Bài 17 trang 14 sgk Toán 9 - tập 1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính: a) \( \sqrt{0,09.64}\); b) \( \sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}\); c) \( \sqrt{12,1.360}\); d) \( \sqrt{2^{3}.3^{4}}\). Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{0,09.64}=\sqrt{(0,3)^2.8^2}\) \(=\sqrt{(0,3)^2}.\sqrt{8^2}=0,3.8=2,4\) b) \(\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=\sqrt{4^2}.\sqrt{(-7)^2}=4.7=28\) c) \(\sqrt{12,1.360}=\sqrt{121.36}\) \(=\sqrt{11^2.6^2}=\sqrt{11^2}.\sqrt{6^2}=11.6=66\) d) \(\sqrt{2^{3}.3^{4}}=\sqrt{2.2^2.(3^2)^2}\) \(=\sqrt{2}.\sqrt{2^2}.\sqrt{9^2}=\sqrt{2}.9.2=18\sqrt{2}\) Bài 18 trang 14 sgk Toán 9 - tập 1. Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính: a) \(\sqrt{7}.\sqrt{63}\); b) \(\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}\); c) \(\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}\); d) \(\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}\). Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}=\sqrt{7.7.9}=\sqrt{7^2.3^2}=7.3=21\) b) \(\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}\) \(=\sqrt{25.3.16.3}=\sqrt{5^2.3^2.4^2}=5.3.5=60\) c) \(\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}\) \(=\sqrt{0,04.64}=\sqrt{(0,2)^2.8^2}=8.0,2=1,6\) d) \(\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}\) \(=\sqrt{27.5.0,15}=\sqrt{9.3.3.0,25}\) \(=9.0,5=4,5\) Bài 19 trang 15 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \( \sqrt{0,36a^{2}}\) với a <0; b) \( \sqrt{0,36a^{2}}\) với a ≥ 3; c) \( \sqrt{27.48(1 - a)^{2}}\) với a > 1; d) \( \frac{1}{a - b}\).\( \sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}\) với a > b. Hướng dẫn lời giải: a) \( \sqrt{0,36a^{2}}\) = \( \sqrt{0,36a^{2}}\) = 0,6.│a│ Vì a < 0 nên │a│= -a. Do đó \( \sqrt{0,36a^{2}}\) = -0,6a. b) \( \sqrt{a^{4}.(3 - a)^{2}}\) = \( \sqrt{a^{4}}\).\( \sqrt{(3 - a)^{2}}\) = │\( a^{2}\)│.│3 - a│. Vì \( a^{2}\) ≥ 0 nên │b│= \( a^{2}\). Vì a ≥ 3 nên 3 - a ≤ 0, do đó │3 - a│= a - 3. Vậy \( \sqrt{a^{4}.(3 - a)^{2}}\) = \( a^{2}\)(a - 3). c) \( \sqrt{27.48(1 - a)^{2}}\) = \( \sqrt{27.3.16(1 - a)^{2}}\) = \( \sqrt{81.16(1 - a)^{2}}\) = \(\sqrt {81} .\sqrt {16} .\sqrt {{{(1 - a)}^2}} \) \(= 9.4\left| {1 - a} \right| = 36\left| {1 - a} \right|\) Vì a > 1 nên 1 - a < 0. Do đó │1 - a│= a -1. Vậy \( \sqrt{27.48(1 - a)^{2}}\) = 36(a - 1). d) \( \frac{1}{a - b}\) : \( \sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}\) = \( \frac{1}{a - b}\) : (\( \sqrt{a^{4}}.\sqrt{(a - b)^{2}}\) = \( \frac{1}{a - b}\) : (\( a^{2}\).│a - b│) Vì a > b nên a -b > 0, do đó│a - b│= a - b. Vậy \( \frac{1}{a - b}\) : \( \sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}\) = \( \frac{1}{a - b}\) : (\( a^{2}\)(a - b)) = \( \frac{1}{a^{2}.(a - b)^{2}}\). Bài 20 trang 15 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \( \sqrt{\frac{2a}{3}}\).\( \sqrt{\frac{3a}{8}}\) với a ≥ 0; b) \( \sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}\) với a > 0; c) \( \sqrt{5a}.