Bài 41 trang 58 sgk Toán 9 tập 2. Trong lúc học nhóm bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào ? Bài giải. Gọi số mà một bạn đã chọn là: \(x\) và số bạn kia chọn là: \(x+5\). Tích của hai số là: \(x(x+5)\) Theo đầu bài ta có phương trình: \(x(x+5)=150\) hay \({x^2}+5x-150=0\) Giải phương trình ta được: \({x_1}=10,{x_2}=-15\) Vậy:+) nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại. +) nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại. Bài 42 trang 58 sgk Toán 9 tập 2. Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm ? Bài giải: Gọi lãi suất cho vay là \(x\) (%), \((x > 0)\). Tiền lãi sau một năm là: \(2 000 000 . \frac{x}{100}\) hay \(20000x\) (đồng) Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: \(2 000 000 + 20000x\) (đồng) Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là: \((2 000 000 + 20000x)\frac{x}{100}\)hay \(20000x + 200{x^2}\) Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là: \(2 000 000 + 40000x + 200x^2\) Theo đầu bài ra ta có phương trình: \(2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 420 000\) hay \(x^2+ 200x - 2 100 = 0\) Giải phương trình: \(\Delta = 100^2 - 1 . (-2 100) = 10 000 + 2 100 = 12 100\) \(=> \sqrt{\Delta'}= 110\) nên \({x_1}\) = \(\frac{-100-110}{1} = -210\), \({x_2}\)= \(\frac{-100+110}{1}= 10\) Vì \(x > 0\) nên \({x_1}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy lãi suất là 10%. Bài 43 trang 58 sgk Toán 9 tập 2. Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài \(120\) km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường dài hơn đường lúc đi \(5\)km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là \(5\) km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi. Bài giải: Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là \(x\)(km/h), \(x > 0\), thì vân tốc lúc về là \(x - 5\) (km/h). Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: \(\frac{120}{x} + 1\) (giờ) Đường về dài: \(120 + 5 = 125\) (km) Thời gian về là: \(\frac{125}{x-5}\) (giờ) Theo đầu bài có phương trình: \(\frac{120}{x} + 1 =\frac{125}{x-5}\) Giải phương trình: \(x^2 – 5x + 120x – 600 = 125x \Leftrightarrow x^2 – 10x – 600 = 0\) ∆’ = (-5)2 – 1 . (-600) = 625, √∆’ = 25 \({x_1} = 5 – 25 = -20, {x_2} = 5 + 25 = 30\) Vì \(x > 0\) nên \({x_1} = -20\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h Bài 44 trang 58 sgk Toán 9 tập 2. Đố em vừa tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một đơn vị. Giải Gọi số phải tìm là \(x\). Theo giả thiết một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: \(\frac{x}{2}\) - \(\frac{1}{2}\) Theo đầu bài ta có phương trình: \((\frac{x}{2}-\frac{1}{2})\)\(\frac{x}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) hay \(x^2 – x – 2 = 0\), có \(a – b + c = 1 – (-1) – 2 = 0\) nên: \({x_1} = -1, {x_2} = 2\) Vậy số phải tìm bằng -1 hoặc 2. Bài 45 trang 59 sgk Toán 9 tập 2. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó. Bài giải: Gọi số bé là \(x\), \(x ∈ N, x > 0\), số tự nhiên kề sau là \(x + 1\). Tích của hai số này là \(x(x + 1)\) hay \(x^2+ x\). Theo đầu bài ta tích của hai số lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình: \(x^2 + x - 2x - 1 = 109\) hay \(x^2- x - 110 = 0\) Giải phương trình: \(\Delta = 1 + 440 = 441\), \(\sqrt{\Delta} = 21\) \({x_1} = 11, {x_2} = -10\) Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -10\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy hai số phải tìm là: 11 và 12 Bài 46 trang 59 sgk Toán 9 tập 2. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích \(240\) m2. Nếu tăng chiều rộng \(3\) m và giảm chiều dài \(4\) m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất. Bài giải: Gọi chiều rộng của mảnh đất là \(x\) (m), \(x > 0\). Vì diện tích của mảnh đất bằng \(240\) m2 nên chiều dài là: \(\frac{240}{x}\) (m) Nếu tăng chiều rộng \(3\)m và giảm chiều dài \(4\)m thì mảnh đất mới có chiều rộng là \(x + 3\) (m), chiều dài là (\(\frac{240}{x}- 4)\) (m) và diện tích là: \((x + 3)(\frac{240}{x}\) - 4) ( m2 ) Theo đầu bài ta có phương trình: \((x + 3)(\frac{240}{x}- 4) = 240\) Từ phương trình này suy ra: \(-4x^2 – 12x + 240x + 720 = 240x\) hay \(x^2 + 3x – 180 = 0\) Giải phương trình: \(\Delta = 3^2 + 720 = 729\), \(\sqrt{\Delta} = 27\) \({x_1} = 12, {x_2} = -15\) Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -15\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng là \(12\)m, chiều dài là: \(240 : 12 = 20\) (m) Vậy mảnh đất có chiều rộng là \(12\)m, chiều dài là \(20\)m. Bài 47 trang 59 sgk Toán 9 tập 2. Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài \(30\) km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là \(3\) km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe mỗi người. Bài giải: Gọi vận tốc của bác Hiệp là \(x\) (km/h), \(x > 0\) khi đó vận tốc của cố Liên là \(x - 3\) (km/h) Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là \(\frac{30}{x}\) (giờ). Thời gian bác Liên đi từ làng lên tỉnh là: \(\frac{30}{x-3}\) (giờ) Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình: \(\frac{30}{x-3}\) - \(\frac{30}{x}\) = \(\frac{1}{2}\) Giải phương trình: \(x(x - 3) = 60x - 60x + 180\) hay \(x^2 – 3x - 180 = 0\) \({x_1} = 15, {x_2} = -12\) Vì \(x > 0 \)nên \({x_2} = -12\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy vận tốc của bác Hiệp là \(15\) km/h Vận tốc của cô Liên là \)12\) km/h Bài 48 trang 59 sgk Toán 9 tập 2. Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng \(5\) dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích \(1500\) dm3 (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng. Bài giải: Gọi chiều rộng của miếng tôn là \(x\) (dm), \(x > 0\). Chiều dài của nó là \(2x\) (dm) Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là \(2x - 10\) (dm), chiều rộng là \(x - 10\) (dm), chiều cao là \(5\) (dm). Dung tích của thùng là \(5(2x - 10)(x - 10)\) (dm3) Theo đầu bài ta có phương trình: \(5(2x - 10)(x - 10) = 1500\) hay \(x^2 – 15x – 100 = 0\) Giải phương trình: \(\Delta = 225 + 400 = 625\), \(\sqrt{\Delta} = 25\) \({x_1} = 20, {x_2} = -5\) (loại) Vậy miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm). Bài 49 trang 59 sgk Toán 9 tập 2. Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc ? Bài giải: Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là \(x\) (ngày), \(x > 0\). Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là \(x + 6\) (ngày). Mỗi ngày đội I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc). Mỗi ngày đội II làm được \(\frac{1}{x+6}\) (công việc) Hai đội làm 4 ngày xong công việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được \(\frac{1}{4}\) công việc ta có phương trình: \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x+6}\) = \(\frac{1}{4}\) Giải phương trình: \(x(x + 6) = 4x + 4x + 24\) hay \(x^2– 2x - 24 = 0\), \(\Delta' = 1 + 24 = 25 = 5^2\) \({x_1} = 1 + 5 = 6, {x_2} = 1 - 5 = -4\) Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = 1 - 5 = -4\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy một mình đội I làm trong \(6\) ngày thì xong việc. Một mình đội II làm trong \(12\) ngày thì xong việc. Bài 50. Miếng kim loại thứ nhất nặng \(880\) g, miếng kim loại thứ hai nặng \(858\) g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là \(10\) cm3, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là \(1\) g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại. Bài