Bài 28 trang 18 sgk Toán 9 - tập 1. Tính: a) \( \sqrt{\frac{289}{225}}\) b) \( \sqrt{2\frac{14}{25}}\) c) \( \sqrt{\frac{0,25}{9}}\) d) \( \sqrt{\frac{8,1}{1,6}}\) Hướng dẫn giải a) \(\sqrt{\frac{289}{225}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\frac{17}{15}\) b) \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac{8}{5}\) c) \(\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}\) d) \(\sqrt{\frac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{9}{4}\) Bài 29 trang 19 sgk Toán 9 - tập 1. Tính a) \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}\); b) \( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}\); c) \( \frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}\); d) \( \frac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}\). Hướng dẫn giải: Áp dụng quy tắc chia hai căn thức bậc hai. Ta có: a) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\) b) \(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\frac{15}{735}}=\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}\) c) \(\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{12500}{500}}=\sqrt{25}=5\) d) \(\frac{\sqrt{6^{5}}}{\sqrt{2^{3}.3^{5}}}=\sqrt{\frac{6^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\frac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{2^2}=2\) Bài 30 trang 19 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \( \frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}}\) với x > 0, y ≠ 0; b) 2\( y^{2}\).\( \sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}}\) với y < 0; c) 5xy.\( \sqrt{\frac{25x^{2}}{y^{6}}}\) với x < 0, y > 0; d) \( 0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\frac{16}{x^{4}y^{8}}}\) với x ≠ 0, y ≠ 0. Hướng dẫn giải: a) Vì \(x > 0, y \neq 0\) nên \(|x|=x\) \(\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^{2}}{y^{4}}}=\frac{y}{x}.\frac{|x|}{y^2}=\frac{y}{x}.\frac{x}{y^2}=\frac{1}{y}\) b) Vì \(y < 0\) nên \(|y|=-y\) \(2y^2.\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\frac{x^2}{2|y|}=y^2.\frac{x^2}{-y}=-x^2y\) c) Vì \(x < 0, y > 0\) nên \(|x|=-x, |y|=y\) \(5xy.\sqrt{\frac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.\frac{5|x|}{|y|^3}=5xy.\frac{-5x}{y^3}=\frac{-25x^2}{y^2}\) d) \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\frac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2.x^3y^3.\frac{4}{x^2y^4}=\frac{0,8x}{y}\) Bài 31 trang 19 sgk Toán 9 - tập 1. a) So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25} - \sqrt {16}\); b) Chứng minh rằng: với a > b >0 thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \). Hướng dẫn giải: a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3 \cr & \sqrt {25} - \sqrt {16} = 5 - 4 = 1 \cr} \) Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \) b Ta có: \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b\) Mặc khác, a và b là các số dương nên: \(ab>0\Rightarrow 2\sqrt{ab}>0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}<a-b\) Lại có \(a>b>0\) Nên: \(\sqrt{a-2\sqrt{ab}+b}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\) (đpcm) Bài 32 trang 19 sgk Toán 9 - tập 1. Tính a) \( \sqrt{1\frac{9}{16}.5\frac{4}{9}.0,01}\); b) \( \sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}\); c) \( \sqrt{\frac{165^{2}-124^{2}}{164}}\); d) \( \sqrt{\frac{149^{2}-76^{2}}{457^{2}-384^{2}}}\). Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{1\frac{9}{16}.5\frac{4}{9}.0,01}=\sqrt{\frac{25}{16}.\frac{49}{9}}.\sqrt{0,01}\) \(=\frac{5}{4}.\frac{7}{3}.0,1=\frac{3,5}{12}=\frac{7}{24}\) b) \(\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}\) \(=\sqrt{1,44(1,21-0,4)}\) \(=\sqrt{1,44.0,81}\) \(=\sqrt{1,44}.\sqrt{0,81}\) \(=1,2.0,9=1,08\) c) \(\sqrt{\frac{165^{2}-124^{2}}{164}}\) \(=\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}\) \(=\sqrt{\frac{41.289}{41.4}}\) \(=\sqrt{\frac{289}{4}}=\frac{17}{2}\) Câu d: \(\sqrt{\frac{149^{2}-76^{2}}{457^{2}-384^{2}}}\) \(=\sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}\) \(=\sqrt{\frac{73.225}{73.841}}\) \(=\sqrt{\frac{225}{841}}=\frac{15}{29}\) Bài 33 trang 19 sgk Toán 9 - tập 1. Giải phương trình a) \(\sqrt 2 .x - \sqrt {50} = 0\); b) \(\sqrt 3 .x + \sqrt 3 = \sqrt {12} + \sqrt {27}\); c) \(\sqrt 3 .