Bài 70 trang 40 SGK Toán 9 tập 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp \(a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}\) \(b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}2{{34} \over {81}}}\) \(c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}\) \(d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}\) Giải a) \(\eqalign{ & \sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{25} \over {81}}} .\sqrt {{{16} \over {49}}} .\sqrt {{{196} \over 9}} \cr & = {5 \over 9}.{4 \over 7}.{{14} \over 3} = {{40} \over {27}} \cr} \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}2{{34} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{49} \over {16}}.{{64} \over {25}}.{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{49} \over {16}}} .\sqrt {{{64} \over {25}}} .\sqrt {{{196} \over {81}}} \cr & = {7 \over 4}.{8 \over 5}.{{14} \over 9} = {{196} \over {45}} \cr} \) c) \(\eqalign{ & {{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }} \cr & = \sqrt {{{640.34,3} \over {567}}} \cr & = \sqrt {{{64.49} \over {81}}} \cr & = {{\sqrt {64} .\sqrt {49} } \over {\sqrt {81} }} = {{8.7} \over 9} = {{56} \over 9} \cr} \) d) \(\eqalign{ & \sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}} \cr & = \sqrt {21,6.810.\left( {{{11}^2} - {5^2}} \right)} \cr & = \sqrt {216.81.\left( {11 + 5} \right)\left( {11 - 5} \right)} \cr & = \sqrt {{{36}^2}{{.9}^2}{{.4}^2}} = 36.9.4 = 1296 \cr} \) Bài 71 trang 40 SGK Toán 9 tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \) b) \(0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \) c) \(\left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}\) d) \(2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \) Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & \left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr & = \sqrt {16} - 6 + \sqrt {20} - \sqrt 5 \cr & = 4 - 6 + 2\sqrt 5 - \sqrt 5 = - 2 + \sqrt 5 \cr} \) b) \(\eqalign{ & 0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \cr & = 0,2\left| { - 10} \right|\sqrt 3 + 2\left| {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right| \cr & = 0,2.10.\sqrt 3 + 2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \cr & = 2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt 3 = 2\sqrt 5 \cr} \) Vì \(- 10 < 0;\sqrt 3 < \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt 3 - \sqrt 5 < 0\) c) \(\eqalign{ & \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 2}\sqrt {{2 \over {{2^2}}}} - {3 \over 2}\sqrt 2 + {4 \over 5}\sqrt {{{10}^2}.2} } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 4}\sqrt 2 - {3 \over 2}\sqrt 2 + 8\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr & = {{27} \over 4}\sqrt 2 .8 = 54\sqrt 2 \cr} \) d) \(\eqalign{ & 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \cr & = 2\left| {\sqrt 2 - 3} \right| + \left| { - 3} \right|\sqrt 2 - 5\left| { - 1} \right| \cr & = 2\left( {3 - \sqrt 2 } \right) + 3\sqrt 2 - 5 \cr & = 6 - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 - 5 = 1 + \sqrt 2 \cr} \) Bài 72 trang 40 SGK Toán 9 tập 1. Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b) a) \(xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1\) b) \(\sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \) c) \(\sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) d) \(12 - \sqrt x - x\) Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1 \cr & = y\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right) \cr & = \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {y\sqrt x + 1} \right) \cr} \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \cr & = \left( {\sqrt {ax} + \sqrt {bx} } \right) - \left( {\sqrt {ay} + \sqrt {by} } \right) \cr & = \sqrt x \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt y \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr & = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \cr & = \sqrt {a + b} \left( {1 + \sqrt {a - b} } \right) \cr} \) d) \(\eqalign{ & 12 - \sqrt x - x \cr & = 12 - 4\sqrt x + 3\sqrt x - x \cr & = 4\left( {3 - \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) \cr & = \left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {4 + \sqrt x } \right) \cr} \) Bài 73 trang 40 SGK Toán 9 tập 1. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}}\) tại a = - 9 b) \(1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}\) tại m = 1,5 c) \(\sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}}\) tại a = √2 d) \(4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1} \) tại x = √3 Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \cr & = \sqrt {{3^2}.\left( { - a} \right)} - \sqrt {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} \cr & = 3\sqrt { - a} - \left| {3 + 2a} \right| \cr & = 3\sqrt 9 - \left| {3 + 2.\left( { - 9} \right)} \right| \cr & = 3.3 - 15 = - 6 \cr} \) b) \(\eqalign{ & 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4} \cr & = 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2}} \cr & = 1 + {{3m\left| {m - 2} \right|} \over {m - 2}} \cr} \) \( = \left\{ \matrix{ 1 + 3m\left( {với: m - 2 > 0} \right) \hfill \cr 1 - 3m\left( {với: m - 2 < 0} \right) \hfill \cr} \right. = \left\{ \matrix{ 1 + 3m\left( {với: m > 2} \right) \hfill \cr 1 - 3m\left( {với: m < 2} \right) \hfill \cr} \right.