Tóm tắt lý thuyết 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai Với \(a\geq 0;b\geq 0\), liệu \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\) ? Một cách tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà \(B\geq 0\), ta có \(\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}\), tức là: Nếu \(A\geq 0; B\geq 0\Rightarrow \sqrt{A^2B}=A\sqrt{B}\) Nếu \(A<0; B\geq 0\Rightarrow \sqrt{A^2B}=-A\sqrt{B}\) 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là đưa thừa số vào trong dấu căn. Một cách tổng quát: Với \(A\geq 0;B\geq 0\Rightarrow A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}\) Với \(A<0;B\geq 0\Rightarrow A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}\) 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc hai Khi biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai, người ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn. Một cách tổng quát: Với \(A\geq 0;B\neq 0\Rightarrow \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{|B|}\) 4. Trục căn thức bậc hai ở mẫu Một cách tổng quát: Với các biểu thức A, B mà \(B>0\), ta có: \(\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{a\sqrt{B}}{B}\) Với các biểu thức A, B, C mà \(A\geq 0, A\neq B^2\), ta có \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\pm B)}{A-B^2}\) Với các biểu thức A, B, C mà \(A,B\geq 0;A\neq B\), ta có \(\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\pm \sqrt{B})}{A-B}\) Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Viết các số sau dưới dạng tích rồi đưa ra ngoài dấu căn: \(\sqrt{54}\) ; \(0,1\sqrt{20000}\) Hướng dẫn giải: \(\sqrt{54}=\sqrt{9.6}=\sqrt{3^2.6}=3\sqrt{6}\) \(0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{2.10^4}=100.0,1\sqrt{2}=10\sqrt{2}\) Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn: \(6\sqrt{3}\) ; \(-\frac{1}{6}\sqrt{ab}; (ab\geq 0)\) Hướng dẫn giải: \(6\sqrt{3}=\sqrt{6^2.3}=\sqrt{108}\) \(-\frac{1}{6}\sqrt{ab}=-\sqrt{\frac{1^2}{6^2}ab}=-\sqrt{\frac{ab}{36}}\) Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều có nghĩa) \(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\) ; \(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\) Hướng dẫn giải: \(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) \(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}\) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với x không âm: \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\) Hướng dẫn giải: \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+6\sqrt{3^2.2x}+28=3\sqrt{2x}-10\sqrt{2x}+21\sqrt{2x}+28=28(\sqrt{2x}+1)\) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}\) với x, y không âm. Hướng dẫn giải: \(\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\) \(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{x}+\sqrt{y})=(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})\)
