Bài 12 trang 15 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Từ phương trình \(x - y = 3 \Rightarrow x = 3 + y\). Thay \(x = 3 + y\) vào phương trình \(3x - 4y = 2\) ta được: \(3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2\) \(⇔ -y = -7 ⇔ y = 7\) Thay \(y = 7\) vào \(x = 3 + y\) ta được \(x = 3 + 7 = 10\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \((10; 7)\). b) Từ phương trình \(4x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 4x\). Thay \(y = 2 - 4x\) vào phương trình \( 7x - 3y = 5\) ta được: \(7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5\) \(⇔ 19x = 11 ⇔ x = \frac{11}{19}\) Thay \(x = \frac{11}{19}\) vào \(y = 2 - 4x\) ta được \(y = 2 - 4 . \frac{11}{19} = 2 - \frac{44}{19}= -\frac{6}{19}\) Hệ phương trình có nghiệm (\(\frac{11}{19}\); -\(\frac{6}{19}\)) c) Từ phương trình \(x + 3y = -2 \Rightarrow x = -2 - 3y\). Thay \(x=-2-3y\) vào phương trình \(5x - 4y = 11\) ta được: \(5(-2 - 3y) - 4y = 11⇔ -10 - 15y - 4y = 11\) \(⇔ -19y = 21 ⇔ y = -\frac{21}{19}\) Thay \(y=-\frac{21}{19}\) vào \(x=-2-3y\) ta được \(x = -2 -3(-\frac{21}{19}) = -2 + \frac{63}{19} = \frac{25}{19}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm (\(\frac{25}{19}\); -\(\frac{21}{19}\)). Bài 13 trang 15 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Từ phương trình thứ nhất ta có \( y = \frac{3x - 11}{2}\). Thế vào phương trình thứ hai ta được: \(4x - 5.\frac{3x - 11}{2} = 3 ⇔4x-\frac{15}{2}+\frac{55}{2}=3\) \(\Leftrightarrow -\frac{7x}{2}=-\frac{49}{2}⇔ x = 7\). Thay \(x=7\) vào \(y = \frac{3x - 11}{2}\) ta được \(y = 5\). Nghiệm của hệ phương trình đã cho là \((7; 5)\) b) Từ phương trình thứ nhất ta có: \(x = \frac{2y +6}{3}\). Thế vào phương trình thứ hai ta được: \(5 . \frac{2y +6}{3} - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = \frac{3}{2}\) Thay \(y = \frac{3}{2}\) vào \(x = \frac{2y +6}{3}\) ta được: \(x = \frac{2 . \frac{3}{2}+ 6}{3}\) = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm \((3; \frac{3}{2})\). Bài 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế: a) \(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = -y\sqrt{5}\). Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được: \(-y\sqrt{5} . \sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}\) ⇔ \(-2y = 1 - \sqrt{5}\) ⇔ \(y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\) Thay \(y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\) vào \(x = -y\sqrt{5}\) ta được \(x =-\frac{\sqrt{5}- 1}{2} .\sqrt{5} = \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\) Vậy hệ phương trình có nghiệm: \((x, y)\) = \((\frac{-5+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+ \sqrt{5}}{2})\) b) Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\). Thế vào y trong phương trình thứ nhất ta được: \((2 - \sqrt{3})x - 3.(4 - 2\sqrt{3} - 4x) = 2 + 5\sqrt{3}\) ⇔ \((14 - \sqrt{3})x = 14 - \sqrt{3}\) ⇔ \(x = 1\) Thay \(x=1\) vào \(y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\) ta được \(y = 4 - 2\sqrt{3} - 4 . 1 = -2\sqrt{3}\). Vậy hệ phương trình có nghiệm: \((x; y) = (1; -2\sqrt{3})\) Bài 15 trang 15 sgk Toán 9 tập 2. Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(a = -1\); b) \(a = 0\); c) \(a = 1\). Bài giải: a) Khi \(a = -1\), ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\) Hệ phương trình vô nghiệm (Do hai đường thẳng song song với nhau). b) Khi \(a = 0\), ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 6y = 0 & & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = 1 - 3y\). Thế vào \(x\) trong phương trình thứ hai, ta được: \(1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -\frac{1}{3}\) Thay \(y = -\frac{1}{3}\) vào \(x = 1 - 3y\) ta được \(x = 1 - 3(-\frac{1}{3}) = 2\) Hệ phương trình có nghiệm \((x; y) = (2; -\frac{1}{3})\). c) Khi \(a = 1\), ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 1 -3y& & \\ y \in R& & \end{matrix}\right.