Bài 43 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1. Viết các số hoặc biểu thức dấu căn thành dạng tích rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) \(\sqrt{54};\) b) \(\sqrt{108}\); c) \(0,1\sqrt{20000};\) d) \(-0,05\sqrt{28800};\) e) \(\sqrt{7\cdot 63\cdot a^{2}}.\) Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt{6}.\) b) \(\sqrt{108}=\sqrt{36.3}=6\sqrt{3}.\) c)\(0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{2.10000}=100.0,1\sqrt{2}=10\sqrt{2}\) d) \(-0,05\sqrt{28800}=-0,05.\sqrt{144.100.2}\) \(=-0,05.12.10\sqrt{2}=-6\sqrt{2}\) e)\(\sqrt{7.63.a^{2}}=\sqrt{7.7.3^2a^2}=7.3.|a|=21|a|\) Bài 44 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn: \(3\sqrt{5};\,\,-5\sqrt{2};\,\, -\frac{2}{3}\sqrt{xy}\) với \(xy\geq 0;\,\, x\sqrt{\frac{2}{x}}\) với x > 0. Hướng dẫn giải: Ta có: \(3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}\) \(-5\sqrt{2}=-\sqrt{5^2.2}=-\sqrt{50}\) \(-\frac{2}{3}\sqrt{xy}=-\sqrt{\frac{2^2}{3^2}xy}=-\sqrt{\frac{4xy}{9}}\) \(x\sqrt{\frac{2}{x}}=\sqrt{\frac{2.x^2}{x}}=\sqrt{2x}\) Bài 45 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1. So sánh: a) \(3\sqrt 3 \) và \(\sqrt {12} \) b) 7 và \(3\sqrt 5 \) c) \(\frac{1}{3}\sqrt{51}\) và \(\frac{1}{5}\sqrt{150};\) d) \(\frac{1}{2}\sqrt{6}\) và \(6\sqrt{\frac{1}{2}}\). Hướng dẫn giải: Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh. a) Ta có: \(3\sqrt{3}=\sqrt{3^2.3}=\sqrt{27}>\sqrt{12}\) Vậy: \(3\sqrt{3}>\sqrt{12}\) b) Ta có: \(7=\sqrt{49}\) \(3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}<\sqrt{49}\) Vậy: \(7>3\sqrt{5}\) c) Ta có: \(\frac{1}{3}\sqrt{51}=\sqrt{\frac{51}{3^2}}=\sqrt{\frac{17}{3}}\) \(\frac{1}{5}\sqrt{150}=\sqrt{\frac{150}{5^2}}=\sqrt{6}=\sqrt{\frac{18}{3}}>\sqrt{\frac{17}{3}}\) Vậy: \(\frac{1}{5}\sqrt{150}>\frac{1}{3}\sqrt{51}\) d) Ta có: \(\frac{1}{2}\sqrt{6}=\sqrt{\frac{6}{2^2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\) \(6\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{6^2}{2}}=\sqrt{18}>\sqrt{\frac{3}{2}}\) Vậy: \(\frac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\frac{1}{2}}\) Bài 46 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau với \(x\geq 0\): a) \(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x};\) b) \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28.\) Hướng dẫn giải: a) \(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}\) \(\Leftrightarrow \sqrt{3x}(2-4-3)+27=27-5\sqrt{3x}\) Lưu ý. Các căn số bậc hai là những số thực. Do đó khó làm tính với căn số bậc hai, ta có thể vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép toàn trên số thực. b) Dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để có những căn thức giống nhau là \(\sqrt{2x}\). Ta có: \(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\) \(\Leftrightarrow 3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28\) \(\Leftrightarrow \sqrt{2x}(3-10+21)+28=28+14\sqrt{2x}\) Bài 47 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn: a) \({2 \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over 2}} \) với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y b) \({2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}\left( {1 - 4{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \right)}\) với a > 0,5. Hướng dẫn giải: a) \(\eqalign{ & {2 \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over 2}} \cr & = {2 \over {{x^2} - {y^2}}}\left| {x + y} \right|\sqrt {{3 \over 2}} \cr & {{x + y} \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{2^2}.{3 \over 2}} = {{\sqrt 6 } \over {x - y}} \cr} \) vì x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y nên x + y > 0 b) \(\eqalign{ & {2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}\left( {1 - 4{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \cr & = {2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}{{\left( {1 - 2{\rm{a}}} \right)}^2}} \cr & = {{2\left| a \right|.\left| {1 - 2{\rm{a}}} \right|\sqrt 5 } \over {2{\rm{a}} - 1}} \cr & = {{2.a\left( {2{\rm{a}} - 1} \right)\sqrt 5 } \over {2{\rm{a}} - 1}} = 2\sqrt 5 a \cr} \) Vì a > 0,5 nên a > 0; 1 - 2a < 0 Bài 48 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn \(\sqrt{\frac{1}{600}};\,\,\sqrt{\frac{11}{540}};\,\,\sqrt{\frac{3}{50}};\,\,\sqrt{\frac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.\) Hướng dẫn giải: \(\sqrt{\frac{1}{600}}=\sqrt{\frac{1.6}{6.6.10.10}}=\frac{\sqrt{6}}{60}\) \(\sqrt{\frac{11}{540}}=\sqrt{\frac{11.15}{6.6.15.15}}=\frac{\sqrt{165}}{90}\) \(\sqrt{\frac{3}{50}}=\sqrt{\frac{3.2}{5.5.2.2}}=\frac{\sqrt{6}}{10}\) \(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}}{9}\) Bài 49 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn \(ab\sqrt{\frac{a}{b}};\,\,\, \frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.\) (Giả thiết các biểu thức có nghĩa). Hướng dẫn giải: \(\sqrt{\frac{a}{b}}\) có nghĩa khi \(\frac{a}{b}\geq 0\) và \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.\) Nếu \(a\geq 0, b> 0\) thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}.\) Nếu \(a<0,b<0\) thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}.\) Tương tự như vậy ta có: \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}.\) Nếu \(a>0,b>0\) thì \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}.\) Nếu \(a<0,b<0\) thì \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}.\) Ta có: \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}.\) Điều kiện để căn thức có nghĩa là \(b+1\geq 0\) hay \(b\geq -1.\) Do đó: Nếu b>0 thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }.\) Nếu \(-1\leq b< 0\) thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}.\) Điều kiện để \(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}\) có nghĩa là \(\frac{9a^{3}}{36b}\geq 0\) hay \(\frac{a}{b}\geq 0\) Cách 1. \(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}\cdot ab}}{4\left | b \right |}=\frac{2\left | a \right |\sqrt{ab}}{4b}.\) =\(\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.\) Cách 2. Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương: \(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b}{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2\left | b \right |}=\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.\) Điều kiện để \(\sqrt{\frac{2}{xy}}\) có nghĩa là \(\frac{2}{xy}\geq 0\) hay xy>0. Do đó \(3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{\left | xy \right |}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.