giải: Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(x\) (g/cm3 ) Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(x - 1\) (g/cm3 ) Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{880}{x}\) (cm3 ) Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{858}{x-1}\) (cm3 ) Theo đầu bài thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai là \(10\) cm3 nên ta có phương trình: \(\frac{858}{x-1} - \frac{880}{x} = 10\) Giải phương trình: \(10x(x - 1) = 858x - 880x + 880\) hay \(5x^2 + 6x - 440 = 0\) \(\Delta'=9 + 2200 = 2209\), \(\sqrt{\Delta' }= 47\) \({x_1}= 8,8, {x_2} = -10\) Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -10\) (loại) Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: \(8,8\) $g/cm^3$ Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: \(7,8\) $g/cm^3$ Bài 51 trang 59 sgk Toán 9 tập 2. Người ta đổ thêm \(200\) g nước vào một dung dịch chứa \(40\) g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi \(10\) %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ? Bài giải: Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: \(x\) (g), \(x > 0\) Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: \(\frac{40}{x + 40}\) Nếu đổ thêm \(200\) g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: \(x + 40 + 200\) (g) Nồng độ của dung dịch bây giờ là: \(\frac{40}{x + 240}\) Vì nồng độ muối giảm \(10\)% nên ta có phương trình: \(\frac{40}{x + 40}\) - \(\frac{40}{x + 240}\) = \(\frac{10}{100}\) Giải phương trình: \((x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40)\) hay \(x^2 + 280x - 70400 = 0\) \(\Delta' = 19600 + 70400 = 90000\), \(\sqrt{\Delta'} = 300\) \({x_1} = 160, {x_2} = -440\) Vì \(x > 0\) nên \({x_2} = -440\) (loại) Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có \(160\) g nước. Bài 52 trang 60 sgk Toán 9 tập 2. Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là \(30\) km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ \(40\) phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả \(6\) giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là \(3\) km/h. Bài giải: Gọi vận tốc thực của canô là \(x\) (km/h), \(x > 3\) , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: \(x + 3\) (km/h) và vận tốc khi ngược dòng là: \(x - 3\) (km/h) Thời gian xuôi dòng là: \(\frac{30}{x + 3}\) (giờ) Thời gian ngược dòng là: \(\frac{30}{x - 3}\) (giờ) Nghỉ lại \(40\) phút hay \(\frac{2}{3}\) giờ ở B. Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả \(6\) giờ nên ta có phương trình: \(\frac{30}{x+ 3}+ \frac{30}{x- 3}+ \frac{2}{3} = 6\) Giải phương trình: \(16(x + 3)(x - 3) = 90(x + 3 + x - 3)\) hay: \(4x^2 - 45x - 36 = 0\) \(\Delta = 2025 + 576 = 2601, \sqrt{\Delta} = 51\) \({x_1} = 12, {x_2} = -\frac{3}{4}\) (loại) Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là \(12\) km/h. Bài 53 trang 60 sgk Toán 9 tập 2. Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16). Hãy tìm tỉ số ấy. Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim. Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là \(x\). Bài giải: Giả sử\(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\). Gọi độ dài của \(AM = x, 0 < x < a\). Khi đó \(MB = a - x\). Theo đầu bài: \({{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}\) hay \({x \over a} = {{a - x} \over x}\) Giải phương trình: \(x^2 = a(a - x)\) hay \(x^2 + ax - a^2= 0\) \(\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}\) \({x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5 - 1)} \over 2},{x_2} = {{ - a(\sqrt 5 + 1)} \over 2}\) Vì \(x > 0\) nên \({x_2}\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy \(AM={{a(\sqrt 5 - 1)} \over 2}\) Tỉ số cần tìm là: \({{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 2}\)
