Bài 25 trang 52 sgk Toán 9 tập 2. Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chố trống (..): a) \(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \); b) \(5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({\rm{ }}{\rm{ }}{\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \); c) \(8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \); d) \(25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {\rm{ }} \ldots \). Bài giải: a) \(2{x^2}-{\rm{ }}17x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 2, b = -17, c = 1\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { - 17} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}289{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}281\) \({x_1} + {x_2} = - {{ - 17} \over 2} = {{17} \over 2};{x_1}{x_2} = {1 \over 2}\) b) \(5{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}35{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 5, b = -1, c = -35\) \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}\left( { - 35} \right) = 1 + 700 = 701\) \({x_1} + {x_2} = - {{ - 1} \over 5} = {\rm{ }}{1 \over 5};{x_1}{x_2} = {{ - 35} \over 5} = - 7\) c) \(8{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 8, b = -1, c = 1\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}8{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\) Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được. d) \(25{x^2} + {\rm{ }}10x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 25, b = 10, c = 1\) \(\Delta = {\rm{ }}{10^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}25{\rm{ }}.{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}100{\rm{ }} - {\rm{ }}100{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({x_1} + {x_2} = - {{10} \over {25}} = - {2 \over 5};{x_1}{x_2} = {1 \over {25}}\) Bài 26 trang 53 sgk Toán 9 tập 2. Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a) \(35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) b) \({\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} - {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) c) \({x^2} - {\rm{ }}49x{\rm{ }} - {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) d) \(4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} - {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Bài giải a) \(35{x^2}-{\rm{ }}37x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 0, b = -37, c = 2\) Do đó: \(a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0\) nên \({x_1} = 1;{x_2} = {2 \over {35}}\) b) \(7{x^2} + {\rm{ }}500x{\rm{ }} - {\rm{ }}507{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a=7, b = 500, c=-507\) Do đó: \(a + b + c = 7 + 500 - 507=0\) nên \({x_1} = 1;{x_2} = - {{507} \over 7}\) c) \({x^2} - {\rm{ }}49x{\rm{ }} - {\rm{ }}50{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -49, c = -50\) Do đó \(a - b + c = 1 - (-49) - 50 = 0\) nên \({x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 50} \over 1} = 50\) d) \(4321{x^2} + {\rm{ }}21x{\rm{ }} - {\rm{ }}4300{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 4321, b = 21, c = -4300\) Do đó \(a - b + c = 4321 - 21 + (-4300) = 0\) nên \({x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 4300} \over {4321}} = {{4300} \over {4321}}\). Bài 27 trang 53 sgk Toán 9 tập 2. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình. a) \({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \({x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Bài giải: a) \({x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -7, c = 12\) nên \({x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {{ - 7} \over 1} = 7 = 3 + 4\) \({x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = 3.4\) Vậy \({x_1} = {\rm{ }}3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\). b) \({x^2} + {\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = 7, c = 12\) nên \({x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {7 \over 1} = - 7 = - 3 + ( - 4)\) \({x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = ( - 3).( - 4)\) Vậy \({x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 4\). Bài 28 trang 53 sgk Toán 9 tập 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) \(u + v = 32, uv = 231\); b) \(u + v = -8, uv = -105\); c) \(u + v = 2, uv = 9\) Bài giải: a) \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2}-{\rm{ }}32x{\rm{ }} + {\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ ( - }}16{)^2}-{\rm{ }}231.1{\rm{ }} = {\rm{ }}256{\rm{ }}-{\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}25,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}5\) \({\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}21,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}11\) Vậy \(u = 21, v = 11\) hoặc \(u = 11, v = 21\) b) \(u\), \(v\) là nghiệm của phương trình: \({{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\) \(\Delta {\rm{ }} = {4^2}{\rm{ - 1}}{\rm{.