)^2 = (a + b)^2$

    Biến đổi vế trái thành vế phải:

    $(- a – b)^2 = [(-a) + (-b)]^2$

    $= (-a)^2 +2 . (-a) . (-b) + (-b)^2$

    $= a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

    Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

    $(-a – b)^2 = [(-1) . (a + b)]^2 = (-1)^2 . (a + b)^2 = 1 . (a + b)^2 = (a + b)^2$