\) m = 1,5 < 2. Vậy giá trị biểu thức tại m = 1,5 là 1 – 3m = 1 – 3.1,5 = -3,5 c) \(\eqalign{ & \sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & {\rm{ = }}\sqrt {{{\left( {1 - 5{\rm{a}}} \right)}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & {\rm{ = }}\left| {1 - 5{\rm{a}}} \right| - 4{\rm{a}} \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 5{\rm{a}} - 4{\rm{a}}\left( {với: 1 - 5{\rm{a}} \ge 0} \right) \hfill \cr 5{\rm{a}} - 1 - 4{\rm{a}}\left( {với: 1 - 5{\rm{a}} < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 9{\rm{a}}\left( {với - 5{\rm{a}} \ge - 1} \right) \hfill \cr a - 1\left( {với - 5{\rm{a}} < - 1} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 9{\rm{a}}\left( {với: a \le {1 \over 5}} \right) \hfill \cr a - 1\left( {với: a > {1 \over 5}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) \(\sqrt 2 > {1 \over 5}\) . Vậy giá trị của biểu thức tại a = √2 là a – 1 = √2 – 1 d) \(\eqalign{ & 4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1} \cr & = 4{\rm{x}} - \sqrt {{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} \cr & = 4{\rm{x}} - \left| {3{\rm{x}} + 1} \right| \cr & = \left\{ \matrix{ 4{\rm{x - }}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với: 3{\rm{x}} + 1 \ge 0} \right) \hfill \cr 4{\rm{x}} + \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với: 3{\rm{x}} + 1 < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 4{\rm{x}} - 3{\rm{x}} - 1\left( {với: 3{\rm{x}} \ge - 1} \right) \hfill \cr 4{\rm{x}} + 3{\rm{x}} + 1\left( {với: 3{\rm{x}} < - 1} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ x - 1\left( {v{\rm{ới: x}} \ge - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr 7{\rm{x}} + 1\left( {với: x < - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \) Vì \( - \sqrt 3 < - {1 \over 3}\) . Giá trị của biểu thức tại x = -√3 là 7.(-√3) + 1 = -7√3 + 1 Bài 74 trang 40 SGK Toán 9 tập 1. Tìm x, biết: a) \(\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3\) b) \({5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \) Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3 \cr & \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1} \right| = 3 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3 \ge 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ 2{\rm{x}} - 1 = 3 \hfill \cr 2{\rm{x}} - 1 = - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2{\rm{x}} = 4 \hfill \cr 2{\rm{x}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) b) \(\eqalign{ & {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \cr & \Leftrightarrow {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {{5 \over 3} - 1 - {1 \over 3}} \right)\sqrt {15} x = 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {15{\rm{x}}} = 6 \cr & \Leftrightarrow 15{\rm{x}} = {6^2} \cr & \Leftrightarrow x = {{12} \over 5} \cr} \) Bài 75 trang 40 SGK Toán 9 tập 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) \(\left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} = - 1,5\) b) \(\left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2\) c) \({{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} = a - b\) với a, b dương và a ≠ b d) \(\left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a\) với a ≥ 0 và a ≠ 1 Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & \left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left[ {{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - {{6\sqrt 6 } \over 3}} \right].{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left( {{{\sqrt 6 } \over 2} - 2\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left( {{{ - 3} \over 2}\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = - {3 \over 2} = - 1,5 \cr} \) b) \(\eqalign{ & \left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr & = \left[ {{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right]:{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr & = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr & = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr & = - \left( {7 - 5} \right) = - 2 \cr} \) c) \(\eqalign{ & {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & = {{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) \cr & = a - b \cr} \) d) \(\eqalign{ & \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr & = \left[ {1 + {{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)} \over {\sqrt a + 1}}} \right]\left[ {1 - {{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a - 1}}} \right] \cr & = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - a \cr} \) Bài 76 trang 41 SGK Toán 9 tập 1. Cho biểu thức \(Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\) với a > b > 0 a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }} \cr & = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - {{{a^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)} \over {b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} \cr & = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - {{{a^2} - {a^2} + {b^2}} \over {b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} \cr & = {{a - b} \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} = {{\sqrt {a - b} \sqrt {a - b} } \over {\sqrt {a + b} \sqrt {a - b} }} \cr & = {{\sqrt {a - b} } \over {\sqrt {a + b} }} \cr}\) b) Khi a = 3b. Giá trị của Q là \({{\sqrt {3b - b} } \over {\sqrt {3b + b} }} = {{\sqrt {2b} } \over {4b}} = {{\sqrt {2b} } \over {\sqrt {2b} \sqrt 2 }} = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
