Đại số 9 - Chương 3 - Bài 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 20 trang 19 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\);

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.\);

c) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.\);

d) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.\);

e) \(\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 5x =10 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2x-7& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = -3& & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 8y = 8& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =\frac{3}{2} & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 4x + 2y =8& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x =3 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix} 6x - 9y = -6 & & \\ 6x - 4y = -6& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 6x - 9y = -6 & & \\ -5y = 0& & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x = -1 & & \\ y = 0 & & \end{matrix}\right.\)

e) \(\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 1,5x - 2y = 1,5 & & \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 4,5y = 13,5 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x =15 -2, 5 . 3& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} 1,5x =7,5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix} x =5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.\)




Bài 21 trang 19 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\);

b) \(\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} - 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}y& & \\ y = \frac{-1- \sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{8}& & \\ y = -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\)

b) Nhân phương trình thứ nhất với \(\sqrt{2}\) rồi cộng từng vế hai phương trình ta được:

\(5x\sqrt{6} + x\sqrt{6} = 6 ⇔ x = \frac{1}{\sqrt{6}}\)

Từ đó hệ đã cho tương đương với \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{6}} & & \\ x\sqrt{6} - y\sqrt{2} = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{\sqrt{6}} & & \\ y = -\frac{1}{\sqrt{2}} & & \end{matrix}\right.\)




Bài 22 trang 19 sgk Toán 9 tập 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.\);

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.\);

c) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) \(\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -15x + 6y = 12& & \\ 12x - 6y =-14 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -3x = -2& & \\ -15x + 6y = 12& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}& & \\ 6y = 12 + 15 . \frac{2}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}& & \\ 6y = 22& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{2}{3}& & \\ y = \frac{11}{3}& & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ -4x + 6y = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 4x - 6y = -5& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 0x - 0y = 27& & \end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình vô nghiệm.

c) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ 3x - 2y = 3 . \frac{10}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ 3x - 2y = 10& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R& & \\ 2y = 3x - 10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x \in R& & \\ y = \frac{3}{2}x - 5& & \end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình có vô số nghiệm.



Bài 23 trang 19 sgk Toán 9 tập 2. Giải hệ phương trình sau:

\(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2}x)+ (1 - \sqrt{2})y = 5& & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2}x)+ (1 - \sqrt{2})y = 5& & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3& & \end{matrix}\right.\)

Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) ta được:

\((1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 2\)

\(⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2 ⇔ -2y\sqrt{2} = 2\)

\(⇔ y = \frac{-2}{2\sqrt{2}} ⇔ y = \frac{-1}{\sqrt{2}}⇔ y = \frac{-\sqrt{2}}{2}\) (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

\(⇔ (1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})(\frac{-\sqrt{2}}{2}) = 5\)

\(⇔ (1 + \sqrt{2})x + (\frac{-\sqrt{2}}{2}) + 1 = 5\)

\(⇔ (1 + \sqrt{2})x = \frac{8 + \sqrt{2}}{2} ⇔ x = \frac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}\)

\(⇔ x = \frac{(8 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}{2(1 - 2)}⇔ x = \frac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{-2}\)

\(⇔ x = -\frac{6 - 7\sqrt{2}}{2} ⇔ x = \frac{-6 + 7\sqrt{2}}{2}\)

Hệ có nghiệm là:

\(\left\{\begin{matrix} x = \frac{-6 + 7\sqrt{2}}{2} & & \\ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} & & \end{matrix}\right.\)

Nghiệm gần đúng (chính xác đến ba chữ số thập phân) là: \(\left\{\begin{matrix} x \approx 1,950 & & \\ y \approx -0,707 & & \end{matrix}\right.\)




Bài 24 trang 19 sgk toán 9 tập 2. Giải hệ các phương trình:

a) \(\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.\);

b) \(\left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) Đặt \(x + y = u\), \(x - y = v\), ta có hệ phương trình (ẩn u, v):

\(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ u + 2v = 5& & \end{matrix}\right.\)

nên

\(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ u + 2v = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ 2u + 4v = 10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ -v = -6& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2u = 4- 3 . 6 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} u = -7 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\)

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} x+ y = -7 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x = -1 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x =-\frac{1}{2} & & \\ y = -\frac{13}{2}& & \end{matrix}\right.\)

b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:\(\left\{\begin{matrix} 2(x-2)+3(1+y)=-2 & & \\ 3(x - 2)- 2(1+ y) = -3& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x-4+3+3y=-2 & & \\ 3x - 6- 2-2 y = -3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1 & & \\ 3x-2 y = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 6x-4 y = 10& & \end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 13y = -13& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x=-3 - 9y & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x=6 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)




Bài 25 trang 19 sgk Toán 9 tập 2. Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

\(P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)\).

