Bài 34 trang 56 sgk Toán 9 tập 2. Giải các phương trình trùng phương: a) \({x^4}-{\rm{ }}5{x^2} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(2{x^4}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); c) \(3{x^4} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Bài giải: a) \({x^4}-{\rm{ }}5{x^2} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Đặt \({x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }}4\) Nên: \({x_1} = {\rm{ }} - 1,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}1,{\rm{ }}{x_3} = {\rm{ }} - 2,{\rm{ }}{x_4} = {\rm{ }}2\). b)\(2{x^4}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Đặt \({x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \(2{t^2}{\rm{ - }}3t{\rm{ - }}2 = 0;{t_1} = 2,{t_2} = {\rm{ }} - {1 \over 2}\) (loại) Vậy:\({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 ;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ - }}\sqrt 2 \) c) \(3{x^4} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Đặt \({x^2} = {\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\), ta có:\(3{t^2} + 10t + 3 = 0\); \({t_1} = - 3\) (loại), \({t_2} = {\rm{ }} - {1 \over 3}\) (loại). Phương trình vô nghiệm. Bài 35 trang 56 sgk toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \(\frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\); b) \(\frac{x+ 2}{x-5} + 3 = \frac{6}{2-x}\); c) \(\frac{4}{x-1}\) = \(\frac{-x^{2}-x+2}{(x+1)(x+2)}\) Bài giải: a) \(\frac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 9 + 6 = 3x{\rm{ - }}3{x^2}\) \(\Leftrightarrow 4{x^2}{\rm{ - }}3x{\rm{ - }}3 = 0;\Delta = 57\) \({x_1} = {\rm{ }}{{3 + \sqrt {57} } \over 8},{x_2} = {\rm{ }}{{3 - \sqrt {57} } \over 8}\) b) \(\frac{x+ 2}{x-5}\) + 3 = \(\frac{6}{2-x}\). Điều kiện \(x ≠ 2, x ≠ 5\). \((x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)\) \( \Leftrightarrow 4{\rm{ - }}{x^2}{\rm{ - }}3{x^2} + 21x{\rm{ - }}30 = 6x{\rm{ - }}30\) \(\Leftrightarrow 4{x^2}{\rm{ - }}15x{\rm{ - }}4 = 0,\Delta = 225 + 64 = 289,\sqrt \Delta = 17\) \({x_1} = {\rm{ }} - {1 \over 4},{x_2} = 4\) c) \(\frac{4}{x-1}\) = \(\frac{-x^{2}-x+2}{(x+1)(x+2)}\). Điều kiện: \(x ≠ -1; x ≠ -2\) Phương trình tương đương:\(4\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - {x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) \({ \Leftrightarrow {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x}\) \({ \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\) Giải ra ta được: \({x_1} = {\rm{ }} - 2\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên phương trình chỉ có một nghiệm \(x = -3\). Bài 36 trang 56 sgk toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \((3{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)({x^2}-{\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \({(2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4)^2}-{\rm{ }}{\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}0\) Bài giải: a) \((3{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1)({x^2}-{\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 3{x^2} - 5x + 1 = 0 \hfill \cr {x^2}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{5 \pm \sqrt {13} } \over 6} \hfill \cr x{\rm{ }} = {\rm{ }} \pm 2 \hfill \cr} \right.\) b) \({(2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4)^2}-{\rm{ }}{\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}(2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1)(2{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \)\(= {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}(2{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)(2{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr 2{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\) \({x_1} = {\rm{ }}1;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 2,5;{\rm{ }}{x_3} = {\rm{ }} - 1;{\rm{ }}{x_4} = {\rm{ }}1,5\) Bài 37 trang 56 sgk Toán 9 tập 2. Giải phương trình trùng phương: a) \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\); b) \(5{x^4} + 2{x^2}{\rm{ - }}16 = 10{\rm{ - }}{x^2}\); c) \(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\); d) \(2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\) Bài giải: a) \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\). Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \(9{t^2}-{\rm{ }}10t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Vì \(a + b + c = 9 – 10 + 1 = 0\) nên \({t_1} = 1,{t_2} = {1 \over 9}\) Suy ra: \({x_1} = - 1,{x_2} = 1,{x_3} = - {1 \over 3},{x_4} = {\rm{ }}{1 \over 3}\) b) \(5{x^4} + 2{x^2}{\rm{ - }}16 = 10{\rm{ - }}{x^2}\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^4} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \(5{t^2} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} - 26{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}529{\rm{ }} = {\rm{ }}{23^2}\); \({\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 2,6\) (loại). Do đó: \({x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - \sqrt 2 \) c) \(0,3{x^4} + 1,8{x^2} + 1,5 = 0\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}6{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \({t^2} + {\rm{ }}6t{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \({\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }} - 1\) (loại), \({\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 5\) (loại). Phương trình vô nghiệm, Chú ý: Cũng có thể nhẫn xét rằng vế trái \({x^4} + {\rm{ }}6{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} \ge {\rm{ }}5\), còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm. d) \(2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} = 0\). Điều kiện \(x ≠ 0\) \(2{x^4} + {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0\), ta có: \(2{t^2} + 5t{\rm{ - }}1 = 0;\Delta = 25 + 8 = 33\), \({t_1} = {\rm{ }}{{ - 5 + \sqrt {33} } \over 4},{t_2} = {\rm{ }}{{ - 5 - \sqrt {33} } \over 4}\) (loại) Do đó \({x_1} = {\rm{ }}{{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2},{x_2} = {\rm{ }} - {{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2}\) Bài 38 trang 56 sgk Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\); b) \({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)\); c) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x({x^2} + {\rm{ }}1,5)\); d) \(\frac{x(x - 7)}{3} – 1\) = \(\frac{x}{2}\) - \(\frac{x-4}{3}\); e) \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = \(1 - \frac{1}{3-x}\); f) \(\frac{2x}{x+1}\) = \(\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\) Bài giải: a) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta = 25{\rm{ - }}16 = 9,{x_1} = - 2,{x_2} = - {1 \over 2}\) b) \({x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)\) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) \({\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Delta' = 16 + 22 = 38,{x_1} = {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}\) c) \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x({x^2} + {\rm{ }}1,5)\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}1,5x\) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}2,5{x^2}-{\rm{ }}1,5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); \({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}-{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0\) Phương trình vô nghiệm d) \(\frac{x(x - 7)}{3}– 1\) = \(\frac{x}{2}\) - \(\frac{x-4}{3}\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)\) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}14x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}15x{\rm{ }}-{\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0;\) \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}225{\rm{ }} + {\rm{ }}112{\rm{ }} = {\rm{ }}337\) \({x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {\rm{ }}{{15 - \sqrt {337} } \over 4}\) e) \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = 1 - \(\frac{1}{3-x}\). Điều kiện: \(x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm 3\) Phương trình được viết lại: \(\frac{14}{x^{2}-9}\) = \(1 + \frac{1}{x- 3}\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3 \) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), \({\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}81\) Nên \({x_1} = {{ - 1 - 9} \over 2} = - 5;{x_2} = {{ - 1 + 9} \over 2} = 4\) (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\). f) \(\frac{2x}{x+1}\) = \(\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 4\) Phương trình tương đương với: \(2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}8\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Có \(a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0\) nên \({x_1} = - 1,{x_2} = 8\) Vì \({x_1} = - 1\)không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là \(x = 8\). Bài 39 trang 57 sgk Toán 9 tập 2. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích. a) \((3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \({x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); c) \(({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\); d) \({({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}\). Bài giải. a) \((3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow\)\(\left[ \matrix{ (3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10){\rm{ }} = {\rm{ }}0(1) \hfill \cr 2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + \sqrt 5 -{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.\) Giải (1): phương trình \(a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0\) nên \({x_1} = - 1,{x_2} = - {{ - 10} \over 3} = {{10} \over 3}\) Giải (2): phương trình có \(a + b + c = 2 + (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} - 3 = 0\) nên \({x_3} = 1,{x_4} = {{\sqrt 5 - 3} \over 2}\) b) \({x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {x^2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \) \(\Leftrightarrow \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)({x^2} - {\rm{ }}2){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow\)\(\left[ \matrix{ x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.\) Giải ra \({x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }} - \sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_{3}} = \sqrt 2 \) c) \(({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 0,6x + 1 = 0(1) \hfill \cr {x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.\) (1) ⇔ \(0,6x + 1 = 0 \) \( \Leftrightarrow {x_1} = - {1 \over {0,6}} = - {5 \over 3}\) (2):\(\Delta = {( - 1)^2} - 4.1.( - 1) = 1 + 4 = 5,\sqrt \Delta = \sqrt 5,\) \({x_2} = {\rm{ }}{{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\) Vậy phương trình có ba nghiệm: \({x_1} = - {5 \over 3},{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}\), d) \({({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}\)\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} - {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow ({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5).\) \(({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}(2{x^2} + {\rm{ }}x)\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ⇔\( x(2x + 1)(3x – 10) = 0\) Hoặc \(x = 0\), \(x = -\frac{1}{2}\) , \(x = \frac{10}{3}\) Vậy phương trình có 3 nghiệm. Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: a) \(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\); d) \(\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\) Hướng dẫn: a) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có phương trình \(3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \(t\). Thay mỗi giá trị của \(t\) vừa tìm được vào đằng thức \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\) , ta được một phương trình của ẩn \(x\). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \(x\). d) Đặt \(\frac{x+1}{x} = t\) hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\) Bài giải: a) \(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có: \(3{t^2}{\rm{ - }}2t{\rm{ - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} = - {1 \over 3}\) Với \({t_1} = 1\), ta có: \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\) hay \({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{ = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta = \sqrt 5 \) \({x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\) Với \({t_2}= -\frac{1}{3}\), ta có: \({x^2} + x = - {1 \over 3}\)hay \(3{x^2} + 3x{\rm{ + }}1{\rm{ = }}0\): Phương trình vô nghiệm, vì \(\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\) b) \({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\), ta có phương trình \({t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) Giải ra ta được \({t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 3\). - Với \({t_1}= 2\) ta có: \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) hay \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra \({x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\). - Với \({t_2}= -3\), ta có: \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3\) hay \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Phương trình này vô nghiệm vì \(\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = 0, {x_2}= 4\). c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\). Điều kiện: \(x ≥ 0\). Đặt \(t = \sqrt{x}, t ≥ 0\) Ta có:\({t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra: \({t_1}= -1\) (loại), \({t_2}= 7\) Với \(t = 7\), ta có: \(\sqrt{x} = 7\). Suy ra \(x = 49\). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: \(x = 49\) d) \(\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 0\) Đặt \(\frac{x}{x+ 1}\) = t, ta có: \(\frac{x+1}{x}\) = \(\frac{1}{t}\). Vậy ta có phương trình: \(t - \frac{10}{t} – 3 = 0\) hay: \({t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra \({t_1} = 5, {t_2} = -2\). - Với \({t_1}= 5\), ta có \(\frac{x}{x+ 1} = 5\) hay \(x = 5x + 5\). Suy ra \(x = -\frac{5}{4}\) - Với \({t_2} = -2\), ta có \(\frac{x}{x+ 1}= -2\) hay \(x = -2x – 2\). Suy ra \(x = -\frac{2}{3}\). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1}= -\frac{5}{4}\), \({x_2} =-\frac{2}{3}\)