( - 105) = }}16{\rm{ }} + {\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}121,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}11{\rm{ }}\) \({x_1}{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4{\rm{ }} + {\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}7\), \({{x_2} = {\rm{ }} - 4{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }} - 15}\) Vậy \(u = 7, v = -15\) hoặc \(u = -15, v = 7\). c) Vì \({{2^{2}}-{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}0}\) nên không có giá trị nào của \(u\) và \(v\) thỏa mãn điều kiện đã cho. Bài 29 trang 54 sgk Toán 9 tập 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: a) \(4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); c) \(5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); d) \(159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Bài giải: a) Phương trình \(4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm vì \(a = 4, c = -5\) trái dấu nhau nên \({x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {1 \over 2},{x_1}{x_2} = - {5 \over 4}\) b) Phương trình \(9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(\Delta' = 36 - 36 = 0\) \({x_1} + {x_2} = {{12} \over 9} = {4 \over 3},{x_1}{x_2} = {4 \over 9}\) c) Phương trình \(5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(\Delta =\) \({1^2} - {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 39{\rm{ }} < {\rm{ }}0\) Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm. d) Phương trình \(159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có hai nghiệm phân biệt vì \(a\) và \(c\) trái dấu \({x_1} + {x_2} = {\rm{ }}{2 \over {159}},{x_1}{x_2} = - {1 \over {159}}\) Bài 30 trang 54 sgk Toán 9 tập 2. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. a) \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) Bài giải a) Phương trình \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm khi \(\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\) hay khi \(m ≤ 1\) Khi đó \({x_{1}} + {\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }}2\), \({\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}m\) b) Phương trình \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) có nghiệm khi \(\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^{2}} - {\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\) hay khi \(m ≤\) \(\frac{1}{2}\) Khi đó \({x_{1}} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\), \({\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}{m^2}\) Bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình: a) \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) c) \(\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\); d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) với \(m ≠ 1\). Bài giải: a) Phương trình \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Có \(a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0\) nên \({x_1} = 1;{x_2} = {\rm{ }}{{0,1} \over {15}} = {1 \over {150}}\) b) Phương trình \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Có \(a – b + c = \sqrt{3} + (1 - \sqrt{3}) + (-1) = 0\) nên \({x_1} = - 1,{x_2} = - {{ - 1} \over {\sqrt 3 }} = {\rm{ }}{{\sqrt 3 } \over 3}\) c) \(\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Có \(a + b + c = 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} – (2 + \sqrt{3}) = 0\) Nên \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{ - (2 + \sqrt 3 )} \over {2 - \sqrt 3 }} = - {(2 + \sqrt 3 )^2} = - 7 - 4\sqrt 3 \) d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Có \(a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0\) Nên \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}\) Bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\); b) \(u + v = -42\), \(uv = -400\); c) \(u – v = 5\), \(uv = 24\). Bài giải: a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\) => \(u, v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2}-{\rm{ }}42x{\rm{ }} + {\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{21^2}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}21\) Vậy \(u = v = 21\) b) \(u + v = -42, uv = -400\), \(u, v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} + {\rm{ }}42x{\rm{ }}-{\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} + {\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}841\) \(\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}29;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 50\). Do đó: \(u = 8, v = -50\) hoặc \(u = -50, v = 8\) c) \(u – v = 5, uv = 24\). Đặt \(–v = t\), ta có \(u + t = 5, ut = -24\), ta có \(u,t\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 5x - 24 = 0\) Giải ra ta được: \({x_1} = {\rm{ 8}},{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ - 3}}\) Vậy \(u = 8, t = -3\) hoặc \(u = -3, t = 8\). Do đó: \(u = 8, v = 3\) hoặc \(u = -3, t = 8\). Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2. Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau: \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\). Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử. a)\(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\) b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) Bài giải: Biến đổi vế phải: \(a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\) \( = a{x^2} - a\left( { - {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\) Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1},{x_2}\) thì: \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\). Áp dụng: a) Phương trình \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\) nên có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\) nên: \(2{x^2}{\rm{ + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ - }}1)(x - {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x - 1)(2x - 3)\) b) Phương trình \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) có \(a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\). Nên \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\), có hai nghiệm là: \({x_1}\) = \(\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}\), \({x_2}\)= \(\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\) nên: \(3{x^2} + 8x + 2 = 3(x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3})(x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3})\) \( = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3})\)