\sqrt{45a}\) - 3a với a ≥ 0; d) \( (3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\). Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{\frac{2a}{3}}.\sqrt{\frac{3a}{8}}=\sqrt{\frac{2a.3a}{3.8}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}\) (vì \(a\geq 0\)) b) \(\sqrt{13a}.\sqrt{\frac{52}{a}}=\sqrt{\frac{13.52a}{a}}=\sqrt{13.13.4}=13.2=26\) (vì \(a>0\)) c) Do \(a\geq 0\) nên bài toán luôn được xác định có nghĩa. \(\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a=\sqrt{5.5.9.a^2}-3a=15a-3a=12a\) d) \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}\) \((3-a)^2-\sqrt{2.18.a^2}=(3-a)^2-6|a|=a^2-6a-|6a|+9\) TH1:\(a\geq 0\Rightarrow |a|=a\Rightarrow\) \((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9\) TH2: \(a<0\Rightarrow |a|=-a\Rightarrow\)\((3 - a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2+9\) Bài 21 trang 15 sgk Toán 9 - tập 1. Khai phương tích 12.30.40 được: (A). 1200; (B). 120; (C). 12; (D). 240 Hãy chọn kết quả đúng. Hướng dẫn giải: \(\sqrt{12.30.40}=\sqrt{3.4.3.4.10.10}=4.3.10=120\) Đáp án đúng là (B). 120 Bài 22 trang 15 sgk Toán 9 - tập 1. Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính: a) \( \sqrt{13^{2}- 12^{2}}\); b) \( \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\); c) \( \sqrt{117^{2} - 108^{2}}\); d) \( \sqrt{313^{2} - 312^{2}}\). Hướng dẫn giải: Câu a: \(\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{(13+12)(13-12)}=\sqrt{25}=5\) Câu b: \(\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{(17+8)(17-8)}=\sqrt{25.9}=5.3=15\) Câu c: \(\sqrt{117^{2} - 108^{2}}\) \(=\sqrt{(117-108)(117+108)}\) \(=\sqrt{9.225}=3.15=45\) Câu d: \(\sqrt{313^{2} - 312^{2}}\) \(=\sqrt{(313-312)(313+312)}\) \(=\sqrt{625}=25\) Bài 23 trang 15 sgk Toán 9 - tập 1. Chứng minh. a) \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1\) b) \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\) là hai số nghịch đảo của nhau. Hướng dẫn giải: Câu a: \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\) Câu b: Ta tìm tích của hai số \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\) Ta có: \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) = \((\sqrt{2006})^2-(\sqrt{2005})^2\) \(=2006-2005=1\) Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau! Bài 24 trang 15 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau: a) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại \(x = - \sqrt 2 \); b) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) tại \(a = - 2;\,\,b = - \sqrt 3 \) Hướng dẫn giải: a) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) =\(\sqrt {4.} \sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}} \) = \(2\left( {1 + 6x + 9{x^2}} \right)\) Tại \(x = - \sqrt 2 \), giá trị của \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) là \(\eqalign{ & 2\left( {1 + 6\left( { - \sqrt 2 } \right) + 9{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} \right) \cr & = 2\left( {1 - 6\sqrt 2 + 9.2} \right) \cr & = 2\left( {19 - 6\sqrt 2 } \right) \approx 21,029 \cr}\) b) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) = \( \sqrt{9a^{2}(b - 2)^{2}}\) \(\eqalign{ & = \sqrt 9 .\sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {b - 2} \right)}^2}} \cr & = 3.\left| a \right|.\left| {b - 2} \right| \cr} \) Tại \(a = -2\) và \(b = - \sqrt 3 \), giá trị của biểu thức \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) là \(\eqalign{ & 3.\left| { - 2} \right|.\left| { - \sqrt 3 - 2} \right| \cr & = 3.2.\left( {\sqrt 3 + 2} \right) \cr & = 6\left( {\sqrt 3 + 2} \right) \approx 22,39 \cr} \) Bài 25 trang 16 sgk Toán 9 - tập 1. Tìm x biết: a) \( \sqrt{16x}\) = 8; b) \( \sqrt{4x} = \sqrt{5}\); c) \( \sqrt{9(x - 1)}\) = 21; d) \( \sqrt{4(1 - x)^{2}}\) - 6 = 0. Hướng dẫn giải: a) Điều kiện: \(x\geq 0\) Khi đó: \(\sqrt{16x}= 8\Leftrightarrow 16x=64\Leftrightarrow x=\frac{64}{16}=4\) b) Điều kiện: \(x\geq 0\) Khi đó: \(\sqrt{4x} = \sqrt{5}\Leftrightarrow 4x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\) c) Điều kiện: \(x\geq 1\) Khi đó: \(\sqrt{9(x - 1)}= 21\) \(\Leftrightarrow 9(x-1) = 441\) \(\Leftrightarrow x-1=\frac{441}{9}=49\) \(\Leftrightarrow x=50\) d) Điều kiện: Vì \( (1 - x)^{2}\) ≥ 0 với mọi giá trị của x nên \( \sqrt{4(1 - x)^{2}}\) có nghĩa với mọi giá trị của x. \( \sqrt{4(1 - x)^{2}}\) - 6 = 0 \( \Leftrightarrow\) √4.\( \sqrt{(1 - x)^{2}}\) - 6 = 0 \( \Leftrightarrow\) 2.│1 - x│= 6 \( \Leftrightarrow\) │1 - x│= 3. Ta có 1 - x ≥ 0 khi x ≤ 1. Do đó: khi x ≤ 1 thì │1 - x│ = 1 - x. khi x > 1 thì │1 - x│ = x -1. Để giải phương trình │1 - x│= 3, ta phải xét hai trường hợp: - Khi x ≤ 1, ta có: 1 - x = 3 \( \Leftrightarrow\) x = -2. Vì -2 < 1 nên x = -2 là một nghiệm của phương trình. - Khi x > 1, ta có: x - 1 = 3 \( \Leftrightarrow\) x = 4. Vì 4 > 1 nên x = 4 là một nghiệm của phương trình. Vậy phương trình có hai nghiệm là x = -2 và x = 4. Bài 26 trang 16 sgk Toán 9 - tập 1. a) So sánh \( \sqrt{25 + 9}\) và \( \sqrt{25} + \sqrt{9}\); b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh \( \sqrt{a + b}\) < √a + √b. Hướng dẫn giải: a) Ta có: \(\sqrt{25 + 9}=\sqrt{34}\) \(\sqrt{25} + \sqrt{9}=5+3=8=\sqrt{64}\) Vậy: \(\sqrt{25 + 9}<\sqrt{25} + \sqrt{9}\) b) Ta có: \( (\sqrt{a + b})^{2} = a + b\) và \( (\sqrt{a + b})^{2}\) = \( \sqrt{a^{2}}+ 2\sqrt a .\sqrt b +\sqrt{b^{2}}\) \( = a + b + 2\sqrt a .\sqrt b \) Vì a > 0, b > 0 nên \(\sqrt a .\sqrt b > 0.\) Do đó \( \sqrt{a + b} < \sqrt a .\sqrt b\) Bài 27 trang 16 sgk Toán 9 - tập 1. So sánh a) 4 và \(2\sqrt{3}\); b) \(-\sqrt{5}\) và -2 Hướng dẫn giải: a) Ta có: \(4=\sqrt{16}\) \(2\sqrt{3}=\sqrt{2^2.3}=\sqrt{12}\) Nên: \(16>12\Leftrightarrow \sqrt{16}>\sqrt{12}\) Vậy: \(4>2\sqrt{3}\) b) Số càng lớn khi biểu thức trong căn càng lớn. Nhưng đối với số âm: số âm càng bé khi giá trị tuyệt đối càng lớn. Ta có: \(2=\sqrt{4}\) \(\Rightarrow \sqrt{5}>\sqrt{4}\Rightarrow -\sqrt{5}<-\sqrt{4}\) Vậy \(-\sqrt{}5 < -2\)