Bài giải:

Ta có \(P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10)\)

Nếu \(P(x) = 0 ⇔\) \(\left\{\begin{matrix} 3m - 5n +1 = 0 & & \\ 4m - n -10=0& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 20m - 5n =50& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -17m = -51 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ -n = 10 - 4.3& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ n = 2& & \end{matrix}\right.\)




Bài 26 trang 19 sgk Toán 9 tập 2. Xác định a và b để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) \(A(2; -2)\) và \(B(-1; 3)\); b) \(A(-4; -2)\) và \(B(2; 1)\);

c) \(A(3; -1)\) và \(B(-3; 2)\); d) \(A(\sqrt{3}; 2)\) và \(B(0; 2)\).

Bài giải:

a) Vì \(A(2; -2)\) thuộc đồ thì nên \(2a + b = -2\).

Vì \(B(-1; 3)\) thuộc đồ thì nên \(-a + b = 3\). Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

\(\left\{\begin{matrix} 2a + b = -2 & & \\ -a + b = 3& & \end{matrix}\right.\). Từ đó \(\left\{\begin{matrix} a = -\frac{5}{3} & & \\ b = \frac{4}{3}& & \end{matrix}\right.\)

b) Vì \(A(-4; -2)\) thuộc đồ thị nên \(-4a + b = -2\).

Vì \(B(2; 1)\) thuộc đồ thị nên \(2a + b = 1\).

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: \(\left\{\begin{matrix} -4a + b = -2 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} -6a = -3 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \frac{1}{2} & & \\ b = 0& & \end{matrix}\right.\)

c) Vì \(A(3; -1)\) thuộc đồ thị nên \(3a + b = -1\)

Vì \(B(-3; 2)\) thuộc đồ thị nên \(-3a + b = 2\).

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

\(\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ -3a + b = 2& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ 2b = 1& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = -\frac{1}{2} & & \\ b = \frac{1}{2}& & \end{matrix}\right.\)

d) Vì \(A(\sqrt{3}; 2)\) thuộc đồ thị nên \(\sqrt{3}a + b = 2\).

Vì \(B(0; 2)\) thuộc đồ thị nên \(0 . a + b = 2\).

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ 0. a + b = 2& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = 0 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right.\)




Bài 27 trang 20 sgk Toán 9 tập 2. Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1& & \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.\). Hướng dẫn. Đặt u = \(\frac{1}{x}\), v = \(\frac{1}{y}\);

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y -1} = 2 & & \\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.\) Hướng dẫn. Đặt u = \(\frac{1}{x - 2}\), v = \(\frac{1}{y - 1}\).

Bài giải:

a) Điền kiện \(x ≠ 0, y ≠ 0\).

Đặt \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) ta được hệ phương trình ẩn u, v: \(\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ \(u = 1 + v\) (3)

Thế (3) vào (2): \(3(1 + v) +4v = 5\)

\(⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v = \frac{2}{7}\)

Từ đó \(u = 1 + v = 1 + \frac{2}{7}\) = \(\frac{9}{7}\).

Suy ra hệ đã cho tương đương với: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} = \frac{9}{7}& & \\ \frac{1}{y} = \frac{2}{7}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{7}{9}& & \\ y = \frac{7}{2}& & \end{matrix}\right.\)

b) Điều kiện \(x - 2 ≠ 0, y - 1 ≠ 0\) hay \( x ≠ 2, y ≠ 1\).

Đặt \(u = \frac{1}{x -2}\), \(v = \frac{1}{y -1}\) ta được hệ đã cho tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.\)

(1) \(⇔ v = 2 - u\) (3)

Thế (3) vào (2): \(2u - 3(2 - u) = 1\)

⇔ \(2u - 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u = \frac{7}{5}\)

Từ đó \(v = 2 - \frac{7}{5}\) = \(\frac{3}{5}\).

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x -2} = \frac{7}{5}& & \\ \frac{1}{y -1} = \frac{3}{5}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x -2 = \frac{5}{7}& & \\ y - 1 = \frac{5}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{5}{7}+ 2& & \\ y = \frac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{19}{7}& & \\ y = \frac{8}{3}& & \end{matrix}\right.\)