\) Bài 50 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa: \(\frac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \frac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \frac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \frac{y+b\cdot \sqrt{y}}{b\cdot \sqrt{y}}.\) Hướng dẫn giải: \(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\) \(\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) \(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{20}}{3.20}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}\) \(\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}+2)}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\) \(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}\) Bài 51 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa: \(\frac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\frac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\frac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\frac{p}{2\sqrt{p}-1}.\) Hướng dẫn giải: \(\frac{3}{\sqrt{3}+1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}\) \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1\) \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}\) \(\frac{b}{3+\sqrt{b}}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{(3-\sqrt{b})(3+\sqrt{b})}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9)\) \(\frac{p}{2\sqrt{p}-1}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}+1)(2\sqrt{p}-1)}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}\) Bài 52 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa: \(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \frac{3}{\sqrt{10}-\sqrt{7}};\,\,\, \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\). Hướng dẫn giải: \(\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5})\) \(\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7})(\sqrt{10}+\sqrt{7})}=\sqrt{10}-\sqrt{7}\) \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}\) \(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\) Bài 53 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) : a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};\) b) \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}};\) c) \(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}};\) d) \(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\) Hướng dẫn giải: a) \(\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\) \(=\sqrt{18}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\) \(=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3\sqrt{6}-6\) b) Nếu \(ab>0\) thì: \(ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{a^2b^2+\frac{a^2b^2}{a^2b^2}}=\sqrt{a^2b^2+1}\) c) \(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{ab}{b^4}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{1}{b^4}.(ab+a)}=\frac{\sqrt{ab+a}}{b^2}\) d) \(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(a+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{ab}\sqrt{a}-\sqrt{ab}\sqrt{b}}{a-b}\) \(=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{a^{2}b}-\sqrt{ab^{2}}}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b}\) \(=\frac{(a-b)\sqrt{a}}{a-b}=\sqrt{a}.\) Nhận xét. Nhận thấy rằng để \(\sqrt{a}\) có nghĩa thì a >0. Do đó \(a=(\sqrt{a})^{2}\). Vì thế có thể phân tích tử thành nhân tử. \(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}.\) Bài 54 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) : \(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}; \,\,\,\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\,\,\, \frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}.\) Hướng dẫn giải: \(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) \(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}\) \(\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sqrt{3}-\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-2}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{6}}{2}\) \(\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\): Điều kiện là \(a\geq 0\), khi đó: \(\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}\) \(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}\): Điều kiện là \(\left\{\begin{matrix} p\geq 0\\ p\neq \sqrt{2} \end{matrix}\right.\) , khi đó: \(\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}\) Bài 55 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) a) \(ab + b\sqrt a + \sqrt a + 1\) b) \(\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} + \sqrt {{x^2}y} - \sqrt {x{y^2}} \) Hướng dẫn giải: a) \(ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\) \(=b\sqrt{a}(1+\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)\) \(=(b\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+1)\) b) \(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}\) \(=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\) \(=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{y}+\sqrt{x})\) \(=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-y)\) \(=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\) Bài 56 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần a) \(3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}\) b) \(6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.\) Hướng dẫn giải: Đưa thừa số vào trong dấu căn. Ta có: a) \(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\) \(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\) \(4\sqrt{2}=\sqrt{32}\) Vì: \(24<29<32<45\Rightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\) \(\Rightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}\) b) \(6\sqrt{2}=\sqrt{72}\) \(3\sqrt{7}=\sqrt{63}\) \(2\sqrt{14}=\sqrt{56}\) Vì: \(38<56<63<72\Rightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\) \(\Rightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}\) Bài 57 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1. Hãy chọn câu trả lời đúng. \(\sqrt {25x} - \sqrt {16x} = 9\) khi x bằng (A) 1; (B) 3; (C) 9; (D) 81. Hãy chọn câu trả lời đúng. Hướng dẫn giải: \(\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\) \(\Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\) \(\Leftrightarrow \sqrt{x}(5-4)=9\) \(\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\) \(\Leftrightarrow x=9^2=81\) Chọn đáp án D