{x^2} - \sqrt {12} = 0\); d) \({{{x^2}} \over {\sqrt 5 }} - \sqrt {20} = 0\) Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{2}.x - \sqrt{50} = 0\) \(\Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{50}\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5\) b) \(\sqrt{3}.x + \sqrt{3} = \sqrt{12} + \sqrt{27}\) \(\Leftrightarrow \sqrt{3}(x+1)=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow x+1=5\Leftrightarrow x=4\) c) \(\sqrt{3}x^2-\sqrt{12}=0\) \(\Leftrightarrow \sqrt{3}x^2=2\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow x^2=2\) \(\Leftrightarrow x=\pm 2\) d) \(\frac{x^{2}}{\sqrt{5}}- \sqrt{20} = 0\) \(\Leftrightarrow \frac{x^2}{\sqrt{5}}=\sqrt{20}\) \(\Leftrightarrow x^2=\sqrt{20.5}=10\) \(\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{10}\) Bài 34 trang 19 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \( ab^{2}.\sqrt{\frac{3}{a^{2}b^{4}}}\) với a < 0, b ≠ 0; b) \( \sqrt{\frac{27(a - 3)^{2}}{48}}\) với a > 3; c) \( \sqrt{\frac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}\) với a ≥ -1,5 và b < 0; d) (a - b).\( \sqrt{\frac{ab}{(a - b)^{2}}}\) với a < b < 0. Hướng dẫn giải: a) Vì \(a < 0, b\neq 0\) nên \(|a|=-a\) \(ab^{2}.\sqrt{\frac{3}{a^{2}b^{4}}}=ab^2.\frac{\sqrt{3}}{|a|b^2}=ab^2.\frac{\sqrt{3}}{-ab^2}=-\sqrt{3}\) b) Vì \(a > 3\) nên \(a-3>0\Rightarrow |a-3|=a-3\) \(\sqrt{\frac{27(a - 3)^{2}}{48}}=\sqrt{\frac{27}{48}}.|a-3|=\frac{3}{4}(a-3)\) c) \(a \geq -1,5\Leftrightarrow a+1,5>0\Leftrightarrow 2a+3>0\) \(\Rightarrow |2a+3|=a+3\) \(b<0\Rightarrow |b|=-b\) \(\sqrt{\frac{9+12a+4a^{2}}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{(2a+3)^2}}{|b|}=\frac{|2a+3|}{-b}=-\frac{2a+3}{b}\) d) Vì \(a < b < 0\) nên \(a-b<0\Rightarrow |a-b|=b-a\) \((a - b).\sqrt{\frac{ab}{(a - b)^{2}}}=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}\) \(=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{b-a}=-\sqrt{ab}\) Bài 35 trang 20 sgk Toán 9 - tập 1. Tìm x, biết: a) \(\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 9\) b) \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 1} = 6\) Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 9 \Rightarrow \left| {x - 3} \right| = 9\) Khi x ≥ 3 thì x – 3 ≥ 0 Do đó |x - 3| = x - 3 Ta phải giải phương trình x - 3 = 9 Suy ra x = 12. Vì 12 > 3 nên x = 12 là một nghiệm. Khi x < 3 thì x - 3 < 0. Do đó | x - 3| = 3 – x Ta phải giải phương trình -x + 3 = 9 Suy ra x = -6 Vì -6 < 3 nên x = -6 là một nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 12 và x = -6. b) \(\eqalign{ & \sqrt {4{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 1} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} = 6 \cr & \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2{\rm{x}} + 1 = 6 \hfill \cr 2{\rm{x}} + 1 = - 6 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2{\rm{x}} = 5 \hfill \cr 2{\rm{x}} = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {5 \over 2} \hfill \cr x = - {7 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x = {5 \over 2};x = - {7 \over 2}\) Bài 36 trang 20 sgk Toán 9 - tập 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? a) \(0,01 = \sqrt {0,0001} \) b) \(- 0,5 = \sqrt { - 0,25} \) c) \(\sqrt {39} < 7\) và \(\sqrt {39} > 6\); d) \(\left( {4 - 13} \right).2{\rm{x}} < \sqrt 3 \left( {4 - \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow 2{\rm{x}} < \sqrt {3} \) Hướng dẫn giải: a) Đúng vì cả hai vế không âm. Bình phương vế trái ta được kết quả bằng vế phải. b) Sai. Số âm không có căn bậc hai. c) Đúng vì \(7 = \sqrt {49} \) nên \(\sqrt {39} < \sqrt {49} \) hay \(\sqrt {39} < 7\) \(6 = \sqrt {36} \) nên \(\sqrt {39} > \sqrt {36} \) hay \(\sqrt {39} > 6\) d) Đúng vì \(\left( {4 - \sqrt {13} } \right)2{\rm{x}} < \sqrt 3 \left( {4 - \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow 2{\rm{x}} < \sqrt 3 \) Bài 37 trang 20 sgk Toán 9 - tập 1. Đố: Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh 1cm, cho bốn điểm M, N, P, Q (h.3). Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác MNPQ. Hướng dẫn giải: Nối các điểm ta có tứ giác MNPQ Tứ giác MNPQ có: - Các cạnh bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 2cm, chiều rộng 1cm. Do đó theo định lí Py-ta-go: \(MN=NP=PQ=QM=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5} (cm)\). - Các đường chéo bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 1cm nên độ dài đường chéo là: \(MP=NQ=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}(cm).\) Từ các kết quả trên suy ra MNPQ là hình vuông. Vậy diện tích tứ giác MNPQ bằng \(MN^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5(cm)\).