\) Hệ phương trình có vô số nghiệm. Bài 16 trang 16 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế. a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\); c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (1) ⇔ \(y = 3x - 5 \) (3) Thế (3) vào phương trình (2): \(5x + 2(3x - 5) = 23\) \(⇔ 5x + 6x - 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3\) Từ đó \(y = 3 . 3 - 5 = 4\). Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (3; 4)\). b) \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(y = 2x + 8 \) (3) Thế (3) vào (1) ta được: \(3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1\) \(⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3\) Từ đó \(y = 2(-3) + 8 = 2\). Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (-3; 2)\). c) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\) Phương trình (1) \(⇔ x = \frac{2}{3}y\) (3) Thế (3) vào (2): \(\frac{2}{3}y + y = 10 ⇔ \frac{5}{3}y = 10\) \(⇔ y = 6\). Từ đó \(x = \frac{2}{3} . 6 = 4\). Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (4; 6)\). Bài 17 trang 16 sgk Toán 9 tập 2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế. a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\); b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\) c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\) Bài giải: a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(x = \sqrt{2} - y\sqrt{3}\) (3) Thế (3) vào (1): \(( \sqrt{2} - y\sqrt{3})\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1\) \(⇔\sqrt{3}y(\sqrt{2} + 1) = 1\) \(⇔ y = \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\) Từ đó \(x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}. \sqrt{3} = 1\). Vậy có nghiệm \((x; y) = (1; \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\)) b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(y = 1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}\) (3) Thế (3) vào (1): \(x - 2\sqrt{2}(1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}) = \sqrt{5}\) ⇔ \(5x = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} ⇔ x = \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\) Từ đó \(y = 1 - \sqrt{10} - (\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}). \sqrt{2} = \frac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\) Vậy hệ có nghiệm \((x; y)\) = \((\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\frac{1 - 2\sqrt{10}}{5})\); c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\) Từ phương trình (2) ⇔ \(x = 1 - (\sqrt{2} + 1)y\) (3) Thế (3) vào (1):\( (\sqrt{2} - 1)[1 - (\sqrt{2} + 1)y] - y = \sqrt{2} ⇔ -2y = 1\) \(⇔ y = -\frac{1}{2}\) Từ đó \(x = 1 - (\sqrt{2} + 1)(-\frac{1}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\) Vậy hệ có nghiệm \((x; y)\) = (\(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\); -\(\frac{1}{2}\)) Bài 18 trang 16 sgk Toán 9 tập 2. a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\) Có nghiệm là \((1; -2)\) b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2} - 1; \sqrt{2})\). Bài giải: a) Hệ phương trình có nghiệm là \((1; -2)\) khi và chỉ khi: \(\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4& & \end{matrix}\right.\) b) Hệ phương trình có nghiệm là \((√2 - 1; √2)\) khi và chỉ khi: \(\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \frac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.\) Bài 19 trang 16 sgk Toán 9 tập 2. Biết rằng: Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\). Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\): \(P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\) Bài giải: \(P(x)\) chia hết cho \(x + 1\) \( ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0\) \(⇔-7-n=0\) (1) \(P(x)\) chia hết cho \(x - 3\) \(⇔P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\) \( ⇔36m-13n=3\) (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n. \(\left\{\begin{matrix} -7 - n = 0& & \\ 36m - 13n = 3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = 3 + 13(-7)& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = -88& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \frac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\)
